1、课时达标检测（十八） 函数的最大（小）值与导数一、选择题1下列说法正确的是()A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D若函数在给定区间上有最值，则有且仅有一个最大值、一个最小值，但若有极值，则可有多个极值解析：选D由极值与最值的区别知选D.2函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值 D有最小值解析：选Af(x)2sin x0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值3函数f(x)2，x(0,5的最小值为()A
2、2 B3C. D2解析：选B由f(x)0，得x1，且x(0,1)时，f(x)0；x(1,5时，f(x)0，x1时f(x)最小，最小值为f(1)3.4函数f(x)x3x2xa在区间0,2上的最大值是3，则a的值为()A3 B1C2 D1解析：选Bf(x)3x22x1，令f(x)0，解得x(舍去)或x1.又f(0)a，f(1)a1，f(2)a2，则f(2)最大，即a23，所以a1.5已知函数f(x)，g(x)均为a，b上的可导函数，在a，b上连续且f(x)g(x)，则f(x)g(x)的最大值为()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)解析：选A令u(x)f(x
3、)g(x)，则u(x)f(x)g(x)1或x0；当1x1时，f(x)0.f(x)在0,1上单调递减，在1,3上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a，f(3)18a，f(0)f(3)，f(x)maxf(3)18am，mn18a(2a)20.答案：208已知函数f(x)2ln x，若当a0时，f(x)2恒成立，则实数a的取值范围是_解析：由f(x)2ln x，得f(x)，又函数f(x)的定义域为(0，)，且a0，令f(x)0，得x(舍去)或x.当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故x是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()ln a1.要使f(x)2恒成立，需ln
4、a12恒成立，则ae.答案：e，)三、解答题9已知函数f(x)x3ax22，且f(x)的导函数f(x)的图象关于直线x1对称(1)求导函数f(x)及实数a的值；(2)求函数yf(x)在1,2上的最大值和最小值解：(1)由f(x)x3ax22，得f(x)3x22ax.f(x)的图象关于直线x1对称，1.a3，f(x)3x26x.(2)由(1)知f(x)x33x22，f(x)3x26x.令f(x)0得x10，x22.当x在1,2上变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)00f(x)222由上表可知，当x1或x2时，函数有最小值2，当x0时，函数有最大值2.10设f(x)ln x，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)求a的取值范围，使得g(a)g(x)对任意x0恒成立解：(1)由题设知f(x)，g(x)ln x，所以g(x).令g(x)0得x1.当x(0,1)时，g(x)0，故g(x)的单调递减区间是(0,1)；当x(1，)时，g(x)0，故g(x)的单调递增区间是(1，)因此，x1是g(x)在(0，)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)1.(2)由(1)知g(x)的最小值为1，所以，g(a)g(x)对任意x0恒成立g(a)1，即ln a1，从而得0ae.故实数a的取值范围为(0，e)
