1、9.9曲线与方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系1一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的_；(2)以这个方程的解为坐标的点都是_那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是满足某种条件的动点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题2求曲线方程的基本步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件p的点M的集合PM|p(M)；(3)用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)
2、0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上1方程y表示的曲线是()A抛物线的一部分 B双曲线的一部分C圆 D半圆2若M，N为两个定点，且|MN|6，动点P满足0，则P点的轨迹是()A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线3方程(2x3y1)(1)0表示的曲线是()A两条直线B两条射线C两条线段D一条直线和一条射线4已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足x26，则P点的轨迹方程是_5过圆x2y24上任一点P作x轴的垂线PN，N为垂足，则线段PN中点M的轨迹方程为_一、直接法求轨迹方程【例11】已知直角坐标平面上点Q(2,0)和圆O：x2y21，动点M到圆O的切线长与|M
3、Q|的比等于常数(0)，求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线【例12】已知点M(4,0)，N(1,0)，若动点P满足6|.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)设Q是曲线C上任意一点，求Q到直线l：x2y120的距离的最小值方法提炼建立适当的坐标系，设出曲线上任意一点的坐标，找出动点满足的等量关系，化简即得所求曲线方程请做演练巩固提升1二、用定义法求轨迹方程【例2】已知点A，点B是圆F：2y24(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，求动点P的轨迹方程方法提炼若由题意能判断出动点的运动轨迹能满足某种曲线的定义，则只需设出标准方程并确定出方程中的基本量即可，这也是求轨迹方程的首
4、选方法请做演练巩固提升2三、代入法求点的轨迹方程【例3】已知ABC的两个顶点为A(2,0)，B(0，2)，第三个顶点C在曲线y3x21上移动，求ABC重心的轨迹方程方法提炼若A点的运动与B点的运动相关，且B点的运动有规律，则找出两点坐标间的关系，用A点坐标表示出B点坐标，代入B点所满足的方程，整理即得A点的轨迹方程请做演练巩固提升5曲线轨迹方程的求解【典例】(14分)(2012湖北高考)设A是单位圆x2y21上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|m|DA|(m0，且m1)当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判
5、断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k0，都有PQPH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由规范解答：(1)如图1，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|m|DA|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|y|.因为A点在单位圆上运动，所以xy1.将式代入式即得所求曲线C的方程为x21(m0，且m1)(4分)因为m(0,1)(1，)，所以当0m1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(，0)，(，0)；
6、(6分)当m1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0，)，(0，)(8分)(2)方法一：如图2,3，k0，设P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则Q(x1，kx1)，N(0，kx1)，直线QN的方程为y2kxkx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2xm20.依题意可知此方程的两根为x1，x2，于是由韦达定理可得x1x2，即x2.(10分)因为点H在直线QN上，所以y2kx12kx2.于是(2x1，2kx1)，(x2x1，y2kx1).而PQPH等价于0，(13分)即2m20.又m0，得m，故存在m，使得在其对应的椭圆x21上，对任意的k0，都有P
7、QPH.(14分)图1图2(0m1)图3(m1)方法二：如图2,3，x1(0,1)，设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(x1，y1)，N(0，y1)因为P，H两点在椭圆C上，所以两式相减可得m2(xx)(yy)0.(10分)依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合故(x1x2)(x1x2)0，于是由式可得m2.(12分)又Q，N，H三点共线，所以kQNkQH，即.于是由式可得kPQkPH.而PQPH等价于kPQkPH1，即1.又m0，得m.故存在m， 使得在其对应的椭圆x21上，对任意的k0，都有PQPH.(14分)答题指导：解决轨迹的问题时，要注意以下几点：(1
8、)当动点(或动直线)的位置不确定时，要注意对它们所有可能的情形进行必要的分类讨论，以防以偏概全或遗漏一种或几种情况；(2)解决直线与曲线的交点问题，不仅仅要考虑方程解的个数，还要注意数形结合1在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足4，则点P的轨迹方程是_2设F1，F2是双曲线x2y24的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从F1引F1QF2平分线的垂线，垂足为P，则P点的轨迹方程是_3(2013重庆模拟)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，AM，点P是平面ABCD内的动点，且点P到直线A1D1的距离与点P到M的距离的平方差为，则P点的轨迹是_4如图，
9、已知点A在x轴上，点B在y轴上，且|AB|2，点M分有向线段的比为，求点M的轨迹方程，并说明曲线的类型5已知点M是抛物线y2x上一动点，以OM为一边(O为原点)作正方形MNPO，求动点P的轨迹方程参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)解(2)曲线上的点基础自测1D解析：由y得x2y29，因为x2y29表示一个圆，所以y表示一个半圆2A解析：以MN的中点为原点建立直角坐标系，并设M(3,0)，N(3,0)，P(x，y)，则(3x，y)(3x，y)(x29)y20，即x2y29，故P点的轨迹是圆3D解析：由(2x3y1)(1)0可得2x3y10或1，即2x3y10或x4(x3)4y2x解析：(x2，
10、y)，(x3，y)，(x2)(x3)y2x26，整理得y2x5y21解析：设点M(x，y)，P(x0，y0)，则N(x0,0)，又点P(x0，y0)在圆x2y24上，x02y024x24y24，即y21考点探究突破【例11】解：如图所示，设直线MN切圆于N点，则动点M组成的集合是：PM|MN|MQ|(0)因为圆的半径|ON|1，所以|MN|2|MO|2|ON|2|MO|21设点M的坐标为(x，y)，则，整理，得(21)(x2y2)42x(142)0，当1时，方程化为x，它表示一条直线；当1时，方程化为2y2，它表示圆心为，半径为的圆【例12】解：(1)设动点P(x，y)，则(x4，y)，(3,
11、0)，(1x，y)，由已知得3(x4)6，化简得：3x24y212，即1点P的轨迹C的方程是：1(2)设椭圆C的与直线l平行的切线l：x2yD0，将其代入椭圆方程消去x，化简得16y212Dy3(D24)0144D2192(D24)0，解得D4l和l的距离最小值为点Q到直线l的距离的最小值为【例2】解：如图，连接PA，依题意可知|PA|PB|PA|PF|PB|PF|BF|21P点轨迹为以A，F为焦点，长半轴长为1的椭圆其方程可设为1又c，a1，b2a2c2故P点的轨迹方程为x2y21【例3】解：设ABC的重心G(x，y)，C(x0，y0)，则即点C在y3x21上，y03x0213y23(3x2
12、)21，整理得y9x212x3ABC重心的轨迹方程为y9x212x3演练巩固提升1x2y40解析：(x，y)，(1,2)，则x2y4点P的轨迹方程为x2y402x2y24解析：如图，延长F1P交QF2于F1点，连接PO则在F1F2F1中，|PO|F2F1|(|QF1|QF2|)(|QF1|QF2|)2，即|PO|2，P点的轨迹方程为x2y243抛物线解析：以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系，设P(x，y)，则有(1x2)，整理得y2x，P点的轨迹是抛物线4解：设M点坐标为(x，y)，A，B两点的坐标分别为(a,0)，(0，b)，则a2b24，又当0时，即(1)2x22y24(1)若1，则x2y21表示以原点为圆心半径为1的圆；(2)若1或1，则1表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆；(3)若01或10，则1表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆；(4)若0，则又2a2，即y0，2x2，则M点的轨迹表示线段5解：设动点P(x，y)，M(x0，y0)，在正方形MNPO中，|OM|OP|，OPOM，有又点M(x0，y0)在抛物线y2x上，得y02x0由得y0，代入得x0，x0将代入，得x02x0x2y2，将代入，得x2y2，化简，得y2x4，x2y(y0)为所求轨迹方程高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801
