1、2016-2017学年吉林省长春市朝阳实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题“存在x0R，2x00”的否定是（）A不存在x0R，2x00B存在x0R，2x00C对任意的xR，2x0D对任意的xR，2x02下列各组向量中不平行的是（）ABCD3在ABC中，“A30”是“sinA”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件4椭圆+=1的长轴垂直x于轴，则m的取值范围是（）Am0B0m1Cm1Dm0且m15若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意
2、一点，则的最大值为（）A2B3C6D86以椭圆+=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）ABC或D以上都不对247命题p：若a、bR，则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（，13，+），则（）ZA“p或q”为假B“p且q”为真Cp真q假Dp假q真n8以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y22x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）rAy=3x2或y=3x2By=3x2HCy2=9x或y=3x2Dy=3x2或y2=9xO9若A（x，5x，2x1），B（1，x+2，2x），当|取最小值时，x的值等于（）bA19BCD010若椭圆的弦中点（4，
3、2），则此弦所在直线的斜率是（）GA2B2CDz11已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）CAB3CDP12双曲线mx2y2=1（m0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得ABC为等腰直角三角形，则实数m的值可能为（）uAB1C2D31二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）C13已知动圆M经过点A（3，0），且与直线l：x=3相切，求动圆圆心M的轨迹方程/14已知|=3，|=4， =+， =+，=135，若，则=O15若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是 T16已知椭圆的左焦点为F，A（a
4、，0），B（0，b）为椭圆的两个顶点，若F到AB的距离等于，则椭圆的离心率为7三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）A17命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根若“p或q”为真命题，求m的取值范围O18已知p：|1|2；q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围j19已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点w（1）求线段AP中点的轨迹方程；=（2）若PBQ=90，求线段PQ中点的轨迹方程=20已知四棱锥PABCD
5、的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦值21设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程22已知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程2016-2017学年吉林省长春市朝阳实验中学高
6、二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1命题“存在x0R，2x00”的否定是（）A不存在x0R，2x00B存在x0R，2x00C对任意的xR，2x0D对任意的xR，2x0【考点】命题的否定【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论【解答】解：命题“存在x0R，2x00”的否定是对任意的xR，2x0，故选：D65587642下列各组向量中不平行的是（）ABCD【考点】用向量证明平行【分析】判断两向量共线，利用共线向量定理，只需找到一个实数，使得=，另外零向量与任意向量平行，于是可得
7、本题答案【解答】解：选项A中，；选项B中有：，选项C中零向量与任意向量平行，选项D，事实上不存在任何一个实数，使得，即：（16，24，40）=（16，24，40）故应选：D3在ABC中，“A30”是“sinA”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提【解答】解：在ABC中，A+B+C=180，A30，30A180，0sin A1，可判断它是sinA的必要而不充分条件故选：B4椭圆+=1的长轴垂直x于轴，则m的取值范围是（）Am0B0m1Cm1Dm0且m1【考点】椭圆的
8、简单性质【分析】椭圆+=1的长轴垂直x于轴，可得椭圆的焦点在y轴上，即可得出【解答】解：椭圆+=1的长轴垂直x于轴，椭圆的焦点在y轴上，2m0，3m+10，解得m1故选：C5若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A2B3C6D8【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案【解答】解：由题意，F（1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，6558764因为，所以=，
9、此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=2，因为2x02，所以当x0=2时，取得最大值，故选C6以椭圆+=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）ABC或D以上都不对【考点】双曲线的标准方程【分析】根据题意，椭圆的顶点为（4，0）、（4，0）、（0，3）、（0，3）；则双曲线的顶点有两种情况，即在x轴上，为（4，0）、（4，0）；和在y轴上，为（0，3）、（0，3）；分两种情况分别讨论，计算可得a、b的值，可得答案【解答】解：根据题意，椭圆的顶点为（4，0）、（4，0）、（0，3）、（0，3）；故分两种情况讨论，双曲线的顶点为（4，0）、（4，0），焦点在x轴上；即a=4，由e=2，可得c=
10、8，b2=6416=48；此时，双曲线的方程为；双曲线的顶点为（0，3）、（0，3），焦点在y轴上；即a=3，由e=2，可得c=6，b2=369=27；此时，双曲线的方程为；综合可得，双曲线的方程为或；故选C7命题p：若a、bR，则|a|+|b|1是|a+b|1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（，13，+），则（）A“p或q”为假B“p且q”为真Cp真q假Dp假q真【考点】复合命题的真假【分析】若|a|+|b|1，不能推出|a+b|1，而|a+b|1，一定有|a|+|b|1，故命题p为假又由函数y=的定义域为x（，13，+），q为真命题【解答】解：|a+b|a|+|b|，若|a|
11、+|b|1，不能推出|a+b|1，而|a+b|1，一定有|a|+|b|1，故命题p为假又由函数y=的定义域为|x1|20，即|x1|2，即x12或x12故有x（，13，+）q为真命题故选D8以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2+y22x+6y+9=0的圆心的抛物线的方程是（）Ay=3x2或y=3x2By=3x2Cy2=9x或y=3x2Dy=3x2或y2=9x【考点】抛物线的标准方程；圆的标准方程【分析】首先将圆方程化成标准形式，求出圆心为（1，3）；当抛物线焦点在y轴上时，设x2=2py，将圆心代入，求出方程；当抛物线焦点在x轴上时，设y2=2px，将圆心代入，求出方程【解答】解：根据题意
12、知，圆心为（1，3），（1）设x2=2py，p=，x2=y；（2）设y2=2px，p=，y2=9x故选D9若A（x，5x，2x1），B（1，x+2，2x），当|取最小值时，x的值等于（）A19BCD【考点】向量的模【分析】利用向量的坐标公式求出的坐标；利用向量模的坐标公式求出向量的模；通过配方判断出二次函数的最值【解答】解： =（1x，2x3，3x+3），|=求出被开方数的对称轴为x=当时，|取最小值故选C10若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（）A2B2CD【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率【分析】设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）利用中点坐标
13、公式和“点差法”即可得出【解答】解：设此弦所在直线与椭圆相交于点A（x1，y1），B（x2，y2）则，两式相减得=0，代入上式可得，解得kAB=故选D11已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）AB3CD【考点】抛物线的简单性质【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|AF|，再求出|AF|的值即可【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和故选A12双曲线m
14、x2y2=1（m0）的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B，C使得ABC为等腰直角三角形，则实数m的值可能为（）AB1C2D3【考点】双曲线的简单性质【分析】根据题意，我们易判断出AB边的倾斜角进而求出其斜率，利用双曲线的性质，我们易确定渐近线斜率的范围，结合已知中双曲线的方程，我们要以构造出关于m的不等式，解不等式即可得到答案【解答】解：由题意，双曲线的渐近线方程为ABC为等腰直角三角形，BAX=45设其中一条渐近线与X轴夹角为，则0450tan10m1故选A二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13已知动圆M经过点A（3，0），且与直线l：x=3相切，求动圆圆心M的轨迹方
15、程【考点】抛物线的定义【分析】法一：利用抛物线的定义即可得出；法二：利用两点间的距离公式和直线与圆相切的性质即可得出【解答】解：法一设动点M（x，y），设M与直线l：x=3的切点为N，则|MA|=|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x=3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A（3，0）为焦点，以直线l：x=3为准线，=3，p=6圆心M的轨迹方程是y2=12x法二设动点M（x，y），则点M的轨迹是集合P=M|MA|=|MN|，即，化简，得y2=12x圆心M的轨迹方程为y2=12x14已知|=3，|=4， =+， =+，=135，若，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积公
16、式以及向量的垂直的条件即可求出【解答】解：|=3，|=4，=135，=|cos135=34（）=12， =+， =+，=（+）（+）=|2+|2+（1+）=18+1612（1+）=0，解得=，故答案为：15若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是 【考点】双曲线的简单性质【分析】由题意知，m=3由此可以求出双曲线的焦点坐标【解答】解：由题意知，m=3c2=4+3=7，双曲线的焦点坐标是 （）故答案：（）16已知椭圆的左焦点为F，A（a，0），B（0，b）为椭圆的两个顶点，若F到AB的距离等于，则椭圆的离心率为【考点】椭圆的简单性质【分析】由题意可得直线AB的方程：bxay+ab=0，利用点
17、F（c，0）到直线AB的距离公式可求得d=，整理可得答案【解答】解：依题意得，AB的方程为+=1，即：bxay+ab=0，设点F（c，0）到直线AB的距离为d，d=，5a214ac+8c2=0，8e214e+5=0，e（0，1）e=或e=（舍）故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根若“p或q”为真命题，求m的取值范围【考点】复合命题的真假【分析】“p或q”为真命题，即p和q中至少有一个真命题，分别求出p和q为真命题时对应的范围，再求并集命
18、题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实数根0【解答】解：“p或q”为真命题，则p为真命题，或q为真命题当p为真命题时，则，得m2；当q为真命题时，则=16（m+2）2160，得3m1“p或q”为真命题时，m118已知p：|1|2；q：x22x+1m20（m0），若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：|1|2，|x4|6，即2x10，6558764x22x+1m20（m0），x（1m）x（1+m）0，即1mx1
19、+m，若p是q的必要非充分条件，即q是p的必要非充分条件，即，即，解得m919已知圆x2+y2=4上一定点A（2，0），B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上的动点（1）求线段AP中点的轨迹方程；（2）若PBQ=90，求线段PQ中点的轨迹方程【考点】轨迹方程【分析】（1）设出AP的中点坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标，据P在圆上，将P坐标代入圆方程，求出中点的轨迹方程（2）利用直角三角形的中线等于斜边长的一半得到|PN|=|BN|，利用圆心与弦中点连线垂直弦，利用勾股定理得到|OP|2=|ON|2+|PN|2，利用两点距离公式求出动点的轨迹方程【解答】解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点
20、坐标公式可知，P点坐标为（2x2，2y）P点在圆x2+y2=4上，（2x2）2+（2y）2=4故线段AP中点的轨迹方程为（x1）2+y2=1（2）设PQ的中点为N（x，y），在RtPBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ONPQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x1）2+（y1）2=4故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2xy1=020已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABDC，DAB=90，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=，AB=1，M是PB的中点（）证明：面PAD面PCD；（）求AC与PB所成的角；（）求面AMC与面BMC所
21、成二面角的大小余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角【分析】（）证明面PAD面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（）过点B作BECA，且BE=CA，PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（）作ANCM，垂足为N，连接BN，说明ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小【解答】（）证明：PA面ABCD，CDAD，由三垂线定理得：CDPD因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，CD面PAD又CD面PCD，面PAD
22、面PCD（）解：过点B作BECA，且BE=CA，则PBE是AC与PB所成的角连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形由PA面ABCD得PEB=906558764在RtPEB中BE=a2=3b2，PB=，cosPBE=AC与PB所成的角为arccos（）解：作ANCM，垂足为N，连接BN在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB，AMCBMC，BNCM，故ANB为所求二面角的平面角CBAC，由三垂线定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM在等腰三角形AMC中，ANMC=，AN=AB=2，cosANB=故面AMC与面BMC所成二面角的大小余弦
23、值为21设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程【考点】椭圆的简单性质；直线的倾斜角；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（1）点斜式设出直线l的方程，代入椭圆，得到A、B的纵坐标，再由，求出离心率（2）利用弦长公式和离心率的值，求出椭圆的长半轴、短半轴的值，从而写出标准方程【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意知y10，y20（1）直线l的方程为，其中联立得解得，因为，所以y1=2y2即=2，解得离心率（2）因为，由得，所以，解得a=3，故椭圆C的方程为22已
24、知点A（0，2），椭圆E： +=1（ab0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（）求E的方程；（）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质【分析】（）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；（）设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，利用0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程【解答】解：（） 设F（c，0），由条件知，得=又，所以a=2=，b2=a2c2=1，故E的方程（）依题意当lx轴不合题意，故设直线l：y=kx2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx2代入，得（1+4k2）x216kx+12=0，当=16（4k23）0，即时，从而=+6558764又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积=，设，则t0，当且仅当t=2，k=等号成立，且满足0，所以当OPQ的面积最大时，l的方程为：y=x2或y=x22016年11月13日
