1、3.2.3 两角和与差的正切函数 教学分析 教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来,单独作为一节,这对学生的自主探究学习提供了平台.因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式,对其应用学生有了一定的理解,同时对于三角函数变形中,角的变换也有了一定的掌握,因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移,更多地让学生自主学习,独立地推导两角和与差的正切公式,为学生提供进一步实践的机会.也可以说本节并不是什么新的内容,而是对前面所学知识的整合而已.在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心,培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.对于公式成立的条件,可以在学
2、生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论,在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决. 在学习两角和与差的正切公式中,有许多优美的三角恒等式,包括倍角公式,半角公式等.它可以唤起学生的美感,教学中要注意这种形式上的特点,引导学生欣赏其结构、变形之美.本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容,教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结,从分析公式的推导过程入手,探究问题解决的来龙去脉,揭示它们的逻辑关系,使学生更好地用分析的方法寻求解题思路.三维目标1.会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式,能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明.2.通过两角和与差的正
3、切公式的推导及运用,让学生从中体会转化与化归的思想方法,培养学生用联系变化的观点观察问题,通过学生的互相交流增强学生的合作能力,加强学生对公式的理解,在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次.重点难点 教学重点:两角和与差的正切公式的推导及应用. 教学难点:两角和与差的正切公式的灵活运用,特别是逆用及变形用.课时安排1课时教学过程导入新课 思路1.(问题导入)通过前面的学习,你能否求出如何计算tan75的值？的值？学生很容易转化为30、45的正弦、余弦来求.教师进一步提出:能否直接利用tan30和tan45来求出如何计算tan75的值？呢？由此展开新课,探究两角和与差的正切公式.思路2.(直接导入
4、)在研究了和与差角的正弦、余弦与单角、的正弦、余弦间的关系后,能否探究出tan()与tan、tan间的关系？是否与sin()公式相似?如何推导呢?由此展开新课,揭示课题.推进新课新知探究提出问题利用所学两角和与差的公式,对比分析公式C-、C+、S-、S+,能否推导出tan(-)=?tan(+)=?分析观察公式T-、T+的结构特征与正、余弦公式有什么不同？前面两角和与差的正,余弦公式是恒等式,和与差的正切呢？活动:教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C-、C+、S+、S-,可以完全让学生自己进行探究tan(-),tan(+)究竟如何,教师只是适时地点拨就行了.通过教师引导学生自然会想到利用同角
5、三角函数关系式化弦为切,通过除以coscos即可得到,在这一过程中学生很可能想不到讨论coscos等于零的情况,这时教师不要直接提醒,让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果.对coscos讨论如下:当cos(+)0时,tan(+)=.若coscos0,即cos0且cos0时,分子分母同除以coscos,得tan(+)=.根据角、的任意性,在上面的式子中,用-代之,则有tan(-)=.由此推得两角和与差的正切公式,简记为“T-、T+”.tan(+)=;(T+)tan(-)=.(T-)我们把公式T+,T-分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式,并且从推导过程可以知道、,有一定的取值范围,即+k
6、(kZ),+k(kZ),+k(kZ),这样才能保证tan()与tan,tan都有意义. 教师应留出一定的时间让学生回味,反思探究过程,点明推导过程的关键是: tan(+)sin(+),cos(+)sin、sin、cos、costan、tan.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面:公式成立的条件是什么?(提示学生从公式的形式和推导过程看)tan、tan、tan()都有意义,且1tantan0;注意公式的形式:公式右边分子是单角、正切的和与差,分母是1减(或加)单角、正切的积公式,右边分子的符号与公式左边的符号相同,公式右边分母的符号与分子的符号相反;公式的作用:将
7、复角的正切化为单角、的正切形式,用于角的变换.(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明. 至此,我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式,统一叫作三角函数的和差公式.一般地,我们把公式S+,C+,T+都叫作和角公式,而把公式S-,C-,T-都叫作差角公式.要让学生明晰这六个公式的推导过程,清晰逻辑关系主线.可让学生自己画出这六个框图,通过逻辑联系图,深刻理解它们之间的内在联系,借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学生注意:不仅要掌握这些公式的正用,还要注意它们的逆用及变形用.如两角和与差的正切公式的变形式:tan+tan=tan(+)(1-tantan),tan
8、-tan=tan(-)(1+tantan),在化简求值中就经常用到,使解题过程大大简化,也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力.对于两角和与差的正切公式,当tan,tan或tan()的值不存在时,不能使用T处理某些问题,但可改用诱导公式或其他方法,例如:化简tan(-),因为tan的值不存在,不能应用两角和与差的正切公式,所以改用诱导公式tan(-)=来处理.讨论结果:略.应用示例例4 已知tan=2,tan=-,其中0,.(1)求tan(-);(2)求+的值.活动:本例是两角和与差的正切公式的直接运用,教师可让学生独立解决.对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围,这是解这类题目的关键步骤.让
9、学生养成良好的习惯:由三角函数值求角必先找出所求角的范围.解:(1)因为已知tan=2,tan=-,所以tan(-)=7.(2)因为tan(+)=1,又因为0,所以+.在与之间,只有的正切值等于1,所以+=.随堂测试例5 计算的值.活动:教材安排本例的目的是让学生体会公式的逆用,难度不大,可由学生自己完成.对部分思路受阻的学生,教师点拨学生细心观察题中式子的形式有何特点,再对比公式右边,马上发现与T-右边形式相近,但需要进行一定的变形,又因tan45=1,原式化为,再逆用公式T-即可解得.解:因为tan45=1,所以=tan(45-15)=tan30=.点评:本例体现了对公式全面理解上的要求,
10、要求学生能够从正、反两个角度使用公式,与正用相比,反用表现的是一种逆向思维,它不仅要求有一定的反向思维意识,对思维的灵活性要求也高,而且对公式要有更深刻的认识.变式训练例6 若tan(+)=,tan(-)=,求tan(+)的值.活动:本例是教材和与差角公式的最后一个例题,需要用到拆角技巧,对此学生是熟悉的.教学时可让学生自己探究解决,但要提醒学生在以后解题时注意挖掘题目中隐含着的某种特殊的关系,通过细微而敏锐的观察、联想、转化等思维活动,以实现解题的突破.解:因为+=(+)-(-),所以tan(+)=tan(+)-(-)=.点评:本题是典型的变角问题,就是把所求角利用已知角来表示,具有一定的技巧,这就需要教师巧妙地引导,让学生亲自动手进行角的变换,使之明白此类变角的技巧,从而培养学生灵活运用公式的能力.当堂检测：1、若tan= ,tan= ,则tan（）= A B C D2、若tan= 2, ,tan（）=3，则tan（2）= A1 B C D 3已知，则。4. 课堂小结： 1.和差角的三角函数公式；2.和差角的三角函数公式的变形；3.注意“1”的代换作用；4.注意运用“配角”的技巧；
