1、 函数的基本性质高考试题考点一 函数的单调性1.(2013年北京卷,文3)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+)上单调递减的是()(A)y= (B)y=e-x(C)y=-x2+1(D)y=lg |x|解析:y=是奇函数,选项A错;y=e-x是指数函数,非奇非偶,选项B错;y=lg|x|是偶函数,但在(0,+)上单调递增,选项D错;只有选项C是偶函数且在(0,+)上单调递减.故选C.答案:C2.(2012年陕西卷,文2)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为()(A)y=x+1(B)y=-x3(C)y=(D)y=x|x|解析:若为奇函数,排除A,若为增函数,排除B、C,故选D.答案:D3.(20
2、10年北京卷,文6)给定函数y=,y= (x+1),y=|x-1|,y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是()(A)(B)(C)(D)解析:显然幂函数y=及指数型函数y=2x+1在(0,1)上单调递增,对于y=(x+1)可看作是y=u,u=x+1的复合函数,由复合函数的单调性知y=(x+1)在(0,1)上递减,对函数y=|x-1|,其图象是偶函数y=|x|的图象向右平移一个单位得到,y=|x|在(-1,0)上递减,则y=|x-1|在(0,1)上递减.故选B.答案:B4.(2012年浙江卷,文10)设a0,b0,e是自然对数的底数()(A)若ea+2a=eb+3b,则ab(B
3、)若ea+2a=eb+3b,则ab(D)若ea-2a=eb-3b,则a0,b0,则当ea+2a=eb+3b时,一定有ea+2aeb+2b,此时ab.故选A.答案:A5.(2012年安徽卷,文13)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3,+),则a=.解析:函数的图象是以为端点的2条射线组成,所以-=3,a=-6.答案:-6考点二 函数的奇偶性1.(2013年山东卷,文3)已知函数f(x)为奇函数,且当x0时,f(x)=x2+,则f(-1)等于()(A)2(B)1(C)0(D)-2解析:因x0时f(x)=x2+.所以f(1)=1+1=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-
4、2.故选D.答案:D2.(2013年湖南卷,文4)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于()(A)4(B)3(C)2(D)1解析:由题意:f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,得f(-1)=-f(1),g(-1)=g(1),解得g(1)=3.故选B.答案:B3.(2013年天津卷,文7)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间0,+)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(a)2f(1),则a的取值范围是()(A)1,2(B) (C) (D)(0,2解析:由题得f(log2a)+f(-log2a)2f(1),即f(
5、log2a)f(1),则-1log2a1,所以a2,故选C.答案:C4.(2012年广东卷,文4)下列函数为偶函数的是()(A)y=sin x(B)y=x3(C)y=ex (D)y=ln解析:选项A、B为奇函数,选项C为非奇非偶函数,对于D有f(-x)=ln=ln=f(x).答案:D5.(2012年天津卷,文6)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为()(A)y=cos 2x,xR(B)y=log2|x|,xR且x0(C)y=,xR(D)y=x3+1,xR解析:函数y=log2|x|为偶函数,且当x0时,函数y=log2|x|=log2x为增函数,所以在(1,2)上也为增函数
6、.故选B.答案:B6.(2011年上海卷,文15)下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+)上单调递减的函数是()(A)y=x-2(B)y=x-1(C)y=x2(D)y=解析:选项为偶函数的是A、C,其中y=x2在(0,+)上是单调递增函数.故选A.答案:A7.(2010年山东卷,文5)设f(x)为定义在R上的奇函数.当x0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于()(A)-3(B)-1(C)1 (D)3解析:因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以有f(0)=20+20+b=0,解得b=-1,所以当x0时,f(x)=2x+2x-1,即f(-1)=-f(1)=-(21+21-1
7、)=-3.故选A.答案:A8.(2013年江苏卷,11)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时,f(x)=x2-4x,则不等式f(x)x的解集用区间表示为.解析:设x0,f(-x)=x2+4x,所以xx,解得x5,当xx,解得-5x0,即a2,而要求充分不必要条件,则填集合(-,2)的一个子集即可.答案:(-,t)(t0时,f(x)=1-2-x,这时-x0,所以f(-x)=2-x-1,于是f(-x)=-f(x);当x0,所以f(-x)=1-2x,于是也有f(-x)=-f(x).又f(0)=0,故函数f(x)是一个奇函数;又因为当x0时,f(x)=1-2-x单调递增,当x0时,f(x)=20
8、10x+log2010x,则在R上方程f(x)=0的实根个数为()(A)1(B)2(C)3(D)4解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.当x0时,函数y=2010x与函数y=-log2010x有一个交点,知2010x+log2010x=0有唯一的实根.由奇函数性质知,当x0时,-x0,则f(-x)=5-x-1=-f(x);当x0,则f(-x)=1-5x=-f(x),又f(0)=0,所以函数f(x)为奇函数,易知函数在(0,+)递增,故函数在定义域内递增.故选A.答案:A2.(2012北京朝阳模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR,都有f(x+2)=f(x).当
9、0x1时,f(x)=x2.若直线y=x+a与函数y=f(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点,则实数a的值是()(A)0 (B)0或-(C)-或-(D)0或-解析:f(x+2)=f(x),T=2.又0x1时,f(x)=x2,可画出函数y=f(x)在一个周期内的图象如图所示.显然a=0时,y=x与y=x2在0,2内恰有两个不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x2(0x1)相切时也恰有两个不同公共点,由题意知y=(x2)=2x=1,x=.A,又A点在y=x+a上,a=-.综上知选D.答案:D3.(2012浙江台州模拟)函数y=f(x-1)为奇函数,y=f(x+1)为偶函数(定义域均为R).若
10、0xf(-m)-f(-n)成立,那么在下列给出的四个不等式中,正确的是()(A)m+n0(C)m-n0解析:将f(m)-f(n)f(-m)-f(-n)变形为f(m)+f(-n)f(-m)+f(n),当mn时,-nf(n)且f(-n)f(-m),反之亦成立.故选C.答案:C3.(2012琼海一模)已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a0且a1),若g(2)=a,则f(2)等于()(A)2 (B)(C) (D)a2解析:由题意得f(-x)+g(-x)=g(x)-f(x)=a-x-ax+2,联立f(x)+g(x)=ax-a-x+2,求解得g(x)=2,f(x)=ax-a-x.故a=2,f(2)=22-2-2=4-=.故选C.答案:C
