1、第一章集合与常用逻辑用语 第一讲集合 1.下列说法正确的是()集合xN|x3=x,用列举法表示为 - 1,0,1.x|y=x2=y|y=x2=(x,y)|y=x2.方程x - 2 020+(y+2 021)2=0的解集为2 020, - 2 021.若51,m+2,m2+4,则m的取值集合为1, - 1,3.若P M=P N=A,则A(M N).设U=R,A=x|lg x - 1,B=x|x2,则A B=()A.( - 1,+) B.( - ,2) C.( - 1,2) D.5.2019天津,1,5分文设集合A= - 1,1,2,3,5,B=2,3,4,C=xR|1x0x|y=f (x)y|y
2、=f (x)(x,y)|y=f (x)方程f (x)=0的根.不等式f (x)0的解.函数y=f (x)的自变量的取值.函数y=f (x)的函数值.函数y=f (x)图象上的点.1.2017全国卷,1,5分文已知集合A=1,2,3,4,B=2,4,6,8,则AB中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4考法2 集合间的基本关系3(1)已知集合A=xZ|x2 - 2x - 30,B=y|y=2x,则AB的子集的个数为 A.10B.16C.8D.7(2)已知集合A=0,1,B=x|xA,则下列集合A与B的关系中正确的是A.BAB.ABC.BAD.AB(1)根据集合A,B确定集合AB,代入公式求解.
3、(2)确定集合B,即可判断集合A,B的关系.(1)(公式法)因为A= - 1,0,1,2,3,B=(0,+),所以AB=1,2,3,其子集的个数为23=8.(2)因为xA,所以B=,0,1,0,1,又集合A=0,1是集合B中的元素,所以AB.(1)C(2)D 第(2)小题易错选B.题中所给的两个集合比较特殊,集合B中的元素就是集合,当集合A是集合B中的元素时,A与B是属于关系. 解题时要思考两个问题: (1)两个集合中的元素分别是什么;(2)两个集合中元素之间的关系是什么.4 (1)2020湖北武汉模拟已知集合A=x| - 2x5,B=x|m+1x2m - 1,若BA,则实数m的取值范围为.(
4、2)若将(1)中“集合A=x| - 2x5”改为“集合A=x|x5”,则实数m的取值范围为.(1)因为BA,所以分以下两种情况.若B=,则2m - 1m+1,此时m2.若B,则2m - 1m+1,m+1 - 2,2m - 15,解得2m3.由可得,符合题意的实数m的取值范围为( - ,3.(2)因为BA,所以分以下两种情况.若B=,则2m - 1m+1,此时m5或m+12m - 1,2m - 14.综上可知,实数m的取值范围为( - ,2)(4,+).易错警示是任意集合的子集,若已知集合A、非空集合B满足AB或AB,则有A=和A两种可能,此时应分两种情况讨论.2.(1)2020山东青岛两校联考
5、已知集合M=x|y=x - 1,N=y|y=x - 1,则M与N的关系为()A.M=NB.MNC.NMD.MN=(2)2020湖南岳阳两校联考设集合A=0, - 4,B=x|x2+2(a+1)x+a2 - 1=0,xR.若BA,则实数a的取值范围是.考法3 集合的基本运算5 (1)2018全国卷,2,5分已知集合A=x|x2 - x - 20,则RA=A.x| - 1x2 B.x| - 1x2C.x|x2D.x|x - 1x|x2(2)2019全国卷,2,5分文已知集合U=1,2,3,4,5,6,7,A=2,3,4,5,B=2,3,6,7,则BUA=A.1,6 B.1,7 C.6,7 D.1,
6、6,7(1)解法一A=x|(x - 2)(x+1)0=x|x2,RA=x| - 1x2.解法二A=x|x2 - x - 20,RA=x|x2 - x - 20=x| - 1x2.(2)依题意得UA=1,6,7,故BUA=6,7.(1)B(2)C解后反思求解集合运算问题应注意如下三点:(1)看集合构成,即看集合中元素是数还是有序数对,是函数的自变量还是函数值等;(2)对集合进行化简,通过化简可以使问题变得简单明了;(3)注意数形结合思想的应用,集合运算中常用的辅助图形有数轴、坐标系和Venn图.6 (1)设集合A=x| - 1x2,B=x|xa,若AB,则a的取值范围是A. - 12C.a -
7、1 D.a - 1(2)集合A=0,2,a,B=1,a2,若AB=0,1,2,4,16,则 a的值为A.0B.1C.2D.4(1)借助数轴来求解 AB,则集合A,B在数轴上有重叠的部分确定a在数轴上的位置,得到其取值范围(2)a(AB),a2(AB)确定a和a2的值(1)因为AB,所以集合A,B有公共元素,在数轴上表示出集合A,B,如图1 - 1 - 2所示,易知a - 1.(2)根据并集的概念,可知a,a2=4,16,故a=4. 图1 - 1 - 2(1)D(2)D 第(1)小题易忽视讨论区间端点值而致误.这里a不能取 - 1,因为当a= - 1时,B=x|x12,Y=x|x2+x - 60
8、,则(RX)Y=()A. - 3, - ln 2)B. - 2, - ln 2C. - 3, - ln 2D. - ln 2,2数学探究 集合中的创新问题7 2015湖北,10,5分文已知集合A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ,定义集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B,则AB中元素的个数为A.77B.49 C.45D.30因为集合A=(x,y)|x2+y21,x,yZ,所以集合A中有 5个元素(即5个点),即图1 - 1 - 3中圆内及圆上的整点.集合B=(x,y)|x|2,|y|2,x,yZ中有25个元素(即
9、25个点),即图1 - 1 - 3中正方形 ABCD内及正方形ABCD上的整点.集合AB=(x1+x2,y1+y2)|(x1,y1)A,(x2,y2)B中的元素可看作图1 - 1 - 3中正方形A1B1C1D1内及正方形A1B1C1D1上除去四个顶点外的整点,共77 - 4=45(个). 图1 - 1 - 3 C4.当两个集合有公共元素,且互不为对方的子集时,我们称这两个集合“相交”.对于集合M=x|ax2 - 1=0,a0,N= - 12,12,1,若M与N“相交”,则a=.21.C对于,由于 - 1N,故错误.对于,x|y=x2=R,y|y=x2=y|y0=0,+),以上两集合均为数集,(
10、x,y)|y=x2表示抛物线y=x2上所有点的集合,故错误.对于,方程中含有两个未知数,解集为(2 020, - 2 021),故错误.对于,当m= - 1时,m+2=1,不满足集合中元素的互异性,故错误.易知正确.对于,A=x|0x10,UA=x|x0或x10,故错误.故选C.2.B由x - 2x+10可得x - 1或x2,所以B=x|x - 1或x2,则AB=2,3,AB中有2个元素,故选B.3.C由题意可知A可能为0,1,0,1,2,0,1,3,则满足条件的集合A的个数为3,故选C.4.C依题意得AB=x| - 1x0, - 2(a+1)= - 4,a2 - 1=0,解得a=1;当B且B
11、A时,B=0或B= - 4,则=4(a+1)2 - 4(a2 - 1)=0,解得a= - 1,此时B=0,满足题意;当B=时,=4(a+1)2 - 4(a2 - 1)0,解得a - 1.综上所述,实数a的取值范围是( - , - 11.3.(1)D因为A=x|x2+2x=0= - 2,0,B=x|2|x - 1|=2=0,2,所以AB= - 2,0,2.(2)C由已知得X=( - ln 2,+),Y= - 3,2,所以 RX=( - , - ln 2,所以(RX)Y= - 3, - ln 2,故选C.4.1M= - 1a,1a,若1a=12,则a=4;若1a=1,则a=1.当a=4时,M= - 12,12,此时MN,不合题意;当a=1时,M= - 1,1,满足题意.故a=1.
