1、江苏省南通市通州区2012届高三下学期4月查漏补缺专项检测数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在相应位置上1若复数满足（是虚数单位），则 2已知全集，集合，则中最大的元素是 3直线与直线平行的充要条件是 第5题图4设等比数列的前项和为，若，则数列的公比是 5如图，沿田字型的路线从往走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点的概率是 6实数满足，则的值为 7与抛物线有且仅有一个公共点，并且过点的直线方程为 8空间三条直线中，任何两条不共面，且两两互相垂直，另一条直线与这三条直线所成的角均为，则 9将函数的图象向左平移至少 个单位，可得一个偶函数的图象10
2、将一个长和宽分别为的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是 11在中，角所对边分别是，若，则 12已知函数是定义在上的增函数，函数的图象关于对称若对任意的，不等式恒成立，则当时，的取值范围是 13已知中，为的外心，若点在所在的平面上，且，则边上的高的最大值为 14各项为正数的数列，其前项的和为，且，若，且数列的前项的和为，则 二、解答题：本大题共六小题，共计90分请在指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）设函数，其中，若，且图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是（1
3、）求函数的解析式；（2）若是的三个内角，且，求的取值范围16（本小题满分14分）第16题图在所有棱长都相等的斜三棱柱中，已知，且，连接（1）求证：平面；（2）求证：四边形为正方形17（本小题满分14分）如图1，、是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段和曲线段分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤为观光旅游的需要，拟过栈桥上某点分别修建与、平行的栈桥、，且以、为边建一个跨越水面的三角形观光平台建立如图2所示的直角坐标系，测得线段的方程是，曲线段的方程是，设点的坐标为，记（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）（1）求的取值范围；（2）试写出三角形观光平台面积关于的函数解析式，并求出该
4、面积的最小值18（本小题满分16分）已知椭圆的右焦点为，点在圆上任意一点（点第一象限内），过点作圆的切线交椭圆于两点、（1）证明：；OxyPFRQ第18题图（2）若椭圆离心率为，求线段长度的最大值19（本小题满分16分） 已知函数（）（1）若，在上是单调增函数，求的取值范围； （2）若，求方程在上解的个数20（本小题满分16分）已知数列单调递增，且各项非负，对于正整数，若任意的，（），仍是中的项，则称数列为“项可减数列”（1）已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，且数列是“项可减数列”，试确定的最大值；（2）求证：若数列是“项可减数列”，则其前项的和；（3）已知是各项非负的递增数列，写出（2
5、）的逆命题，判断该逆命题的真假，并说明理由数学附加题21本题包括高考A，B，C，D四个选题中的B，C 两个小题，每小题10分，共20分把答案写在答题卡相应的位置上解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B选修42：矩阵与变换已知矩阵，向量求向量，使得C选修44：极坐标与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐标系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（1）求直线的倾斜角；（2）若直线与曲线交于两点，求22【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有
6、5人，现从中选2人设为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且（1）求文娱队的队员人数；（2）写出的概率分布列并计算23【必做题】本题满分10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤在数列和中，其中且，设，试问在区间上是否存在实数使得若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由数学试题答案及评分标准一、填空题： 1 23 3 41或1 5 68 7或8 9 10 11 12 13 14 二、解答题： 15解：（1）由条件， 3分又图象的一条对称轴离一个对称中心的最近距离是，所以周期为， 6分（2）由，知，是的内角，从而 9分由， 12分，即 14分16（1）证明：因为是菱形，所
7、以又，所以 因为，所以 4分 因为，所以由，所以 8分（2）证明：因为，所以， 10分又因为，所以， 所以所以四边形为正方形 14分17解：（1） ， 2分由题知，在曲线段上，且， 4分 7分（2） 10分时，在上单调递减， 14分18解：（1）设，得， 3分由是圆的切线，注意到，6分所以 7分（2）由题意， 9分方法一：设直线的方程为，点在第一象限，由直线与圆相切， 11分由，消得，设，则由（1）知，14分，当且仅当时，取最大值2，此时直线的方程为，过焦点16分方法二：设，则直线的方程为 11分由，消得，则，由（1）知，14分，当且仅当时，取最大值2，此时，直线过焦点 16分方法三：由（1）
8、同理可求，则，11分，当且仅当直线过焦点时等号成立，从而 16分19解： 2分当时， ，由条件，得恒成立，即恒成立， 4分当时，由条件，得恒成立，即恒成立，b2 综合，得b的取值范围是 6分（2）令，即8分当时，则即，在（0，）上是递增函数 10分当时，在（，）上是递增函数又因为函数在有意义，在（0，）上是递增函数 12分，而，则a2， ， 14分当a3时，0，g(x)0在上有惟一解当时，0，g(x)0在上无解16分 20解：（1）设，则，易得，即数列一定是“2项可减数列”，但因为，所以的最大值为2 5分（2）因为数列是“项可减数列”，所以必定是数列中的项， 7分而是递增数列，故，所以必有，则
9、，所以，即又由定义知，数列也是“项可减数列”，所以 10分（3）（2）的逆命题为：已知数列为各项非负的递增数列，若其前项的和满足，则该数列一定是“项可减数列”，该逆命题为真命题 12分理由如下：因为，所以当时，两式相减，得，即 （）则当时，有（）由（）（），得，又，所以，故数列是首项为0的递增等差数列设公差为，则，对于任意的，因为，所以仍是中的项，故数列是“项可减数列” 16分数学附加题参考答案21 B选修42：矩阵与变换解：， 4分 设，则= 8分 ，. 10分21 C选修44：极坐标与参数方程解：（1）设直线的倾斜角为，则且，即直线的倾斜角为 5分（2）的直角坐标方程为，的直角坐标方程为，所以圆心到直线的距离， 10分22解：设既会唱歌又会跳舞的有人，则文娱队中共有（）人，只会一项的人数是（）人2分（1），即，解得 故文娱队共有5人 5分（2）， 7分的概率分布列为：012 10分23解：设存在实数，使，设，则，且，设，则，所以，因为，且，所以能被整除 4分（1）当时，因为， ，所以； 5分（2）当时，由于，所以，所以，当且仅当时，能被整除. 7分（3）当时，由于，所以，所以，当且仅当，即时，能被整除 .9分综上，在区间上存在实数，使成立，当时，；当时， 10分
