1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十三)空间向量的正交分解及其坐标表示(15分钟30分)一、选择题(每小题4分，共12分)1.以下四个命题中正确的是()A.空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示B.单位正交基底中的基向量模为1，且两两互相垂直C.ABC为直角三角形的充要条件是=0D.任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底【解析】选B.使用排除法.因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故A不正确；ABC为直角三角形并不一定是=0，可能是=0，也可能是=0，故C不
2、正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故D不正确；由单位正交基底的概念得B正确.2.(2015平顶山高二检测)如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=1，AA1=3，已知向量a在基底，下的坐标为(2，1，-3).若分别以，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为()A.(2，1，-3)B.(-1，2，-3)C.(1，-8，9)D.(-1，8，-9)【解析】选D.a=2+-3=2-3=8j-i-9k=(-1，8，-9).3.已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且=a，=b，=c，用a，b，c表示向量为()A.a+b+cB.
3、a-b+cC.-a+b+cD.-a+b-c【解题指南】首先构造与向量有关的三角形，再利用向量加法减法的运算法则，建立基底与所表示向量的关系.【解析】选C.如图所示，连接ON，AN，则=(+)=(b+c)，=(+)=(-2+)=(-2a+b+c).=-a+b+c，所以=(+)=-a+b+c.二、填空题(每小题4分，共8分)4.若a=e1+e2+e3，b=e1-e2-e3，c=e1+e2，d=e1+2e2+3e3(e1，e2，e3为空间的一个基底)，且d=xa+yb+zc，则x，y，z分别为_，_，_.【解题指南】根据空间向量的加减与数乘运算，将向量式d=xa+yb+zc进行化简，转化为d关于e1
4、，e2，e3的向量表达式，然后比较系数即可.【解析】d=xa+yb+zc=(x+y+z)e1+(x-y+z)e2+(x-y)e3=e1+2e2+3e3，空间任一向量都可以用一个空间基底惟一表示，从而得到解得x=，y=-，z=-1.答案：-1【补偿训练】已知三个非零向量a，b，c不共面，并且p=a+b-c，q=2a-3b-5c，r=-7a+18b+22c，向量p，q，r是否共面？【解析】假设存在实数，使p=q+r，则a+b-c=(2-7)a+(-3+18)b+(-5+22)c，因为a，b，c不共面，所以所以即存在实数=，=，使p=q+r，故p，q，r共面.5.(2015泉州高二检测)如图，PD垂
5、直于正方形ABCD所在平面，AB=2，E为PB的中点，cos=，若以DA，DC，DP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直线坐标系，则点E的坐标为_.【解析】设PD=a，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，P(0，0，a)，E，所以=(0，0，a)，=.因为cos=，所以=a，所以a=2.所以E的坐标为(1，1，1).答案：(1，1，1)三、解答题6.(10分)如图所示，正方体OABC-OABC，且=a，=b， =c.(1)用a，b，c表示向量，.(2)设G，H分别是侧面BBCC和OABC的中心，用a，b，c表示.【解析】(1)=+=+= a+b+c.=+=+=+-=b+c-a.(2)=+=
6、-+=-(+)+(+)=-(a+b+c+b)+(a+b+c+c)=(c-b).【补偿训练】如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M在AC上，且|AM|=|MC|，点N在A1D上，且|A1N|=2|ND|，设=a，=b，=c，试用a，b，c表示.【解析】=+=a+b.因为|AM|=|MC|，所以=-=-(a+b).又|A1N|=2|ND|，所以=(-)=(b-c).所以=+=-(a+b)+c+(b-c)=(b+c-a).(15分钟30分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若向量，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，成为空间一组基底的关系是()A.=+B.=
7、+C.=+D.=2-【解析】选C.对于选项A，由结论=x+y+z(x+y+z=1)M，A， B，C四点共面知，共面；对于B，D选项，易知，共面，故只有选项C中，不共面.2.(2015南昌高二检测)设O-ABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1，若=x+y+z，则(x，y，z)为()A.B.C.D.【解析】选A.连AG1交BC于E，则E为BC中点，=(+)=(-2+)，=(-2+)，因为=3=3(-)，所以=，所以=(+)=+.【拓展延伸】空间向量基本定理的主要应用(1)求值：利用空间向量基本定理=xa+yb+zc中实数组x，y，z的唯一性，可以通过列方程的方法求
8、部分字母的值.(2)证明：利用空间向量基本定理中的向量关系可以求出向量对应线段间的长度关系，从而可解决部分与线段比例有关的证明问题.【补偿训练】平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，=x+2y+3z，则x+y+z等于_.【解析】因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，易得=+，又，不共面，由空间向量基本定理得x=1，2y=1，3z=-1.所以x=1，y=，z=-.即x+y+z=1+-=.答案：二、填空题(每小题5分，共10分)3.(2015湛江高二检测)若A(+1，-1，3)，B(2，-2)，C(+3，-3，9)三点共线，则+=_.【解析】由条件知，由于=(-1，1，-2-3)，=(2
9、，-2，6)，所以=-=，所以=0，=0，于是+=0.答案：04.空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，在基底a，b，c下的坐标为_.【解析】因为OM=2MA，点M在OA上，所以OM=OA，所以=+=-+(+)=-a+b+c=.答案：三、解答题5.(10分)(2015牡丹江高二检测)已知正四面体ABCD的棱长为a，试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标.【解题指南】根据正四面体的几何特征，及正三角形的几何性质，建立恰当的坐标系，求出底边的中点，利用勾股定理求出相应的长度，求得顶点的坐标.【解析】建系不同，所得各点的坐标也不同，如过A作AG垂直于平面BCD，由于AB=AC=AD，所以G为BCD的中心，过G作GFCD，E为CD的中点，以G为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为BCD的边长为a，则BE=a，GE=a，又BG=a，所以AG=a，所以A，B，C，D.关闭Word文档返回原板块
