1、专题强化练1直线方程及其应用一、选择题1.(多选)(2020江苏无锡宜兴中学高二月考,)下列说法不正确的是()A.截距相等的直线都可以用方程xa+ya=1表示B.方程x+my-2=0(mR)不能表示平行于y轴的直线C.经过点P(1,1),倾斜角为的直线方程为y-1=tan (x-1)D.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的直线方程为y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)2.(2020江苏张家港梁丰高级中学高二月考,)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,1)(1,3),则其斜率k的取值范围是()A.-1k1或k12 C.15k12或k-13.(
2、2020江苏南京大厂高级中学高二阶段测试,)若函数f(x)=asin x-bcos x(ab0)对任意的实数x都有f 4+x=f 4-x,则直线2ax-by+c=0的斜率是()A.-2B.2C.55D.-554.(2020江苏赣榆智贤高级中学高二期中,)已知直线(2m+1)x+(1-m)y-3(1+m)=0m-12,1与x轴、y轴分别交于A、B两点.当OAB的面积取得最小值时(O为坐标原点),m的值为()A.13B.-13C.-15D.155.(2020江苏常州溧阳中学高二期中,)已知点A(2,0),点B(-2,0),直线l:(+3)x+(-1)y-4=0(其中R),若直线l与线段AB有公共点
3、,则的取值范围是()A.-1,3)B.(-1,1)(1,3)C.-1,1)(1,3D.-1,3二、填空题6.(2020江苏常州第二中学期中,)过直线l:y=3x+3与x轴的交点,且与直线l的夹角为30的直线的方程为.7.(2020浙江宁波余姚中学高二期中,)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则点H的坐标为,直线FH的一般式方程为.三、解答题8.(2020江苏南通海门中学高二期中,)已知O为坐标原点,倾斜角为23的直线l与x轴,y轴的正半轴分别相交于点A,B,AOB的面积为83.(1)求直线l
4、的方程;(2)直线l:y=-33x,点P在l上,求PA+PB的最小值.9.(2020上海徐州建平中学高二期中,)直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点.(1)若直线l的斜率为-2,求AOB的面积;(2)若AOB的面积S满足12S754,求直线l的斜率k的取值范围;(3)如图,若AP=2PB,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E、F分别在线段MP、OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点坐标.10.(2020江苏南京江宁高级中学高二月考,)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,点B在第一象限内,A
5、OB=3.(1)若AB过点M(3,3),当OAB的面积取得最小值时,求直线AB的斜率;(2)若AB=4,求OAB的面积的最大值;(3)设OA=a,OB=b,若1a+1b=4,求证:直线AB必过一定点,并求出该定点坐标.专题强化练1直线方程及其应用一、选择题1.ABC对于选项A,橫、纵截距都为0的直线不可以用方程xa+ya=1表示,故选项A中的说法不正确;对于选项B,当m=0时,方程x+my-2=0表示的是平行于y轴的直线x=2,故选项B中的说法不正确;对于选项C,当倾斜角=2时,tan 无意义,斜率不存在,直线方程不能写成y-1=tan (x-1)的形式,故选项C中的说法不正确;对于选项D,因
6、为x1x2,所以直线的斜率存在,且斜率为y2-y1x2-x1,因此直线的方程可以写成y-y1=y2-y1x2-x1(x-x1)的形式,故选项D中的说法正确.故选ABC.2.D根据题意,得直线l的方程为y-2=k(x-1)(k0),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-2k,则-31-2k1或11-2k12或k0且3(1+m)1-m0,解得-12m1.所以OAB的面积S=123(1+m)2m+13(1+m)1-m=92(1+m)2-2m2+m+1,令1+m=t,则t12,2,所以S=92t2-2t2+5t-2=921-21t-542+98,所以当t=45,即m=-15时,S取得最小值.故选C.5
7、.D(+3)x+(-1)y-4=0(其中R),则(x+y-4)+(3x-y)=0,x+y-4=0,3x-y=0,解得x=1,y=3,直线l过定点P(1,3),点A(2,0),点B(-2,0),kPA=3-01-2=-3,kPB=3-01-(-2)=1,当=1时,直线l:x=1,与线段AB有公共点,当1时,直线l的斜率k=+31-,直线l与线段AB有公共点,+31-1或+31-3,解得-11或10),则直线l与x轴,y轴的正半轴的交点分别为A33b,0,B(0,b),则SOAB=1233bb=83,解得b=43(负值舍去),故直线l的方程为y=-3x+43.(2)由(1)可得A(4,0),B(0
8、,43),设点A关于直线l的对称点为A(m,n),则n-0m-4=3,n2=-33m+42,解得m=2,n=-23,A(2,-23).PA+PB=PA+PBAB,当A,B,P三点共线时,PA+PB取得最小值,(PA+PB)min=AB=(2-0)2+(-23-43)2=47.9.解析(1)因为直线l的斜率为-2,所以直线l的方程为y-2=-2(x-3),整理得y=-2x+8,所以直线l与x轴、y轴的正半轴的交点分别为A(4,0)、B(0,8),故AOB的面积S=1248=16.(2)根据题意,直线l的斜率k存在且k0,所以直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),整理得y=kx+2-3k,所
9、以直线l与x轴、y轴的正半轴的交点分别为A3k-2k,0、B(0,2-3k),所以2-3k0,3k-2k0,解得k0得k33,由3-33k3-k0得k3,所以k3.所以OAB的面积S=12-3k+33-33k3-k=123(3k-1)k3(3k-1)k-3=332(3k-1)2k(k-3).令t=3k-1,则t(-,-1)(2,+),则SOAB=332t2t+13t-23=932t2t2-t-2=9321-2t2-1t+1=9321-21t+142+98.因为1t(-1,0)0,12,所以当1t=-14,即t=-4,即k=-3时,OAB的面积最小,所以当OAB的面积取得最小值时,直线AB的斜率为-3.(2)设OAB=00,b0都成立,在式两边同时除以ab得1by+32x-y21a-32=0,又因为1a+1b=4,所以1b=4-1a,代入,并整理得32x-32y1a+4y-32=0,对于任意a0都成立,所以32x-32y=0,4y-32=0,解得x=38,y=38,所以直线AB必过一定点,该定点坐标为38,38.
