1、素养提升3高考中数列解答题的提分策略素养解读在全国卷解答题中数列与三角函数基本上是交替考查的,难度不大,题目多为常规试题,有时也会涉及一些新情境题目或与数学文化相交汇的题目.主要的命题点有:等差、等比数列的基本运算,数列的通项公式与前n项和公式的应用等.涉及的数学思想主要有:函数与方程思想、分类讨论思想以及转化与化归思想等.试题题型规范、方法可循,主要考查考生的数学运算、逻辑推理等素养.12019全国卷,18,12分文已知an是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求an的通项公式;(2)设bn=log2an,求数列bn的前n项和.本题可拆解成以下几个小问题:(1)求数列
2、an的公比;求数列an的通项公式.(2)求bn的通项公式;求数列bn的前n项和.(1)因为数列an是各项均为正数的等比数列,a3=2a2+16,a1=2,令数列an的公比为q,则a3=a1q2=2q2,a2=a1q=2q,所以2q2=4q+16,解得q= - 2(舍去)或q=4,所以数列an是首项为2,公比为4的等比数列,an=24n - 1=22n - 1.(2)因为bn=log2an,所以bn=2n - 1,bn+1=2n+1,bn+1 - bn=2,所以数列bn是首项为1,公差为2的等差数列.设数列bn的前n项和为Sn,因为b1=1,所以Sn=1+2n - 12n=n2.感悟升华阅卷现场
3、得分点第(1)问采点得 分说 明利用通项公式表示出a2,a3得2分;求出公比q得2分;判断数列an为等比数列得1分;求出an的通项公式得1分.6分第(2)问采点得 分说 明由对数运算求出bn得2分;求出公差得1分;判断数列bn是等差数列得1分;求出bn的前n项和得2分.6分满分策略1.解答数列类大题的关键熟练把握等差数列与等比数列的定义、通项公式、求和公式及相应的性质是解决数列问题的关键.2.化归与转化思想的运用当给定的数列不是等差数列或等比数列时,应利用化归与转化思想将给定的数列转化为等差数列或等比数列求解.3.数列求和的解题技巧重点要掌握等差数列、等比数列的求和公式以及常用的“错位相减”“
4、裂项相消”等方法,解决问题的关键在于数列的通项公式,要根据通项公式的特征准确选择相应的方法.22017全国卷,17,12分文设数列an满足a1+3a2+(2n - 1)an=2n.(1)求an的通项公式;(2)求数列an2n+1的前n项和.(1)a1+3a2+(2n - 1)an=2n数列(2n - 1)an的前n项和利用通项与前n项和的关系求解 (1)因为a1+3a2+(2n - 1)an=2n,故当n2时,a1+3a2+(2n - 3)an - 1=2(n - 1).1分(得分点1) - 得(2n - 1)an=2,所以an = 22n - 1.4分(得分点2)又当n=1时,a1=2满足上
5、式,5分(得分点3)所以an的通项公式为an = 22n - 1.6分(得分点4)(2)记数列an2n+1的前n项和为Sn,由(1)知an2n+1 = 2(2n - 1)(2n+1) = 12n - 1 -12n+1,8分(得分点5)则Sn=(1 - 13)+(13 -15)+(12n - 1 -12n+1)10分(得分点6)=1 - 12n+1=2n2n+1.12分(得分点7)感悟升华素养探源素养考查途径数学运算裂项相消法求和.逻辑推理观察已知式子的特点,利用前n项和与通项的关系求解通项;根据an2n+1=2(2n - 1)(2n+1)的特点裂项求和.得分要点(1)得步骤分:抓住得分点的解题
6、步骤,“步步为赢”.第(1)问中,由an满足的关系式,通过消项求得an,并验证当n=1时成立,从而写出结果.第(2)问中观察数列通项公式的结构特征,利用裂项相消法求得数列的前n项和Sn.(2)得关键分:an - 1满足的关系式;验证n=1;对通项裂项.这些都是必不可少的过程,有则给分,无则没分.(3)得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如得分点2,5,7.答题模板求数列通项与前n项和的步骤第一步:由等差(等比)数列的定义求通项,或者由递推公式求通项.第二步:根据前n项和的表达式或通项的特征,选择适当的方法求和.第三步:明确、规范地表述结论.3 2018浙江,20,15分已知等比数列
7、an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1 - bn)an的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式.(1)由可知,a3+a5=2(a4+2),代入可求出a4及a3+a5,进而可求出公比q;(2)由及“an=Sn - Sn - 1”可求出数列(bn+1 - bn)an的通项公式,由(1)可先求出an,然后可求出bn+1 - bn的通项公式,再用叠加法及错位相减法即可求出bn的通项公式.(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.
8、(3分)由a3+a5=20,得8(1q+q)=20,解得q=2或q=12.(5分)因为q1,所以q=2.(6分)(2)设cn=(bn+1 - bn)an,数列cn的前n项和为Sn.由cn=S1,n=1,Sn - Sn - 1,n2,解得cn=4n - 1.(8分)由(1)可知an=2n - 1,所以bn+1 - bn=(4n - 1)(12)n - 1,(9分)故bn - bn - 1=(4n - 5)(12)n - 2,n2,bn - b1=(bn - bn - 1)+(bn - 1 - bn - 2)+(b3 - b2)+(b2 - b1)=(4n - 5)(12)n - 2+(4n -
9、9)(12)n - 3+712+3.(11分)设Tn=3+712+11(12)2+(4n - 5)(12)n - 2,n2,则12Tn=312+7(12)2+(4n - 9)(12)n - 2+(4n - 5)(12)n - 1,(13分)所以12Tn=3+412+4(12)2+4(12)n - 2 - (4n - 5)(12)n - 1,因此Tn=14 - (4n+3)(12)n - 2,n2,(14分)又b1=1,所以bn=15 - (4n+3)(12)n - 2.(15分)感悟升华命题探源本题主要考查等差中项,等比数列的通项公式,数列的通项与前n项和的关系等,同时考查了方程、转化与化归等
10、思想方法,以及数学运算、逻辑推理等核心素养.失分探源(1)高考复习中将“边缘化”知识遗忘.如将“等差中项”这一概念遗忘,以致无法找到解题的切入点.(2)没有运用方程思想解决问题.如没有将a3+a5=2a4+4代入中求出a4及a3+a5等.(3)没有掌握好公式“an=Sn - Sn - 1”及其蕴含的思想方法,以致无法求出(bn+1 - bn)an的通项公式.(4)求出bn+1 - bn=(4n - 1)(12)n - 1后,不能运用叠加法求出bn.(5)没有掌握好错位相减法,以致求出bn - b1的表达式后无法化简.(6)计算错误.如在用错位相减法求bn - b1的过程中出现错误.(7)在最后一步直接把Tn当作bn,导致错误.
