1、5.2.3简单复合函数的导数基础过关练题组一复合函数的求导法则1.(2020江苏南京师范大学附属中学高二下期中)函数f(x)=sin 2x的导数是()A. f (x)=2cos 2xB. f (x)=-2cos 2xC. f (x)=2sin 2xD. f (x)=-2sin 2x2.(2020江苏建湖二中高二下线上学情检测)已知函数f(x)=ln(2x+1),则f (0)=()A.0B.1C.2D.123.已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f (x),且f (2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.14.(多选)(2020江苏常熟高二下期中)以下函数求导正确的是()
2、A.若f(x)=x2-1x2+1,则f (x)=4x(x2+1)2B.若f(x)=e2x,则f (x)=e2xC.若f(x)=2x-1,则f (x)=12x-1D.若f(x)=cos2x-3,则f (x)=-sin2x-35.函数f(x)=cos2xex的导函数f (x)=.6.求下列函数的导数.(1)y=x2(2x+1)3;(2)y=e-xsin 2x;(3)y=ln2x+1-1;(4)y=cos(-2x)+32x+1.题组二复合函数求导的综合运用7.(2020江苏常州新桥高级中学高二下期中)函数f(x)=ln(x2+1)的图象在点(1,f(1)处的切线的倾斜角为()A.0B.2C.3D.4
3、8.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=6002-t30,则铯137的含量M在t=30时的瞬时变化率为()A.-10ln 2(太贝克/年)B.300ln 2(太贝克/年)C.-300ln 2(太贝克/年)D.300(太贝克/年)9.已知函数f(x)=2ln(3x)+8x,则limx0f(1-2x)-f(1)x的值为()A.10B.-10C.-20D.2010.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1B.2C.-
4、1D.-211.设函数f(x)在(-,+)上的导函数为f(x),若f(ln x)=x+1x,则f(0)f(0)=()A.2B.-2C.1D.e+112.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a=.13.已知f(x)为偶函数,当x0时,f(x)=e-x-2-x,则曲线y=f(x)在(2,f(2)处的切线方程为.14.设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中aR,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与y轴交于点(0,6),试确定a的值.能力提升练题组复合函数的导数及其应用1.()已知函数y=f(x)=ln|x|,则下列各结论中,正确的是()A.x0时,f (
5、x)=1x,x0时,f (x)=1x,x0时,f (x)无意义C.x0时,都有f (x)=1xD.因为x=0时f(x)无意义,所以不能对y=ln|x|求导2.()设函数f(x)是R上以5为周期的可导偶函数,则曲线y=f(x)在x=5处的切线的斜率为()A.- 15B.0C.15D.53.(2020河南开封五县高二上期末联考,)设aR,函数f(x)=ex+ae-x为奇函数,曲线y=f(x)的一条切线的切点的纵坐标是0,则该切线方程为()A.2x-y=0B.2x+y=0C.4x-y=0D.4x+y=04.(2020安徽黄山屯溪一中高二期中,)已知函数f(x)为R上的可导函数,其导函数为f(x),且
6、f(x)=3f6sin x+cos x,在ABC中, f(A)=f(B)=1,则ABC的形状为()A.等腰锐角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰钝角三角形5.(2020江苏南京江浦高级中学高三上月考,)直线l:y=kx+b是曲线f(x)=ln(x+1)和曲线g(x)=ln(e2x)的公切线,则b=()A.2B.12C.lne2D.ln(2e)6.(多选)()已知函数f(x)及其导数f(x),若存在x0,使得f(x0)=f(x0),则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列函数中,有“巧值点”的是()A.f(x)=x2B.f(x)=e-xC.f(x)=ln xD.f(x)=1x7.(多选)
7、(2021海南、山东等高三上期中,)已知函数f(x)=sinx+4(00,则-x0),则f(x)=ex-2+1(x0),f(2)=2,又f(2)=3,曲线y=f(x)在(2,f(2)处的切线方程为y-3=2(x-2),即y=2x-1.14.解析因为f(x)=a(x-5)2+6ln x,所以f (x)=2a(x-5)+6x.令x=1,得f(1)=16a,f (1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1).由点(0,6)在切线上,可得6-16a=8a-6,解得a=12.能力提升练1.C由题意得f(x)=lnx(x0),ln(-x)(x0时,
8、f(x)=ln xf (x)=(ln x)=1x;(2)x2,则C=-23-6=6,则B=C,即ABC是等腰钝角三角形.5.C设直线l与曲线f(x)=ln(x+1)相切于点A(x1,y1),直线l与曲线g(x)=ln(e2x)相切于点B(x2,y2),f(x)=ln(x+1),f (x)=1x+1,由f (x1)=1x1+1=k,可得x1=1-kk,又y1=f(x1)=ln(x1+1)=-ln k,所以点A1-kk,-lnk,将点A的坐标代入直线l的方程,可得-ln k=k1-kk+b,可得b=k-ln k-1,g(x)=ln(e2x)=2+ln x,则g(x)=1x,由g(x2)=1x2=k
9、,可得x2=1k,又y2=g(x2)=2-ln k,所以点B1k,2-ln k,将点B的坐标代入直线l的方程,可得2-ln k=k1k+b=b+1,b=1-ln k,联立可得k=2,b=1-ln 2=lne2.故选C.6.ACD在A中,若f(x)=x2,则f(x)=2x,令x2=2x,这个方程显然有解,故A符合要求;在B中,若f(x)=e-x,则f(x)=-e-x,令e-x=-e-x,此方程无解,故B不符合要求;在C中,若f(x)=ln x,则f(x)=1x,令ln x=1x,易知该方程存在实数解,故C符合要求;在D中,若f(x)=1x,则f(x)=-1x2,令1x=-1x2,可得x=-1,故
10、D符合要求.故选ACD.7.BD因为f(x)=sinx+4的图象的一条对称轴为直线x=8,所以8+4=k+2,kZ,所以=8k+2,kZ,又03,所以=2,所以f(x)=sin2x+4,所以f (x)=2cos2x+4,所以g(x)=sin2x+4+2cos2x+4=322cos 2x-22sin 2x=5cos(2x+)其中tan=13,可取02,显然4,g85且g8-5且g80,易知g(x)的最大值为5,最小正周期为,故A,C错误,B,D正确.故选BD.8.答案320;809信息提取(1)酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深8 cm,上口宽6 cm;(2)将水以20 cm3/s的流速倒入杯中;(3
11、)求水深为4 cm时的时刻t及水升高的瞬时变化率.数学建模本题以立体几何问题为背景构建函数模型,利用导数的实际意义求出水升高的瞬时变化率.计算出当水深为4 cm时杯中水的容积,然后除以流速可得出时刻t的值,设水的深度为h cm,求出h关于t的函数表达式,利用导数可求得当水深为4 cm时,水升高的瞬时变化率.解析当水深为4 cm时,酒杯中水面的半径为32 cm,此时水的体积V=133224=3(cm3),由题意可得20t=3,可得t=320.设t时水的深度为h cm,水面半径为r cm,则r=83,则r=38h,由题意可得20t=13r2h=13382h=364h3,h=1 280t313,h=
12、131 280313t-23,当t=320时,h=131 280313320-23=809(cm/s).陷阱分析将函数的求导与导数的实际意义相结合是一种常见的题型,这类问题要注意理解“函数在某点处的导数反映了函数在该点处的瞬时变化率”.9.解析由f(x)=3x+cos 2x+sin 2x,得f(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,则a=f4=3-2sin 2+2cos 2=1.由y=x3得y=3x2.当P点为切点时,切线的斜率k=3a2=312=3,又b=a3,b=1,切点P的坐标为(1,1),以点P为切点的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.当P点不是切点时,设切点坐标
13、为(x0,x03),此时切线的斜率k=3x02,切线方程为y-x03=3x02(x-x0).P(a,b)在曲线y=x3上,且a=1,b=1,将P(1,1)代入切线方程,得1-x03=3x02(1-x0),2x03-3x02+1=0,即2x03-2x02-x02+1=0,即(x0-1)2(2x0+1)=0,解得x0=-12(x0=1舍去),切点坐标为-12,-18,又切线的斜率为3-122=34,切线方程为y+18=34x+12,即3x-4y+1=0.综上,满足题意的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.10.解析(1)由题意得f(x)=a-1(x+b)2,于是2a+12+b=3,a-
14、1(2+b)2=0,解得a=1,b=-1或a=94,b=-83,因为a,bZ,所以a=1,b=-1,所以f(x)=x+1x-1.(2)由(1)知f(x)=x+1x-1,则f(x)=1-1(x-1)2.在曲线y=f(x)上任取一点x0,x0+1x0-1(x01),则f(x0)=1-1(x0-1)2,故过此点的切线方程为y-x0-1x0-1=1-1(x0-1)2(x-x0).令x=1,得y=x0+1x0-1,则切线与直线x=1的交点坐标为1,x0+1x0-1.令y=x,得x=2x0-1,则切线与直线y=x的交点坐标为(2x0-1,2x0-1).易得直线x=1与直线y=x的交点的坐标为(1,1).故所围成的三角形的面积为12x0+1x0-1-1|2x0-1-1|=122x0-1|2x0-2|=2.