1、考点规范练51抛物线考点规范练A册第35页基础巩固1.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x=-2相切,这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是()A.(0,2)B.(2,0)C.(4,0)D.(0,4)答案:B解析:由题意得,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,因为动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆与抛物线的准线相切,所以动圆必过抛物线的焦点,即过点(2,0),选B.2.抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-1716B.-1516C.1716D.1516答案:B解析:抛物线方程可化为x2=-y4,其准线方程为y=116.设M(x0,y0),则由抛
2、物线的定义,可知116-y0=1,y0=-1516.3.(2019全国,理8)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.8答案:D解析:y2=2px的焦点坐标为p2,0,椭圆x23p+y2p=1的焦点坐标为(3p-p,0),3p-p=p24,解得p=8,故选D.4.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点F的直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=8,则线段AB的中点M到直线x+1=0的距离为()A.2B.4C.8D.16答案:B解析:如图,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,即x+1=0,分别过A,B作准线
3、的垂线,垂足为C,D,则有|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=8,过AB的中点M作准线的垂线,垂足为N,则MN为直角梯形ABDC的中位线,则|MN|=12(|AC|+|BD|)=4,即M到直线x+1=0的距离为4.故选B.5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为()A.2B.4C.5D.6答案:A解析:抛物线y2=4x,p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=12(x1+x2)=12(|AB|-p)=2,故选A.6.已知等边三角形AOB(O为坐标原点)的三个
4、顶点在抛物线:y2=2px(p0)上,且AOB的面积为93,则p=()A.3B.3C.32D.332答案:C解析:根据抛物线和等边三角形的对称性可知A,B两点关于x轴对称,不妨设直线OB:y=33x,与y2=2px联立得B(6p,23p),因为AOB的面积为93,所以34(43p)2=93,解得p=32.故选C.7.已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为()A.6B.5C.4D.3答案:A解析:抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过点
5、A,B分别作AMl于点M,BNl于点N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连接OB,则|OB|=12|AF|,|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,|BN|=3,|AM|=6,故选A.8.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,若M为FN的中点,则|FN|=.答案:6解析:设N(0,a),由题意可知F(2,0).又M为FN的中点,则M1,a2.因为点M在抛物线C上,所以a24=8,即a2=32,即a=42.所以N(0,42).所以|FN|=(2-0)2+(042)2=6.9.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的
6、直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点为F,A(x1,2),B(x2,8)是C上两点,且x2x10,若|BF|=3|AF|,则x1+x2=()A.32B.6C.62D.8答案:C解析:3|FA|=|FB|,根据抛物线的定义,可得32+p2=8+p2,解得p=2,抛物线方程为x2=4y,将y1=2,y2=8代入方程,得x1=22,x2=42,x1+x2=62.故选C.12.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,22)x0p2为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=p2截得的弦长为3|MA|,若|MA|AF|=2,则|AF
7、|=.答案:1解析:由抛物线的定义得|MF|=x0+p2.圆与y轴相切,|MA|=x0.圆被直线x=p2截得的弦长为3|MA|,圆心到直线x=p2的距离为|MA|2-32|MA|2=12|MA|,|MA|=2x0-p2,2x0-p2=x0,解得x0=p.M(p,22),2p2=8,p=2.|MA|AF|=2,|AF|=12|MA|=12p=1.13.设动点P(x,y)(x0)到定点F(1,0)的距离比它到y轴的距离大1,记点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)设D(x0,2)是曲线C上一点,与两坐标轴都不平行的直线l1,l2过点D,且它们的倾斜角互补.若直线l1,l2与曲线C的另一交
8、点分别是M,N,证明直线MN的斜率为定值.(1)解由题意知,点P的轨迹方程是以F(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,故曲线C的方程为y2=4x.(2)证明由D(x0,2)在曲线C上,得4=4x0,则x0=1,从而D(1,2).设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l1:y=k(x-1)+2,则l2:y=-k(x-1)+2,由y=k(x-1)+2,y2=4x得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0,x11=(k-2)2k2=k2-4k+4k2,同理x2=k2+4k+4k2.x1+x2=2k2+8k2,x1-x2=-8k.y1-y2=k(x1+x2)-2k=8k.kMN=y1-y2x1-x2=8k-8k=-1,直线MN的斜率为定值-1.高考预测14.已知点F是抛物线y2=2px(p0)(O为坐标原点)的焦点,倾斜角为3的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A,当|AF|=2时,抛物线方程为()A.y2=xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=8x答案:B解析:过点A作ABx轴于点B,则RtABF中,AFB=60,|AF|=2,所以|BF|=|AF|cosAFB=12|AF|=1,|AB|=|AF|sinAFB=3.设点A的坐标为(x0,3)x0p2,由x0+p2=2,3=2px0,解得p=1.所以抛物线的方程为y2=2x.故选B.
