1、分层限时跟踪练(十三)(限时40分钟)一、选择题1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(1)等于()AeB1C1De【解析】f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，即f(1)1.【答案】B2(2015豫东、豫北十所名校联考)已知f(x)2exsin x，则曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为()Ay0By2xCyxDy2x【解析】f(x)2exsin x，f(0)0，f(x)2ex(sin xcos x)，f(0)2，曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y2x.【答案】B3物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜
2、价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()【解析】由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选B.【答案】B4(2015吉林模拟)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为()AeBe C.D【解析】yln x的定义域为(0，)，且y，设切点为(x0，ln x0)，则y|xx0，切线方程为yln x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜
3、率为.【答案】C5直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则2ab的值等于()A2B1 C1D2【解析】依题意知，y3x2a，则由此解得所以2ab1，选C.【答案】C二、填空题6(2015全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a .【解析】f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.【答案】17已知函数f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则f(0) .【解析】令g(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)，则f(x)xg(x
4、)，f(x)g(x)xg(x)，f(0)g(0)(1)(2)(3)(4)(5)120.【答案】1208经过原点(0,0)作函数f(x)x33x2图象的切线，则切线方程为 【解析】f(x)3x26x.当(0,0)为切点时，f(0)0，故切线方程为y0.当(0,0)不为切点时，设切点为P(x0，x3x)，则切线方程为y(x3x)(3x6x0)(xx0)，又点(0,0)在切线上，所以x3x3x6x，解得x00(舍去)或x0，故切线方程为9x4y0.【答案】y0或9x4y0三、解答题9已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且
5、经过原点，求直线l的方程及切点坐标【解】(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21.f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y613(x2)，即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，y0xx016，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过坐标原点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，得切点坐标(2，26)，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)10已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(
6、a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围【解】f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或a1.(2)曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，a.a的取值范围为. 1直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()A2Bln 21Cln 21Dln 2【解析】yln x的导数为y，由，解得x2，切点为(2，ln 2)将其代入直线方程y
7、xb，可得bln 21.【答案】C2已知曲线方程f(x)sin2x2ax(xR)，若对任意实数m，直线l：xym0都不是曲线yf(x)的切线，则a的取值范围是()A(，1)(1,0)B(，1)(0，)C(1,0)(0，)DaR且a0，a1【解析】f(x)2sin xcos x2asin 2x2a，直线l的斜率为1.由题意知关于x的方程sin 2x2a1无解，所以|2a1|1，解得a1或a0.【答案】B3已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为 【解析】设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率为kf(
8、t)3t2a，所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt)将点(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解得t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka，由题意得它们互为相反数得a.【答案】4曲线yln 2x上任意一点P到直线y2x的距离的最小值是 【解析】如图，所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y2x两平行线间的距离，也即切点到直线y2x的距离由yln 2x，则y2，得x，yln0，即与直线y2x平行的曲线yln 2x的切线的切点坐标是，yln 2x上任意一点P到直线y2x的距离的最小值，即.【答案】5设函数f(x)x3ax(a0)，g(x)bx22b1.若曲线yf(x)与
9、yg(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，求实数a，b的值，并写出切线l的方程【解】因为f(x)x3ax(a0)，g(x)bx22b1，所以f(x)x2a，g(x)2bx.因为曲线yf(x)与yg(x)在它们的交点(1，c)处有相同的切线，所以f(1)g(1)，且f(1)g(1)，即ab2b1，且1a2b，解得a，b，得切点坐标为(1,0)切线方程为y(x1)，即2x3y20.6已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)当a1时，若直线l：ykx1与曲线yf(x)相切，求l的直线方程【解】(1)f(x)1，因为曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，所以f(1)10，解得ae.(2)当a1时，f(x)x1，f(x)1.设切点为(x0，y0)，f(x0)x01kx01，f(x0)1k，得x0kx01k，即(k1)(x01)0.若k1，则式无解，x01，k1e.l的直线方程为y(1e)x1.
