1、2.6指数与指数函数考纲要求1了解指数函数模型的实际背景2理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，会解决与指数函数性质有关的问题1根式(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果存在实数x，使得_，那么x叫做a的n次方根aR，n1且nN*当n为奇数时，正数的n次方根是一个_，负数的n次方根是一个_零的n次方根是零当n为偶数时，正数的n次方根有_，它们互为_负数没有偶次方根(2)两个重要公式()n_(n1且nN*)(注意a必须使有意义)2实数指数幂(1)分数指数幂的表示正数的正分数指数幂的意义是_(a0，m，nN*，n1)正数的负分数指数幂的意义是_(a0，m
2、，nN*，n1)0的正分数指数幂是_，0的负分数指数幂无意义(2)有理指数幂的运算性质aras_(a0，r，sQ)；(ar)s_(a0，r，sQ)；(ab)r_(a0，b0，rQ)(3)无理指数幂一般地，无理指数幂a(a0，是无理数)是一个_的实数，有理指数幂的运算法则_于无理指数幂3指数函数的图象和性质函数yax(a0，且a1)图象0a1a1图象特征在x轴_，过定点_当x逐渐增大时，图象逐渐下降当x逐渐增大时，图象逐渐上升性质定义域_值域_单调性在R上_在R上_函数值变化规律当x0时，_当x0时，_；当x0时，_当x0时，_；当x0时，_1化简(x0，y0)得()A2x2y B2xyC4x2
3、y D2x2y2函数y(a23a3)ax是指数函数，则有()Aa1或a2Ba1Ca2Da0且a13把函数yf(x)的图象向左、向下分别平移2个单位长度得到函数y2x的图象，则()Af(x)2x22Bf (x)2x22Cf(x)2x22Df(x)2x224函数y(0a1)图象的大致形状是()5函数f(x)m(a1)恒过点(1,10)，则m_.一、指数式与根式的计算【例1】计算下列各式的值(1)10(2)1()0；(2)(1)0；(3)(a0，b0)方法提炼指数幂的化简与求值(1)化简原则：化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序提醒：有理数指数幂的运算性质中，其
4、底数都大于零，否则不能用性质来运算(2)结果要求：若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂请做演练巩固提升4二、指数函数的图象与性质的应用【例21】在同一坐标系中，函数y2x与yx的图象之间的关系是()A关于y轴对称 B关于x轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称【例22】已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值【例23】k为何值时，方程|3x1|k无解？有一解？有两解？方法提炼1与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利
5、用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象2如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系及规律如下：图中直线x1与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c1d11a1b1，cd1ab，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大3与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤：(1)求复合函数的定义域；(2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的；(3)分层逐一求解函数的单调性；(4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”)4函数yaf(x)的值域的求解，先确定f(x)的值域，再根据指数函数的单调性确定yaf(x)
6、的值域请做演练巩固提升2三、指数函数的综合应用【例3】已知f(x)(axax)(a0且a1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围方法提炼1利用指数函数的性质解决相关的综合问题时，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论2解决恒成立问题，一般需通过分离变量，通过转化为求函数的最值来实现请做演练巩固提升5忽略0a1或弄错x的范围而致误【典例】(12分)已知函数yb(a，b是常数且a0，a1)在区间上有ymax3，ymin，试求a，b的值分析：先确定tx22x在上的值域，再分a1，0a1两种情况讨论，构建关于a，b的方
7、程组求解规范解答：x，tx22x(x1)21，值域为1,0，即t1,0(2分)(1)若a1，函数yat在1,0上为增函数，at，则b，依题意得解得(7分)(2)若0a1，函数yat在1,0上为减函数，at，则b，(9分)依题意得解得综上，所求a，b的值为或(12分)答题指导：1在解答本题时，有两大误区：(1)误将x的范围当成x22x的范围，从而造成失误(2)误认为a1，只按第(1)种情况求解，而忽略了0a1的情况，从而造成失误2利用指数函数的图象、性质解决有关问题时，还有以下几个误区，在备考中要高度关注：(1)忽视函数的定义域而失误；(2)未能将讨论的结果进行整合而失误；(3)利用幂的运算性质
8、化简指数式时失误；(4)在用换元法时忽视中间元的范围而失误1(2012天津高考)已知a21.2，b0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为()Acba BcabCbac Dbca2在同一个坐标系中画出函数yax，ysin ax的部分图象，其中a0且a1，则下列所给图象中可能正确的是()3类比“两角和与差的正、余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，S(x)，C(x)，其中a0且a1，下面正确的运算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)；C(xy)C(x)C(y)S(x)S(y)A B C
9、 D4计算_.5若函数y为奇函数(1)求a的值；(2)求函数的定义域；(3)讨论函数的单调性参考答案基础梳理自测知识梳理1(1)xna正数负数两个相反数(2)aaaa2(1)0(2)arsarsarbr(3)确定同样适用3上方(0, 1)R(0，)递减递增y1y10y10y1y1基础自测1D解析：2(x)2(y)2x2y.2C解析：由已知，得即a2.3C解析：因为将函数y2x的图象向上平移2个单位长度得到函数y2x2的图象，再向右平移2个单位长度得到函数y2x22的图象，所以，函数f(x)的解析式为f(x)2x22.4D解析：当x0时，yax；当x0时，yax.故选D.59解析：f(x)m在x
10、22x30时过定点(1,1m)或(3,1m)，1m10，解得m9.考点探究突破【例1】解：(1)原式110(2)11010201.(2)原式21(2)1(2)1.(3)原式ab1.【例21】A解析：yx2x，它与函数y2x的图象关于y轴对称【例22】解：(1)当a1时，f(x)，令g(x)x24x3，由于g(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，而yg(x)在R上单调递减所以f(x)在(，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，即函数f(x)的递增区间是(2，)，递减区间是(，2)(2)令h(x)ax24x3，yh(x)由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1
11、.即当f(x)有最大值3时，a的值等于1.【例23】解：函数y|3x1|的图象是由函数y3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示当k0时，直线yk与函数y|3x1|的图象无交点，即方程无解；当k0或k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0k1时，直线yk与函数y|3x1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解【例3】解：(1)函数定义域为R，关于原点对称又f(x)(axax)f(x)，f(x)为奇函数(2)当a1时，a210，yax为增函数，yax为减函数，从而yaxax为增函数，f(x)为增函数当0a
12、1时，a210，yax为减函数，yax为增函数，从而yaxax为减函数，f(x)为增函数故当a0且a1时，f(x)在定义域内单调递增(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，f(x)在区间1,1上为增函数f(1)f(x)f(1)f(x)minf(1)(a1a)1.要使f(x)b在1,1上恒成立，则只需b1，故b的取值范围是(，1演练巩固提升1A解析：a21.2，b0.820.8，21.220.81，ab1，c2log52log541.cba.2D解析：若a1，则yax是增函数，且ysin ax的周期T2；若0a1，则yax是减函数，且ysin ax的周期T2.3A解析：S(xy)，S(x)C(y)C(x)S(y)S(xy)，故正确；同理可知也正确故选A.420解析：(lglg 25)lg()lglg 10221020.5解：函数y，ya.(1)由奇函数的定义，可得f(x)f(x)0，即aa0，2a0，a.(2)y，2x10，即x0.函数y的定义域为x|x0(3)当x0时，设0x1x2，则y1y2.0x1x2，.,10,10.y1y20，因此y在(0，)上单调递增同样可以得出y在(，0)上单调递增
