1、章末综合检测(二)A卷基本知能盘查卷(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知f(x)x22xf(1),则f(3)等于()A4 B2 C1 D2解析:选D对f(x)求导得f(x)2x2f(1),令x1,可得f(1)22f(1),f(1)2,f(x)2x2f(1)2x4,当x3时,f(3)2.故选D.2已知函数f(x)ax2b的图象开口向下,4,则a()A. B C2 D2解析:选B由题意知,f(x)2ax,由导数的定义可知f(a)2a24,解得a.因为函数f(x)的图象开口向下,所以a0,所以
2、a.3.如图是导函数yf(x)的图象,则下列说法错误的是()A(1,3)为函数yf(x)的单调递增区间B(3,5)为函数yf(x)的单调递减区间C函数yf(x)在x0处取得极大值D函数yf(x)在x5处取得极小值解析:选C由题图,可知当x1或3x5时,f(x)5或1x0,所以函数yf(x)的单调递减区间为(,1),(3,5),单调递增区间为(1,3),(5,),所以函数yf(x)在x1,x5处取得极小值,在x3处取得极大值,故选项C说法错误4过点P(2,6)作曲线f(x)x33x的切线,则切线方程为()A3xy0或24xy540B3xy0或24xy540C3xy0或24xy540D24xy54
3、0解析:选A设切点为(m,m33m),f(x)x33x的导数为f(x)3x23,则切线斜率k3m23,由点斜式方程可得切线方程为ym33m(3m23)(xm),将点P(2,6)代入可得6m33m(3m23)(2m),解得m0或m3.当m0时,切线方程为3xy0;当m3时,切线方程为24xy540.5若函数f(x)(x1)有最大值4,则实数a的值是()A1 B1 C4 D4解析:选B由函数f(x)(x1),则f(x).要使得函数f(x)有最大值4,则a0,函数f(x)在(1,2)上单调递增,当x(2,)时,f(x)0,函数f(x)在(2,)上单调递减,所以当x2时,函数f(x)取得最大值,即f(
4、x)maxf(2)4,解得a1,满足题意,故选B.6已知函数f(x)x在(,1)上单调递增,则实数a的取值范围是()A1,) B(,0)(0,1C(0,1 D(,0)1,)解析:选D由题意知f(x)1,由于f(x)在(,1)上单调递增,则f(x)0在(,1)上恒成立,即x2在(,1)上恒成立当x1,则有1,解得a1或a0.故选D.7若函数f(x)x33bx3在(1,2)内有极值,则实数b的取值范围是()A(0,4) B0,4) C1,4) D(1,4)解析:选Af(x)3x23b0,即x2b.又f(x)在(1,2)内有极值,f(x)在(1,2)内有变号零点,0b0)在1,)上的最大值为,则a(
5、)A.1 B C. D1解析:选A由题意得f(x)(x0),所以当0x0,f(x)单调递增;当x时,f(x)1,即a1时,f(x)在1,)上单调递增,在(,)上单调递减,故f(x)maxf() .令,解得a,不合题意;当01,即0a1时,f(x)在1,)上单调递减,故f(x)maxf(1).令,解得a1.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9下列函数求导运算正确的为()A(3x)3xlog3e B(log2x)C(ex)ex Dx解析:选BCA(3x)3xln 3,故错误;B.(log2
6、x),故正确;C.(ex)ex,故正确;D.,故错误故选B、C.10设f(x)在x0处可导,下列式子中与f(x0)相等的是()A. B. C. D. 解析:选ACA. f(x0)B. 2 2f(x0)C. f(x0)D. 3 3f(x0)故选A、C.11已知曲线y在点P(2,4)处的切线与直线l平行且距离为2,则直线l的方程为()A2xy20 B2xy180C2xy180 D2xy20解析:选ABy,y|x22,因此kl2.设直线l方程为y2xb,即2xyb0.由题意得2,解得b18或b2,所以直线l的方程为2xy180或2xy20.故选A、B.12已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图,
7、则下列叙述正确的是()A函数f(x)在(,4)上单调递减B函数f(x)在x2处取得极大值C函数f(x)在x4处取得极值D函数f(x)只有一个极值点解析:选BD由导函数的图象可得,当x2时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x2时,f(x)0,函数f(x)单调递减所以函数f(x)的单调递减区间为(2,),故A错误当x2时函数取得极大值,故B正确当x4时函数无极值,故C错误只有当x2时函数取得极大值,故D正确,故选B、D.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中的横线上)13若函数f(x)3sin25,则f的值为_解析:f(x)6sin6sincos12sincos6sin
8、,f3.答案:314设a为实数,函数f(x)x3ax2(a3)x的导函数为f(x)若f(x)是偶函数,则a_,曲线yf(x)在原点处的切线方程为_解析:f(x)3x22axa3为偶函数,a0,f(x)3x23,f(0)3,所求切线方程为y3x.答案:0y3x15某公司需要一年购买某种货物共400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总储存费为4x万元,要使一年的总运费与总储存费用之和最小,则x应为_吨解析:设该公司一年内总共购买n次货物,则n,总运费与总储存费之和f(x)4n4x4x.令f(x)40,解得x20,x20(舍去)经检验可知,x20是函数f(x)的最小值,故当每次购买20吨时
9、,总费用之和最小答案:2016设函数f(x)ln x,mR,若任意两个不相等正数a,b,都有a0,原式恒成立等价于f(b)b0),则h(b)0)恒成立,所以m.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点,求曲线在点M处的斜率最小的切线方程解:yx24x3(x2)21,当x2时,ymin1,此时y,斜率最小的切线过点,且斜率k1,所求切线方程为3x3y110.18(12分)已知函数f(x)(k为常数,e是自然对数的底数),曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值;(2)求
10、f(x)的单调区间解:(1)由题意得f(x).又因为f(1)0,故k1.(2)由(1)知,f(x).设h(x)ln x1(x0),则h(x)0,即h(x)在(0,)上是减函数由h(1)0知,当0x0,从而f(x)0;当x1时,h(x)0,从而f(x)1),所以f(x),所以f(0)2.又f(0)0,所以函数f(x)的图象在点(0,f(0)处的切线方程为y2x.(2)f(x)(x1),令x1a0,得xa1.若a11,即a0,则f(x)0恒成立,此时f(x)无极值;若a11,即a0,则当1xa1时,f(x)a1时,f(x)0,此时f(x)在xa1处取得极小值,极小值为ln(a)a1.22(12分)
11、设函数f(x)x36x29xa.(1)求函数f(x)在区间2,2上的最值;(2)若函数f(x)有且只有两个零点,求a的值解:(1)对f(x)求导得f(x)3x212x9,令f(x)0可得x1或x3(舍去),因为x2,2,所以当x2,1)时,f(x)0,f(x)在2,1)上单调递增;当x(1,2时,f(x)0,f(x)在(1,2上单调递减又因为f(1)4a,f(2)50a,f(2)2a,所以f(x)min50a,f(x)max4a.(2)令f(x)x36x29xa0,可得ax36x29x.设g(x)x36x29x,则g(x)3x212x9,令g(x)0,得x1或x3,列表如下,所以g(x)的大致
12、图象如图所示,要使ax36x29x有且只有两个零点,只需直线ya与g(x)的图象有两个不同交点,所以a4或a0.B卷高考能力达标卷(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1设f(x)xln x,若f(x0)2,则x0等于()Ae2 BeC. Dln 2解析:选Bf(x)xln x,f(x)ln xxln x1,f(x0)2,ln x012,x0e.故选B.2曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A30 B45C60 D120解析:选B由题意知点(1,3)在曲线yx32x4上yx32x
13、4,y3x22,根据导数的几何意义,可知曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的斜率ky|x11,曲线yx32x4在点(1,3)处的切线的倾斜角为45.故选B.3函数f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3处取得极值,则a()A2 B3 C4 D5解析:选Df(x)3x22ax3,又f(x)在x3处取得极值,f(3)306a0,得a5.4.函数f(x)的图象如图所示,则不等式(x3)f(x)0,解不等式(x3)f(x)0,得x3.当x(1,1)时,f(x)0,解不等式(x3)f(x)0,得1x0,不等式(x3)f(x)0无解综上,不等式(x3)f(x)0恒成立,则f(x)在R上单调递增,不
14、符合题意当a0时,令f(x)0,解得xln a,当x(,ln a)时,f(x)0.可知xln a为f(x)的极值点,ln af(x),则当ab时,下列不等式成立的是()Aeaf(a)ebf(b) Bebf(a)eaf(b)Cebf(b)eaf(a) Deaf(b)ebf(a)解析:选Db,ebf(a)8设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(1)0,当x0时,xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(,1)(0,1) B(1,0)(1,)C(,1)(1,0) D(0,1)(1,)解析:选A当x0时,令F(x),则F(x)0时,F(x)为减函数f(x)为奇函数,且由f(1)0,
15、得f(1)0,故F(1)0.在区间(0,1)上,F(x)0;在(1,)上,F(x)0.即当0x0;当x1时,f(x)0;当x(1,0)时,f(x)0的解集为(,1)(0,1)二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9曲线yx21与yln x()A在点(1,0)处相交 B在点(1,0)处相切C存在相互平行的切线 D有两个交点解析:选ACD令f(x)x21,g(x)ln x,f(1)g(1)0,f(1)2,g(1)1,故选A,排除B.f(x)2xR,g(x)(0,),存在f(1)g,故选C.令F
16、(x)f(x)g(x),则F(x)2x,故F(x)在上单调递减,在上单调递增,而Fln 20,FF(e)e220,故选D.10函数y2x33x212x5在2,1上的最值情况为()A最大值为12 B最大值为5C最小值为8 D最小值为15解析:选ACy6x26x12,由y0x1或x2(舍去)x2时,y1;x1时,y12;x1时,y8. ymax12,ymin8.故选A、C.11.已知定义在R上的函数f(x),其导函数f(x)的大致图象如图所示,则下列说法正确的是()Af(a)f(e)f(d)B函数f(x)在a,b上递增,在b,d上递减Cf(x)的极值点为c,eDf(x)的极大值为f(c)解析:选C
17、D由导数与函数单调性的关系知,当f(x)0时,f(x)单调递增,当f(x)0,f(x)在(a,c)上单调递增;当x(c,e)时,f(x)0,f(x)在(e,)上单调递增,函数f(x)在xc处取得极大值f(c),在xe处取得极小值f(e),f(x)的极值点为c,e.故选C、D.12对于函数f(x),下列说法正确的有()Af(x)在x1处取得极大值Bf(x)有两个不同的零点Cf(4)f()f(3)De22e解析:选AC由函数f(x),可得函数f(x)的导数为f(x).当x1时,f(x)0,f(x)单调递减;当x1时,f(x)0,f(x)单调递增可得函数f(x)在x1处取得极大值,且为最大值,所以A
18、正确;因为f(x)在(,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,且f(0)0,当x0时,f(x)0恒成立,所以函数f(x)只有一个零点,所以B错误;由f(x)在(1,)上单调递减,且431,可得f(4)f()f(3),所以C正确;由f(x)在(1,)上单调递减,且21,可得,即e22e,所以D错误故选A、C.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中的横线上)13函数f(x)exsin x的图象在点(0,f(0)处切线的倾斜角为_解析:由题意得,f(x)exsin xexcos xex(sin xcos x),函数f(x)的图象在点(0,f(0)处切线的斜率kf(0)1,则所
19、求的倾斜角为.答案:14已知函数f(x)asin 2x(a2)cos x(a1)x在上无极值,则a_,f(x)在上的最小值是_解析:f(x)acos 2x(a2)sin xa1a(12sin2x)(a2)sin xa12asin2x(a2)sin x1(2sin x1)(asin x1)当sin x,即x时,f(x)0.所以要使f(x)在上无极值,则a2,此时f(x)(2sin x1)20恒成立,即f(x)单调递减,故在区间上f(x)的最小值为f.答案:215当x(0,1时,不等式ax3x24x30恒成立,则实数a的取值范围是_解析:根据题意,当x(0,1时,分离参数a,得a恒成立令t,t1时
20、,at4t23t3恒成立令g(t)t4t23t3,则g(t)18t9t2(t1)(9t1),当t1时,g(t)0,函数g(t)在1,)上是减函数则g(t)g(1)6,a6.实数a的取值范围是6,)答案:6,)16海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30 n mile/h,当速度为10 n mile/h时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)都是每小时400元如果甲、乙两地相距800 n mile,那么要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为_n mile/h.解析:设从甲地到乙地海轮的航速为v n mile/h,燃料费为y元/h,总
21、费用为f(x)元由题意设y与v满足的关系式为yav3(0v30),由题意得25a103,a.则f(x)v340020v2.由f(x)40v0,得v20.当0v20时,f(x)0;当20v0.当v20时,f(x)最小即当总费用最低时,海轮的航速为20 n mile/h.答案:20四、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)设函数f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x21,求实数a的值;(2)是否存在实数a,使得f(x)是(,)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由解:f(x)18x2
22、6(a2)x2a.(1)由已知有f(x1)f(x2)0,从而x1x21,所以a9.(2)因为36(a2)24182a36(a24)0,所以不存在实数a,使得f(x)是(,)上的单调函数18(12分)已知函数f(x)aln x.(1)若曲线f(x)在x1处的切线方程为x2y10,求实数a的值;(2)求函数f(x)在区间1,4上的极值解:(1)因为f(x)aln x,所以f(x),所以f(1)a.因为曲线f(x)在x1处的切线方程为x2y10,所以a,解得a0.故实数a的值为0.(2)由(1),知f(x).当2a1,即a时,f(x)0在1,4上恒成立,所以函数f(x)在1,4上单调递增,所以函数f
23、(x)在1,4上无极值当2a2,即a1时,f(x)0在1,4上恒成立,所以函数f(x)在1,4上单调递减,所以函数f(x)在1,4上无极值当12a2,即a0)(1)若a1,求函数f(x)的单调区间;(2)若以函数yf(x)(x(0,3)图象上任意一点P(x0,y0)为切点的切线的斜率k恒成立,求实数a的最小值解:(1)当a1时,f(x)ln x,定义域为(0,),f(x),当x(0,1)时,f(x)0,所以f(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,)(2)由(1)知f(x)(0x3),则kf(x0)(0ln ,且x0时,x3a.解:(1)由f(x)ex3x3a,xR,知f(x)e
24、x3,xR.令f(x)0,得xln 3,于是当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:故f(x)的单调递减区间是(,ln 3),单调递增区间是(ln 3,),f(x)在xln 3处取得极小值,极小值为f(ln 3)eln 33ln 33a3(1ln 3a),无极大值(2)证明:待证不等式等价于exx23ax1.设g(x)exx23ax1,x0,于是g(x)ex3x3a,x0.由(1)及aln ln 31知:g(x)的最小值为g(ln 3)3(1ln 3a)0.于是对任意x0,都有g(x)0,所以g(x)在(0,)内单调递增于是当aln ln 31时,对任意x(0,),都有g(x)g(0)
25、而g(0)0,从而对任意x(0,),g(x)0.即exx23ax1,故x3a.21(12分)(2019全国卷)已知函数f(x)ln x.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线yln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线yex的切线解:(1)f(x)的定义域为(0,1)(1,)因为f(x)0,所以f(x)在(0,1),(1,)上单调递增因为f(e)10,所以f(x)在(1,)上有唯一零点x1(ex1e2),即f(x1)0.又01,fln x1f(x1)0,故f(x)在(0,1)上有唯一零点.综上,f(x)有且仅有两个零点(2
26、)证明:因为eln x0,所以点B在曲线yex上由题设知f(x0)0,即ln x0,故直线AB的斜率k.曲线yex在点B处切线的斜率是,曲线yln x在点A(x0,ln x0)处切线的斜率也是,所以曲线yln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线yex的切线22(2021新高考卷)已知函数f(x)(x1)exax2b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)从下面两个条件中选一个,证明:f(x)有一个零点2a;0a,b2a.解:(1)f(x)xex2axx(ex2a),当a0时,令f(x)0x0.且当x0时,f(x)0时,f(x)0,f(x)单调递增当0a时,令f(x)0x10,x2ln 2
27、a0.且当x0,f(x)单调递增;当ln 2ax0时,f(x)0时,f(x)0,f(x)单调递增当a时,f(x)x(ex1)0,f(x)在R上单调递增当a时,令f(x)0x10,x2ln 2a0.且当x0,f(x)单调递增;当0xln 2a时,f(x)ln 2a时,f(x)0,f(x)单调递增综上,当a0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,0)上单调递减;当0a时,f(x)在(,0),(ln 2a,)上单调递增,在(0,ln 2a)上单调递减(2)证明:若选,由(1)知f(x)在(,0)上单调递增,(0,ln 2a)上单调递减,(ln 2a,)上单调递增注意到fe2a10.f(x)在上有一
28、个零点;f(ln 2a)(ln 2a1)2aaln22ab2aln 2a2aaln22a2aaln 2a(2ln 2a),由a得00,当x0时,f(x)f(ln 2a)0,此时f(x)无零点综上,f(x)在R上有一个零点若选,由(1)知f(x)在(,ln 2a)上单调递增,在(ln 2a,0)上单调递减,在(0,)上单调递增f(ln 2a)(ln 2a1)2aaln22ab2aln 2a2aaln22a2aaln 2a(2ln 2a)0a,ln 2a0,aln 2a(2ln 2a)0,f(ln 2a)0,当x0时,f(x)f(ln 2a)0时,f(x)单调递增,注意到f(0)b12a10,取c,b2a1,又可证ecc1,f(c)(c1)ecac2b(c1)(c1)ac2b(1a)c2b1c2b11b1b110.f(x)在(0,c)上有唯一零点,即f(x)在(0,)上有唯一零点综上,f(x)在R上有一个零点