1、本章复习提升易混易错练易错点1忽略直线斜率与倾斜角之间的变化关系致错1.()已知点A(-3,2),B(3,2),若直线ax-y-1=0与线段AB相交,则实数a的取值范围是()A.-43a12B.a1或a-1C.-1a1D.a43或a122.(2020山东泰安第二中学期中,)已知点A(2,-1),B(3,m),若m-33-1,3-1,则直线AB的倾斜角的取值范围为()A.3,56B.0,356,C.3,22,56D.3,256,3.(2020江苏扬州江都丁沟中学月考,)已知点A(2,-1)、B(-3,-2),若直线l:ax+y+1=0与线段AB不相交,则实数a的取值范围是.4.()已知直线l的倾
2、斜角为30,点P(2,1)在直线l上,将直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行或重合,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求m的值.易错点2忽略前提条件导致计算错误5.()两条平行直线3x+4y-12=0与ax+8y+11=0之间的距离为() A.235B.2310C.7D.726.(2019四川雅安中学高二上期中,)已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,则实数m的值为()A.-7B.-1C.-1或-7D.133易错点3忽略直线的特殊情况,缺少分类讨论7.(2020江苏连云港
3、板浦高级中学期中,)已知点A(1,3)和点B(5,2)到直线l的距离相等,且l过点(3,-1),则直线l的方程为()A.x+4y+1=0或x=3B.x+4y-1=0或x=3C.x+4y+1=0D.x+4y-1=08.()过点A(1,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为.9.()已知直线l过两直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点,且A(2,3),B(-4,5)两点到直线l的距离相等,求直线l的方程.思想方法练一、数形结合思想在直线方程中的应用1.(2020江苏如皋第一中学高二期中,)已知M(1,2),N(4,3),直线l过点P(2,-1)且与线段MN相交,那么直线l的斜率k的取值
4、范围是()A.(-,-32,+)B.-13,12C.-3,2D.-,-1312,+2.(2020山东烟台一中月考,)两条直线l1:xa-yb=1和l2:xb-ya=1在同一直角坐标系中的图象可以是()3.()已知实数x,y满足2x+y=8,当2x3时,求yx的最大值和最小值.4.()若直线y=kx+2k+1与直线y=-12x+2的交点在第一象限,求实数k的取值范围.二、函数与方程思想在直线方程中的应用5.()已知两条直线的方程分别为x+y+a=0和x+y+b=0,设a,b是方程x2+x+c=0的两个实数根,其中0c18,求两条直线间距离的最大值和最小值.6.()已知直线l1:(2+m)x+(1
5、-2m)y+4-3m=0.(1)求证:无论m为何实数,直线l1恒过一定点M; (2)若直线l2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小,求直线l2的方程.三、分类讨论思想在直线方程中的应用7.(2020天津高二期中,)过点(3,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为()A.x+y-5=0B.2x-3y=0C.x+y-5=0或2x-3y=0D.x+y+5=0或3x-2y=08.(2020天津耀华中学高二月考,)已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等,则直线l的方程为.9.(2020江苏常州第二中学高二期中,)已知直线m:(a-1)
6、x+(2a+3)y-a+6=0,n:x-2y+3=0.(1)当a=0时,直线l过直线m与n的交点,且它在两坐标轴上的截距互为相反数,求直线l的方程;(2)若坐标原点O到直线m的距离为5,判断m与n的位置关系.四、转化与化归思想在直线方程中的应用10.(2020山东潍坊一中高二期中,)唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马,再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为B(-2,0),若将军从山脚下的点A-13,0处出发,河岸线所在直线方程
7、为x+2y=3,则“将军饮马”的最短总路程为() A.1453B.5C.1353D.16311.()已知点M(a,b)在直线3x+4y=10上,则a2+b2的最小值为.12.(2020江苏常州武进高级中学高二月考,)已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0上找一点P,在y轴上找一点Q,使MPQ的周长最小,试求出MPQ周长的最小值,并求出当MPQ的周长最小时,点P和点Q的坐标.答案全解全析易混易错练1.B直线ax-y-1=0可化为y=ax-1,表示斜率为a,在y轴上的截距为-1的直线,如图所示,令P(0,-1),则kPA=2-(-1)-3-0=-1,kPB=2-(-1)3-0=1,该直线的
8、倾斜角在4,34内,直线的斜率a满足a1或a-1,故选B.2.B因为A(2,-1),B(3,m),所以kAB=m-(-1)3-2=m+1,因为m-33-1,3-1,所以m+1-33,3,设直线AB的倾斜角为,0,),则tan -33,3,所以0,356,.故选B.3.答案-13,0解析易得直线l:ax+y+1=0经过定点P(0,-1),kPA=-1-(-1)2-0=0,kPB=-2+1-3+0=13.直线l:ax+y+1=0与线段AB不相交,0-a13,-13a0,实数a的取值范围为-13,0.4.解析如图,直线l1的倾斜角为30+30=60,直线l1的斜率k1=tan 60=3.l1与l2平
9、行或重合,l2的斜率为3.l2是线段AB的垂直平分线,kAB=2-m+1m-1=3-mm-1=-33,解得m=4+3.易错警示(1)当直线的倾斜角0,2时,斜率是非负数,倾斜角越大,斜率越大.(2)当直线的倾斜角2,时,斜率是负数,倾斜角越大,斜率越大.(3)当直线的倾斜角为2时,直线的斜率不存在.5.D由两直线平行知,a=6,此时,两直线方程分别为6x+8y-24=0,6x+8y+11=0,则两直线之间的距离d=|-24-11|62+82=3510=72,故选D.易错警示求两平行线之间的距离时,将一次项系数化为相等后,才能运用公式,解题时要防止错用公式导致结果错误.6.A当m=-3时,两条直
10、线分别化为2y=7,x+y=4,此时两条直线不平行;当m=-5时,两条直线分别化为x-2y=-10,x=4,此时两条直线不平行;当m-3且m-5时,两条直线分别化为y=-3+m4x+5-3m4,y=-25+mx+85+m,两条直线平行,-3+m4=-25+m,且5-3m485+m,解得m=-7.综上可得,m=-7.故选A.7.A点A(1,3)和点B(5,2),kAB=2-35-1=-14,点A(1,3)和点B(5,2)到直线l的距离相等,且l过点(3,-1),直线l与直线AB平行,且直线l过点(3,-1)或直线l的方程为x=3(过线段AB的中点),直线l的方程为y+1=-14(x-3)或x=3
11、,整理得x+4y+1=0或x=3.故选A.8.答案x-y=0或x+y-2=0解析解法一:设该直线在两坐标轴上的截距为a,当a=0时,直线过原点(0,0).又直线过点A(1,1),所以此时直线的方程是y=x,即x-y=0.当a0时,直线的方程为xa+ya=1,由题意得1a+1a=1,解得a=2.所以此时直线的方程为x2+y2=1,即x+y-2=0.综上,所求直线的方程为x-y=0或x+y-2=0.解法二:由题意知直线的斜率存在,且不为0.设直线方程为y-1=k(x-1),k0.令x=0,得y=1-k;令y=0,得x=1-1k.由题意知1-k=1-1k,即k2=1,所以k=1.当k=1时,直线方程
12、为y-1=x-1,即x-y=0;当k=-1时,直线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.综上,所求直线的方程为x-y=0或x+y-2=0.易错警示当题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数、截距的绝对值相等或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件时,求解时一定要考虑截距为0的情况.9.解析由3x+4y-5=0,2x-3y+8=0得x=-1,y=2,即交点坐标为(-1,2).当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0,由题意得|2k-3+k+2|k2+1=|-4k-5+k+2|k2+1,解得k=-13,所以直线l的方程为-
13、13x-y+53=0,即x+3y-5=0.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,符合题意.综上,直线l的方程为x+3y-5=0或x=-1.易错警示在求解有关直线位置关系或距离有关的问题时,要注意直线斜率不存在的情况.思想方法练1.A(根据题意,要求直线l过点P(2,-1)且与线段MN相交,这是一个动态变化的过程,可以利用数形结合思想,作出符合题意的图形,通过图形直观地找到直线l的斜率k的取值范围)如图,由图可知,过点P 且与x 轴垂直的直线斜率不存在,当直线PN 绕点P 逆时针旋转到垂直于x 轴的过程时,直线的斜率始终为正,且逐渐增大,所以此时直线斜率的范围为kkPN,当直线由垂直于
14、x 轴绕P点逆时针旋转到PM的过程时,斜率为负,且逐渐增大,此时直线斜率的范围是kkPM.易得kPN=3+14-2=2,kPM=2+11-2=-3,则k-3或k2.故选A.2.A(分析图象,根据图象的特征讨论a,b的符号)将直线方程化为截距式分别为xa+y-b=1,xb+y-a=1,由题图A知,l1中a0,-b0,l2中b0,-a0,即a0,故A选项符合.故选A.3.解析分析所求式子yx的几何意义,可看作线段上动点与原点之间连线的斜率.因此可以作出图形,利用数形结合思想解题易知yx=y-0x-0的几何意义是直线OP的斜率,由图可知直线OA的斜率最大,OB的斜率最小.当x=2时,y=4,即A(2
15、,4),当x=3时,y=2,即B(3,2).所以kOA=2,kOB=23,所以yx的最大值为2,最小值为23.4.解析(本题常规解法是求出交点坐标,因为交点在第一象限,所以横、纵坐标大于零,从而求出k的范围,若利用数形结合思想,作出符合题意的图形,则可得到一种简捷解法)显然y=kx+2k+1过定点B(-2,1),而直线y=-12x+2在第一象限内是一条线段,线段的两端点分别为C(4,0),A(0,2),如图所示.故所求问题等价于求过定点B且与线段AC相交的直线的斜率k的取值范围.因为BC所在直线的斜率为kBC=1-0-2-4=-16,AB所在直线的斜率为kAB=2-10+2=12,所以满足题意
16、的实数k的取值范围为-16k12.思想总结数形结合思想在解决数学问题中占有极其重要的地位,运用数形结合思想,不仅直观、易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程.本章中的很多问题,例如斜率的几何意义,最值的求解等,利用图形的直观化,数形结合思想辅助解决问题,则显得简便快捷,比传统的解法更形象、更巧妙,并且计算量小.5.解析由一元二次方程根与系数的关系,得a+b=-1,ab=c.易知两条直线平行,设两条平行直线间的距离为d,则d=|a-b|2,所以d2=(a+b)2-4ab2=12-2c0c18.(把距离表示为c的函数,利用函数的单调性求最值)因为d2是关于c的单调递减函数,
17、所以当c=0时,d2有最大值,且(d2)max=12,即dmax=22,当c=18时,d2有最小值,且(d2)min=14,即dmin=12.所以两条直线间距离的最大值为22,最小值为12.6.解析(1)证明:直线l1的方程可化为(x-2y-3)m+(2x+y+4)=0.联立x-2y-3=0,2x+y+4=0,解得x=-1,y=-2,则M(-1,-2).(根据含m项和不含m项整理直线的方程,然后利用恒过定点时与m的值无关列出方程组,求出定点)所以无论m为何实数,直线l1恒过一定点M(-1,-2).(2)由题意知直线l2的斜率k0,设直线l2:y+2=k(x+1).令x=0,得y=k-2.令y=
18、0,得x=2k-1.则所求面积S=12|k-2|2k-1=122-4k-k+2=124-4k-k,(把所求面积S表示为k的函数,利用基本不等式求最值)k0,-4k0,-4k-k2-4k(-k)=4,当且仅当-4k=-k,即k=-2时,等号成立,当三角形面积最小时,直线l2的方程为y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.思想总结函数与方程思想是分析和解决解析几何问题的一种非常重要的数学思想.两条直线交点问题一般通过联立方程来处理.对于运动变化的点有关的问题(如最值问题、求参数的取值范围等)常常利用函数思想,借助于函数的手段,转化为函数问题来解决,并通过函数关系揭示它们之间的联系和规律.7.C
19、(根据题目条件,需对直线是否过原点进行分类讨论求解)若直线过原点,则直线的斜率为2-03-0=23,此时所求直线的方程为y=23x,即2x-3y=0,满足题意.若直线不过原点,设可直线的方程为xa+ya=1(a0),由题意得3a+2a=1,解得a=5,此时所求直线的方程为x+y-5=0.综上所述,所求直线的方程为x+y-5=0或2x-3y=0.故选C.8.答案2x-y=0或x+y+3=0解析联立2x+3y+8=0,x-y-1=0,解得x=-1,y=-2,所以交点坐标为(-1,-2),(在两坐标轴上的截距相等,则直线方程可能过原点,也可能不过原点,所以需要利用分类讨论思想,对所求直线过原点和不过
20、原点分别求解)当直线l过原点时,符合截距相等,此时直线l的方程为y=2x,即2x-y=0;当直线l不过原点时,设直线l的方程为xa+ya=1,把点(-1,-2)代入得-1a+-2a=1,解得a=-3,则直线l的方程为x-3+y-3=1,即x+y+3=0.综上所述,直线l的方程为2x-y=0或x+y+3=0.9.解析(1)当a=0时,直线m:-x+3y+6=0,联立-x+3y+6=0,x-2y+3=0,解得x=-21,y=-9,即直线m与直线n的交点为(-21,-9).当直线l过原点时,直线l的方程为3x-7y=0,满足题意;当直线l不过原点时,设直线l的方程为xb+y-b=1,将(-21,-9
21、)代入,得b=-12,所以直线l的方程为x-y+12=0.故满足条件的直线l的方程为3x-7y=0或x-y+12=0.(2)设原点O到直线m的距离为d,则d=|-a+6|(a-1)2+(2a+3)2=5,解得a=-14或a=-73.当a=-14时,直线m的方程为x-2y-5=0,此时mn;当a=-73时,直线m的方程为2x+y-5=0,此时mn.思想总结本章中直线的倾斜角和斜率之间的关系、两直线的平行和垂直判定等含参数的问题和截距问题常涉及分类讨论思想.10.A(根据题意,要求“将军饮马”的最短总路程,可以转化为求点B(-2,0)关于直线x+2y=3的对称点C(0,4),结合两点间的距离公式,
22、求得AC的长,即为最短路程)如图所示,设点B(-2,0)关于直线x+2y=3的对称点为C(x1,y1),则y1x1+2-12=-1,x1-22+2y12=3,解得x1=0,y1=4,即C(0,4),则AC=0+132+(4-0)2=1453,即“将军饮马”的最短总路程为1453.故选A.导师点睛本题主要考查了直线方程的实际应用问题,其中解题中合理转化,求得点关于直线的对称点,结合两点间的距离公式求解是解题的关键,着重考查转化思想以及推理与运算能力.11.答案2解析(将所求式子转化为两点间的距离,进而转化为点到直线的距离)易知a2+b2表示点M与原点的距离,而点M(a,b)在直线3x+4y=10
23、上,a2+b2的最小值为原点到直线3x+4y=10的距离,即(a2+b2)min=|-10|32+42=2,a2+b2的最小值为2.12.解析(要求MPQ周长的最小值,可以利用对称性转化为求两点间的距离)如图,作出M(3,5)关于直线l:x-2y+2=0的对称点N,作出M(3,5)关于y轴的对称点E,连接NE,交直线l于点P,交y轴于点Q,从而得到MPQ周长的最小值,最小值为NE.设N(x,y),MN与直线l:x-2y+2=0垂直且线段MN被直线l平分,x+32-2y+52+2=0,y-5x-312=-1,解得x=5,y=1,N(5,1),易得E(-3,5),NE=(5+3)2+(1-5)2=45,直线NE的方程为y=1-55+3(x-5)+1,即x+2y-7=0,令x=0,得y=72,Q0,72,联立x+2y-7=0,x-2y+2=0,解得x=52,y=94,P52,94.综上所述,MPQ周长的最小值为45,当MPQ周长最小时,点P的坐标为52,94,点Q的坐标为0,72.思想总结转化与化归思想在本章中主要体现在利用对称的思想求线段和与差的最值问题.
