1、1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数yf(x)的定义域为A如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于任意的xA，都有f(x)f(x)，那么称函数yf(x)是奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【知识拓展】1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是
2、偶函数，那么f(x)f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).(2)若f(xa)，则T2a(a0).(3)若f(xa)，则T2a(a0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.()(2)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称.()(3)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f
3、(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数.()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期.()1.(教材改编)对于定义域是R的任意奇函数f(x)，下列结论正确的有_.(填序号)f(x)f(x)0；f(x)f(x)0；f(x)f(x)0; f(x)f(x)0.答案解析显然不正确.对任意奇函数f(x)，有f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)20，故正确，不正确.2.(教材改编)函数yf(x)为(，)上的偶函数，且f(|a|)3，则f(a)_.答案3解析若a0，则f(a)f(a)f(|a|)3；若a0，则f
4、(a)f(|a|)3.故对aR，总有f(a)3.3.(教材改编)若函数f(x)(x1)(xa)为偶函数，则a_.答案1解析f(x)(x1)(xa)x2(1a)xa为偶函数，f(x)f(x)对任意xR恒成立，(1a)x(a1)x恒成立，1a0，a1.4.(教材改编)设函数yf(x)是偶函数，它在0，1上的图象如图所示，则它在1，0上的解析式为_.答案f(x)x2解析由题意知f(x)在1，0上为一条线段，且过(1，1)、(0，2)，设f(x)kxb，代入解得k1，b2.所以f(x)x2.5.(2016四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)4x，则ff(2)_.答案
5、2解析f(x)为定义在R上的奇函数，f(0)0，又0x0时，x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x)；当x0，f(x)x2x，f(x)(x)2xx2x(x2x)f(x).对于x(，0)(0，)，均有f(x)f(x).函数f(x)为奇函数.思维升华(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.(1)(2016北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是_.y； ylg|x|；y(x1)2; y2x.(2)函数f(x)lo
6、ga(2x)，g(x)loga(2x)(a0且a1)，则下列关于函数F(x)f(x)g(x)，G(x)f(x)g(x)的奇偶性的说法正确的是_.F(x)是奇函数，G(x)是奇函数；F(x)是偶函数，G(x)是奇函数；F(x)是偶函数，G(x)是偶函数；F(x)是奇函数，G(x)是偶函数.答案(1)(2)解析(1)中，函数ylg|x|的定义域为x|x0且lg|x|lg|x|，函数ylg|x|是偶函数.(2)F(x)，G(x)的定义域均为(2，2)，由已知F(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)F(x)，G(x)f(x)g(x)loga(2x)loga(2x)G(x)，F(x)是偶
7、函数，G(x)是奇函数.题型二函数的周期性例2(1)(2016淮安模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)f(x1)，则f(2 017)f(2 019)_.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，并且f(x2)，当2x3时，f(x)x，则f(105.5)_.答案(1)0(2)2.5解析(1)由题意，得g(x)f(x1)，又f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，f(x)的周期为4，f(2 017)f(1)，f(2 019)f(3)f(1)
8、，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 017)f(2 019)0.(2)由已知，可得f(x4)f(x2)2f(x).故函数的周期为4.f(105.5)f(4272.5)f(2.5)f(2.5).22.53，由题意，得f(2.5)2.5.f(105.5)2.5.引申探究例2(2)中，若将f(x2)改为f(x2)f(x)，其他条件不变，则f(105.5)的值为_答案2.5解析f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，函数的周期为4(下同例题)思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.定义在R上的函数f(x)满足f(x6)
9、f(x)，当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2 018)_.答案339解析f(x6)f(x)，T6.当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x，f(1)1，f(2)2，f(3)f(3)1，f(4)f(2)0，f(5)f(1)1，f(6)f(0)0，f(1)f(2)f(6)1，f(1)f(2)f(3)f(2 015)f(2 016)1336.又f(2 017)f(1)1，f(2 018)f(2)2，f(1)f(2)f(3)f(2 018)339.题型三函数性质的综合应用命题点1解不等式问题例3(1)(2016南通模拟)已知偶函数f(
10、x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是_.(2)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)1，f(5)，则实数a的取值范围为_.答案(1)(，)(2)(1，4)解析(1)因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上单调递增，f(2x1)f()，所以|2x1|，所以x.(2)f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，f(5)f(56)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a0且1x0，由奇函数的性质可得f(0)0.所以lg(a2)0，即a1，经检验a1满足函数的定义域.(2)因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数
11、，所以ff且f(1)f(1)，故ff，从而a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.思维升华(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：f(x)为偶函数f(x)f(|x|).若奇函数在x0处有意义，则f(0)0.(1)若f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，则a_.(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则f(25)，f(11)，f(80)的大小关系为_.答案(1)(2)f(25)f(80)f
12、(11)解析(1)函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得ln 2axln e2ax，即e2ax，整理得e3x1e2ax3x(e3x1)，所以2ax3x0，解得a.(2)因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1).因为f(x)在区间0，2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间2，2上是增函数，所以f
13、(1)f(0)f(1).所以f(25)f(80)f(11).2.抽象函数问题考点分析抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等一般以填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视一、抽象函数的定义域典例1已知函数yf(x)的定义域是0，8，则函数g(x)的定义域为_.解析要使函数有意义，需使即解得1x0，f(x2)，对任意xR恒成立，则f(2 019)_.解析因为f(x)0，f(x2)，所以f(x4)f(x2)2f(x)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2 019)f(50541)f(1).因为函数f(x
14、)为偶函数，所以f(2 019)f(1)f(1).当x1时，f(12)，得f(1).即f(1)1，所以f(2 019)f(1)1.答案1三、抽象函数的单调性与不等式典例3设函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足f(xy)f(x)f(y).若f(3)1，且f(a)f(a1)2，求实数a的取值范围.规范解答解因为f(xy)f(x)f(y)且f(3)1，所以22f(3)f(3)f(3)f(9).又f(a)f(a1)2，所以f(a)f(a1)f(9).再由f(xy)f(x)f(y)，可知f(a)f9(a1)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有解得1af()，则a的取值范围是_.答案
15、解析因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间(，0)上单调递增，所以f(x)f(x)且f(x)在(0，)上单调递减.由f(2|a1|)f()，f()f()可得2|a1|，即|a1|，所以a.3.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x4)f(x)，当x(2，0)时，f(x)2x2，则f(2 019)_.答案2解析由f(x4)f(x)知，f(x)是周期为4的周期函数，f(2 019)f(50443)f(3)，又f(x4)f(x)，f(3)f(1)，由1(2，0)得f(1)2，f(2 019)2.4.已知f(x)lg(a)为奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是_.答案(1，0)解析由f(x)f(
16、x)0，即lg(a)lg(a)lglg 10可得a1，所以f(x)lg ，解得01，可得1x0时，f(x)则f(f(16)_.答案解析由题意f(16)f(16)log2164，故f(f(16)f(4)f(4)cos .6.(2016盐城模拟)已知f(x)ax2bx是定义在a1，2a上的偶函数，那么ab的值是_.答案解析依题意得f(x)f(x)，b0，又a12a，a，ab.7.(2017苏北四市联考)已知函数f(x)若f(x)为奇函数，则g()_.答案2解析g()f()f()log2log2222.8.(2016常州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x1)是偶函数，则f(1)f(2)f
17、(3)f(4)_.答案0解析由f(x1)是偶函数得f(x1)f(x1)，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x1)f(x1)，即f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，即f(x)f(x2)0，所以f(1)f(3)0，f(2)f(4)0，因此f(1)f(2)f(3)f(4)0.9.函数f(x)在R上为奇函数，且当x0时，f(x)1，则当x0时，f(x)1，当x0，f(x)1f(x)，即x0时，f(x)(1)1.10.设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0，1时，f(x)2x，则有2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1，2)上是减函数，
18、在(2，3)上是增函数；函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是_.答案解析在f(x1)f(x1)中，令x1t，则有f(t2)f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故正确；当x0，1时，f(x)2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在1，0上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1，2)上是减函数，在(2，3)上是增函数，故正确；由知，f(x)在0，2上的最大值f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值f(x)minf(0)f(2)201且f(x)是周期为2的周期函数，f(x)的最大值是2，最小值是1，故错误.11.(2016江苏苏北四市二调)定义在R上的奇函
19、数f(x)满足当x0时，f(x)log2(x2)(a1)xb(a，b为常数)，若f(2)1，则f(6)的值为_.答案4解析由已知得f(0)01b，b1，又f(2)22(a1)11，a0，f(x)log2(x2)x1(x0)，f(6)f(6)3614.12.(2016江苏扬州中学开学考试)已知f(x)是定义在2，2上的奇函数，且当x(0，2时，f(x)2x1，函数g(x)x22xm，如果x12，2，x22，2，使得g(x2)f(x1)，则实数m的取值范围是_.答案5，2解析f(x)是定义在2，2上的奇函数，f(0)0，当x(0，2时，f(x)2x1的值域为(0，3，当x2，2时，f(x)的值域为
20、3，3，若x12，2，x22，2，使得g(x2)f(x1)，则g(x)max3且g(x)min3，g(x)x22xm(x1)2m1，当x2，2时，g(x)maxg(2)8m，g(x)ming(1)m1，故8m3且m13，解得m5且m2，故5m2.13.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒有f(x2)f(x)，当x0，2时，f(x)2xx2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x2，4时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)f(1)f(2)f(2 018).(1)证明f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，f(x)是周期为4的周期函数.(2)解x2，4，x4，2，4x0，2，f(4x)2(4x)(4x)2x26x8，又f(4x)f(x)f(x)，f(x)x26x8，即f(x)x26x8，x2，4.(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0.f(0)f(1)f(2)f(2 018)f(2 016)f(2 017)f(2 018)f(0)f(1)f(2)1.
