1、7.4基本不等式及其应用1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题1基本不等式(1)基本不等式成立的条件：_(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号(3)其中称为正数a，b的_，称为正数a，b的_2利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当_时，xy有_是_(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值S，那么当且仅当_时，xy有_值是_(简记：和定积最大)3几个常用的不等式(1)a2b2_2ab(a，bR)(2)ab_2(a，bR)(3)2_(a，bR)(4)(a，b0)(5)2(a，b同号且不为0)1若x2y4，则2x4y的最小值
2、是()A4 B8 C2 D42函数y(x1)的图象最低点的坐标是()A(1,2) B(1，2)C(1,1) D(0,2)3设x0，y0，且x4y40，则lg xlg y的最大值是()A40 B10 C4 D24当x2时，不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B(，4C0，) D2,45建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为_元一、利用基本不等式证明不等式【例1】设a0，b0，ab1，求证：22方法提炼利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，综合法是指从已证不等式和问题的已知条
3、件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”请做演练巩固提升5二、利用基本不等式求最值【例21】(2012浙江高考)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()A B C5 D6【例22】(1)设0x2，求函数y的最大值；(2)求a的取值范围；(3)已知x0，y0，且xy1，求的最小值方法提炼1在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正各项都是正数；二定和或积为定值；三相等等号能取得”，这三个方面缺一不可2对于求分式型的函数最值题，常采用拆项使分式的分子为常数，有些分式函数可以拆项分成一个整式和一个
4、分式(该分式的分子为常数)的形式，这种方法叫分离常数法3为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二次函数的配方法求最值请做演练巩固提升3,4三、基本不等式的实际应用【例31】某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2 000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用)【例32
5、】要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使整个矩形广告面积最小方法提炼基本不等式实际应用题的特点：(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解请做演练巩固提升2忽视题目的隐含
6、条件致误【典例】在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_分析：由已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用均值不等式求解即可解析：由题意可知f(x)的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P与Q，由两点间距离公式可得|PQ|4，等号当且仅当x22，即x时取得答案：4答题指导：1在解答本题时主要有两点误区：(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解(2)有些同学设出直线方程与f(x)联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解，出现运
7、算繁琐情况，导致错解2解决此类问题时还有以下几点在备考时要注意：(1)理解函数的图象、性质，明确其表达的含义；(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式；(3)思考要周密，运算要准确、快速另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法1设M是ABC内一点，且SABC的面积为1，定义f(M)(m，n，p)，其中m，n，p分别是MBC，MCA，MAB的面积，若f(M)，则的最小值是()A8 B9 C16 D182某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储
8、费用之和最小，每批应生产产品()A60件 B80件 C100件 D120件3函数yloga(x3)1(a0，且a1)的图象恒过定点A，若点A在直线mxny10上(其中m，n0)，则的最小值等于()A16 B12 C9 D84已知向量a(x，1)，b(y1,1)，x，yR，若ab，则txy的最小值是()A4 B5 C6 D85已知a，b，c都是实数，求证：a2b2c2(abc)2abbcac参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)a0，b0(2)ab(3)算术平均数几何平均数2(1)xy最小值2(2)xy最大3(1)(2)(3)基础自测1B解析：2x4y2228，当且仅当2x22y，即x2y2时取等
9、号，2x4y的最小值为82D解析：y(x1)2当且仅当x0时等号成立3D解析：x4y40，且x0，y0，x4y24(当且仅当x4y时取“”)440xy100lg xlg ylg xylg 1002lg xlg y的最大值为24B解析：xa恒成立，a必须小于或等于x的最小值x2，x20x(x2)24，当且仅当x3时取最小值4故选择B51 760解析：设水池底面的长度、宽度分别为a m，b m，则ab4，令水池表面的总造价为y，则yab1202(2a2b)80480320(ab)480320248032041 760，当且仅当ab2时取“”考点探究突破【例1】证明：由x2y2，得222222当且仅
10、当ab时等号成立【例21】C解析：x3y5xy，13x4y(3x4y)1(3x4y)25，当且仅当，即x1，y时等号成立【例22】解：(1)0x2，2x0y，当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值是(2)显然a2，当a2时，a20，a(a2)2226，当且仅当a2，即a4时取等号；当a2时，a20，a(a2)22222，当且仅当2a，即a0时取等号，a的取值范围是(，26，)(3)x0，y0，且xy1，(xy)77274，当且仅当，即2xy时等号成立，的最小值为74【例31】解：设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为每平方米的平均综合费用y56048x56048(x10
11、)，当x取最小时，y有最小值x0，x230，当且仅当x，即x15时，上式等号成立当x15时，y有最小值2 000元因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少【例32】解：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab20 000，b广告的高为a20，宽为3b30(其中a0，b0)，广告的面积S(a20)(3b30)30(a2b)60 6003060 60030260 60012 00060 60072 600，当且仅当a，即a200时，取等号，此时b100故当广告的高为220 cm，宽为330 cm时，可使整个矩形广告的面积最小演练巩固提升1D2B解析：由题意得平均每件产品生产准备费用
12、为元，仓储费用为元，从而费用和为220当，即x80时等号成立3D解析：函数yloga(x3)1的图象恒过定点A(2，1)，2mn10，即2mn1(2mn)22428，当，即n24m2，即n2m，即n，m时，取得最小值84B解析：由ab，得xy1，tt(xy)(xy)12325，当xy时，t取得最小值55证明：a2b22ab，b2c22bc，a2c22ac，2a22b22c22ab2bc2ac，3(a2b2c2)(abc)2，即a2b2c2(abc)2由a2b2c2abbcac，a2b2c22ab2bc2ac3ab3bc3ac，(abc)23(abbcac)(abc)2abbcac综上所述，a2b2c2(abc)2abbcac，命题得证高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801
