1、6 平面向量数量积的坐标表示考 纲 定 位重 难 突 破1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积，向量的模及两个向量的夹角2.能运用坐标表示两个向量的夹角，判断两个平面向量的垂直关系3.了解直线的方向向量的概念.重点：应用向量数量积的坐标形式求夹角、模等有关问题难点：数量积的准确计算及综合应用.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理1平面向量数量积的坐标表示若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab，即两个向量的数量积等于.2两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab.x1x2y1y2相应坐
2、标乘积的和x1x2y1y203平面向量的模(1)向量模公式：设 a(x1，y1)，则|a|.(2)两点间距离公式：若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|.4向量的夹角公式设两非零向量 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与 b 的夹角为，则 cos.x21y21x2x12y2y12ab|a|b|x1x2y1y2x21y21 x22y225直线的方向向量由解析几何知，给定斜率为 k 的直线 l，则向量 m(1，k)与直线 l，我们把与直线 l的非零向量 m 称为直线 l 的方向向量共线共线双基自测1若向量 a(4,2)，b(6，m)，且 ab，则 m 的值是()A12 B3C3
3、D12答案：D2设向量 a(1，2)，b(m,1)，如果向量 a2b 与 2ab 平行，那么 ab()A72B12C.32D.52答案：D3已知 a(3，x)，|a|5，则 x_.解析：|a|9x25，x216，x4.答案：4探究一 平面向量数量积的坐标运算典例 1 已知向量 a(3，1)和 b(1，3)，若 acbc，试求模为 2的向量 c 的坐标解析 设 c(x，y)，则 ac(3，1)(x，y)3xy，bc(1，3)(x，y)x 3y，由 acbc 及|c|2，得 3xyx 3y，x2y22，解得x 312，y 312或x 312，y 312.所以 c(312，312)或 c(312，3
4、12)涉及向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式，在这个过程中还要熟练运用方程的思想值得注意的是，对于一些向量数量积坐标运算的问题，有时考虑其几何意义可使问题快速获解 1已知向量 a 与 b 同向，b(1,2)，ab10.(1)求向量 a 的坐标；(2)若 c(2，1)，求(bc)a.解析：(1)a 与 b 同向，且 b(1,2)，ab(，2)又ab10，12210，解得 20.2 符合 a 与 b 同向条件，a(2,4)(2)bc122(1)0，(bc)a0a0.探究二 向量的模典例 2 设平面向量 a(3,5)，b(2,1)，(1)求 a
5、2b 的坐标和模的大小；(2)若 ca(ab)b，求|c|.解析(1)a(3,5)，b(2,1)，a2b(3,5)2(2,1)(34,52)(7,3)，|a2b|7232 58.(2)abx1x2y1y2651，所以 cab(1,6)，|c|1262 37.求向量 a(x，y)的模的常见思路及方法：(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式 a2|a|2x2y2，求模时，勿忘记开方(2)aaa2|a|2 或|a|a2 x2y2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化2已知 a(1,1)，b(0，2)，当 k 为何值时，(1)kab 与 ab 共线？
6、(2)kab 的模等于 10？解析：a(1,1)，b(0，2)，kabk(1,1)(0，2)(k，k2)ab(1,1)(0，2)(1，1)(1)kab 与 ab 共线k2(k)0，k1.(2)(kab)10 k2k22 10，化简，得 k22k30，解得 k1 或3，即当 k1 或3 时，kab 的模等于 10.探究三 向量的夹角与垂直典例 3 已知 a(1,2)，b(1，)，分别确定实数 的取值范围，使得：(1)a 与 b 的夹角为直角；(2)a 与 b 的夹角为钝角；(3)a 与 b 的夹角为锐角解析 设 a 与 b 的夹角为，ab(1,2)(1，)12.(1)因为 a 与 b 的夹角为直
7、角，所以 cos 0，所以 ab0，即 120，所以 12.(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角，所以 cos 0 且 cos 1，所以 ab0，且 a 与 b 不反向由 ab0，得 120，故 12，由 a 与 b 共线得 2，故 a 与 b 不可能反向所以 的取值范围为，12.(3)因为 a 与 b 的夹角为锐角，所以 cos 0，且 cos 1，所以 ab0 且 a，b 不同向由 ab0，得 12，由 a 与 b 同向得 2.所以 的取值范围为12，2(2，)1向量数量积的坐标表示，可把向量的夹角问题转化为向量坐标的计算问题但要注意 ab0(0)与夹角为锐(钝)角不是等价关系2利用公式：
8、abab0 x1x2y1y20 来判断两向量垂直，使向量问题代数化，判断方法简捷、明了3在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B，C 三点的坐标分别为 A(2，1)，B(3,5)，C(m,3)(1)若AB AC，求实数 m 的值；(2)若 A，B，C 三点能构成三角形，求实数 m 的取值范围解析：(1)由题意，有AB(1,6)，AC(m2,4)，由AB AC，得AB AC 0，即(m2)1460，解得 m22.(2)若 A，B，C 三点能构成三角形，则 A，B，C 三点不共线，即AB 与AC 不平行，故 146(m2)0，解得 m83，即实数 m 的取值范围是(，83)(83，)与数量积的坐
9、标运算相关的综合问题的解法典例(本题满分 12 分)已知OP(2,1)，OA(1,7)，OB(5,1)，设 C 是直线 OP 上的一点(其中 O 为坐标原点)(1)求使CA CB 取到最小值时的OC；(2)对(1)中求出的点 C，求 cosACB.解析(1)因为点 C 是直线 OP 上一点，所以向量OC 与OP 共线，2 分设OC tOP，则OC(2t，t)CA OA OC(12t,7t)，CB OB OC(52t,1t)，4 分CA CB(12t)(52t)(7t)(1t)5t220t125(t2)28，6 分当 t2 时，CA CB 取得最小值，此时OC(4,2).8 分(2)当OC(4,
10、2)时，CA(3,5)，CB(1，1)，所以|CA|34，|CB|2，CA CB 8，所以 cosACB CA CB|C A|C B|4 1717.12 分规范与警示(1)在处，由向量OC 与OP 共线建立关系式OC tOP，是正确解答本题的关键，易因想不到此关系造成失分在处，利用向量的线性运算得到CA，CB 的坐标，是正确建立数量积“CA CB”的函数关系的关键，也是失分点(2)注意隐含条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件，如本例中“C 是直线 OP 上的一点”隐含着“向量OC 与OP 共线”注意函数思想在解决最值中的应用涉及求解最值的问题，常常先通过题设建立函数关系式，在此
11、基础上，借助函数知识求解，如本例第(1)问随堂训练1已知平面向量 a(3,1)，b(x，3)，且 ab，则 x()A3 B1C1 D3解析：abab0，3x30 x1.答案：C2已知 a(3,2)，b(1,0)，若向量 ab 与 a2b 垂直，则实数 的值为()A.17B17C.16D16解析：由向量 ab 与 a2b 垂直，得(ab)(a2b)0.因为 a(3,2)，b(1,0)，所以(31,2)(1,2)0，即 3140，解得 17.答案：B3已知 a(1,0)，|b|1，c(0，1)，满足 3ak b7c0，且 a 与 b 的夹角为3，则实数 k 的值为_解析：由题意知|a|12021，
12、|c|02121.由 3ak b7c，得(3a)26k abk2b249c2.又a2b2c21，ab|a|b|cos 312，k23k400，解得 k8 或 k5.答案：8 或 54已知向量 a(6,2)，b(3，k)(1)若 ab，求 k 的值；(2)若 ab，求|ab|；(3)若 a 与 b 的夹角 是钝角，求 k 的取值范围解析：(1)依题意有 6k2(3)6，解得 k1，所以，k 的值为1.(2)ab，ab0，即 6(3)2k0 解得 k9，ab(9，7)，所以，|ab|130.(3)为钝角，ab0 且.由第(1)题知，当 k1 时，又由 ab0 得 6(3)2k0，即 k9，故所求 k 的取值范围是 k9 且 k1.课时作业
