1、第2课时函数的定义域与值域题型一函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylg cos x；(3)ylog2(4x2)；(4)y(2x5)0.解(1)由得所以函数的定义域为x|x1或x1且x2(2)由得所以函数的定义域为.(3)要使函数有意义，必须解得2x0或1x2，函数的定义域为(2,0)1,2)(4)由得函数的定义域为.思维升华(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是使解析式有意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义域等(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题在解不等式组时要细
2、心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值题型二函数的值域例1求下列函数的值域：(1)y；(2)y；(3)y2x；(4)y；(5)y|x1|x2|；(6)f(x)min|x1|，|x2|，其中mina，b解(1)分离常数法：y1，|x|0，|x|11，02，111，函数的值域为(1,1(2)方法一由yx1，得x2(1y)x10.方程有实根，(1y)240.即(y1)24，y12或y12.得y1或y3.即函数的值域为(，13，)方法二令y10，得1x0或0x1.函数在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，此时y3；函数在(1,0)上单调递减，在(，1)上单调递增，此时y1.y1或y3
3、.即函数的值域为(，13，)(3)令t，t0，则x1t2，y22t2t22，即函数的值域为.(4)函数的定义域为1，)，y与y在1，)上均为增函数，y在1，)上为增函数，x1时，ymin，即函数的值域为，)(5)方法一由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以函数的值域为3，)方法二y画出此分段函数的图象如图，可知值域为3，)(6)画出f(x)大致图象(实线部分)，由图可知，x1或2时，f(x)min0，值域为0，)结合本例(4)求函数y的值域解函数的定义域为1，)，y，由本例(4)知函数y的值域为，)，0，0，函数的值域为(0，思维升华求函数值域的一般方法(1)分离常数法；(2)反解法；(
4、3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元法；(7)数形结合法；(8)导数法跟踪训练1求下列函数的值域：(1)y；(2)yx4；(3)y.解(1)方法一y1，因为x20，所以x211，所以02.所以111.即函数的值域为(1,1方法二由y，得x2.因为x20，所以0.所以1，所以x0，所以x2，当且仅当x，即x时取等号所以y，即原函数的值域为.题型三定义域与值域的应用例2(1)若函数f(x)的定义域为x|1x2，则ab的值为_答案解析函数f(x)的定义域是不等式ax2abxb0的解集不等式ax2abxb0的解集为x|1x2，所以解得所以ab3.(2)已知函数y的值域为0，)，求a的
5、取值范围解令tg(x)x2ax12a，要使函数y的值域为0，)，则说明0，)y|yg(x)，即二次函数的判别式0，即a24(2a1)0，即a28a40，解得a42或a42，a的取值范围是a|a42或a42思维升华已知函数的定义域、值域求参数问题可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质、转化为含参数的方程、不等式(组)，然后求解跟踪训练2(1)若函数f(x)在2 021，)上有意义，则实数a的取值范围为_答案1，)解析由于函数f(x)在2 021，)上有意义，即ax2 0210在2 021，)上恒成立，即a在2 021，)上恒成立，而01)，则实数b_.答案3解析f(x)(x1)21
6、，x1，b且b1，则f(1)1，f(b)(b1)21，f(x)在1，b上为增函数，函数值域为.由已知得(b1)21b，解得b3或b1(舍)我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用yf(x)表示，抽象函数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，是考查函数的良好载体一、抽象函数的函数值例1(1)设函数yf(x)的定义域为(0，)，f(xy)f(x)f(y)，若f(8)3，则f()_.答案解析因为f(8)3，所以f(24)f(2)f(4)f(2)f(22)f(2)f(2)f(2)3f(2)3，所以f(2)1.因为
7、f(2)f()f()f()2f()，所以2f()1，所以f().(2)设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x1，x2，都有f(x1)f(x2)2ff，f()1，则f(0)_.答案1解析令x1x2，则f()f()2f()f(0)，f(0)1.二、抽象函数的定义域例2(1)(2019皖南八校模拟)已知函数f(x)ln(xx2)，则函数f(2x1)的定义域为_答案解析由题意知，xx20，1x0，即f(x)的定义域为(1,0)12x10，则1x0，即log2x1或log2x2或0x0，yxex的定义域为R，y的定义域为x|x0，故D正确3在下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lg x的定义域
8、和值域相同是()Ayx Bylg xCy2x Dy答案D解析函数y10lg x的定义域和值域均为(0，)，函数yx的定义域和值域均为R，不满足要求；函数ylg x的定义域为(0，)，值域为R，不满足要求；函数y2x的定义域为R，值域为(0，)，不满足要求；函数y的定义域和值域均为(0，)，满足要求；故答案为D.4函数y1的值域为()A(0，) B(1，)C0，) D1，)答案D解析函数y1，定义域为1，)，根据幂函数性质可知，该函数为增函数，当x1时，该函数取得最小值1，故函数y1的值域为1，)5(2019衡水中学调研)函数f(x)的定义域为()A(1,0)(0,1 B(1,1C(4，1) D
9、(4,0)(0,1答案A解析要使函数f(x)有意义，应有解得1x0或00，易证g(x)在上是增函数，f(x)在1,2上为增函数，从而得f(x)的值域为5,711若函数f(x)2x，则f(x)的定义域是_，值域是_答案2，)4，)解析x20x2，所以函数f(x)的定义域是2，)；因为函数y，y2x都是2，)上的单调递增函数，故函数f(x)2x也是2，)上的单调递增函数，所以函数f(x)的最小值为f(x)minf(2)4，故函数f(x)2x的值域为4，)12函数y(x1)的值域为_答案24，)解析令x1t0，xt1.yt424，当且仅当t即t时等号成立函数的值域为24，)13若函数yf(x)的定义
10、域为0,2，则函数g(x)的定义域是()A0,1) B0,1C0,1)(1,4 D(0,1)答案A解析函数yf(x)的定义域是0,2，要使函数g(x)有意义，可得解得0x1，故选A.14若函数y的定义域为R，则实数a的取值范围是_答案0,3)解析因为函数y的定义域为R，所以ax22ax30无实数解，即函数yax22ax3的图象与x轴无交点当a0时，函数y3的图象与x轴无交点；当a0时，(2a)243a0，解得0a3.综上所述，a的取值范围是0,3)15定义新运算“”：当mn时，mnm；当m0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_答案(1,2解析当x2时，f(x)x6，f(x)在(，2上为减函数，f(x)4，)当x2时，若a(0,1)，则f(x)3logax在(2，)上为减函数，f(x)(，3loga2)，显然不满足题意，a1，此时f(x)在(2，)上为增函数，f(x)(3loga2，)，由题意可知(3loga2，)4，)，则3loga24，即loga21，1a2.
