1、2015-2016学年吉林省辽源市田家炳高中高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1在复平面内，复数i（2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D是正确的3f（x）=x33x2+2在区间1，1上的最大值是（）A2B0C2D44用反证法证明命题：“若a、b、c是三连续的整数，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）A假设a、b、c中至多有一个偶数B假设a、b、c中至多有两个偶数C假设a、b、c都
2、是偶数D假设a、b、c都不是偶数5已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（2），则f（2）的值等于（）A2B1C4D26若ab0，则下列不等式中总成立的是（）Aa+b+BCa+b+D7已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x22x3）f（x）0的解集为（）A（，2）（1，+）B（，2）（1，2）C（，1）（1，0）（2，+）D（，1）（1，1）（3，+）8若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程xy+1=0，则（）Aa=1，b=1Ba=1，b=1Ca=1，b=1Da=1，b=19若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A4B
3、CD410定积分的值为（）A9B3CD11某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：）为，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A8BC1D812若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x1）f（x）0，则必有（）Af（0）+f（2）2f（1）Bf（0）+f（2）2f（1）Cf（0）+f（2）2f（1）Df（0）+f（2）2f（1）二、填空题（本题共4小题，每道小题5分，共20分）13的共轭复数为14已知函数f（x）=x3+2x2ax+1在区间（1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是15曲线y=lnx上的点到直线2xy+3=0的最短距离是16观察下
4、列式子：，则可以猜想：三、解答题（本题共6小题，共70分）17已知复数z=1i（i是虚数单位）（1）计算z2； （2）若z2+a，求实数a，b的值18已知函数f（x）=x3ax+a（）若函数f（x）恰好有两个不同的零点，求a的值（）若函数f（x）的图象与直线y=x1相切，求a的值及相应的切点坐标19设f（x）=exaxa（）若a=1，求f（x）的单调区间；（）若f（x）0对一切x1恒成立，求a的取值范围20已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN），（1）试计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）证明你的猜想，并求出an的表达式21求由抛物线y=x2+4x3
5、与它在点A（0，3）和点B（3，0）的切线所围成的区域面积22已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1时都取得极值；（1）求a，b的值及f（x）的极大值与极小值；（2）若方程x3+ax2+bx+c=1有三个互异的实根，求c的取值范围；（3）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围2015-2016学年吉林省辽源市田家炳高中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分）1在复平面内，复数i（2i）对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】首先进行复数的乘法运算，得到
6、复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限【解答】解：复数z=i（2i）=i2+2i=1+2i复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A2用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20”，你认为这个推理（）A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D是正确的【考点】演绎推理的基本方法【分析】要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论【解答】解：任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a20，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0故选A3f（x）=x33x
7、2+2在区间1，1上的最大值是（）A2B0C2D4【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】由题意先对函数y进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大值，从而求解【解答】解：f（x）=3x26x=3x（x2），令f（x）=0可得x=0或2（2舍去），当1x0时，f（x）0，当0x1时，f（x）0，当x=0时，f（x）取得最大值为f（0）=2故选C4用反证法证明命题：“若a、b、c是三连续的整数，那么a、b、c中至少有一个是偶数”时，下列假设正确的是（）A假设a、b、c中至多有一个偶数B假设a、b、c中至
8、多有两个偶数C假设a、b、c都是偶数D假设a、b、c都不是偶数【考点】反证法与放缩法【分析】根据用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得答案【解答】解：用反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，而命题：“整数a，b，c中至少有一个偶数”的否定为：“a，b，c都不是偶数”，故选D5已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足关系式f（x）=x2+3xf（2），则f（2）的值等于（）A2B1C4D2【考点】导数的运算【分析】将f（2）看出常数利用导数的运算法则求出f（x），令x=2求出f（2）代入f（2），【解答】解：f（x）=x2+3xf（2）
9、，f（x）=2x+3f（2）令x=2得f（2）=22+3f（2）f（2）=2故选：A6若ab0，则下列不等式中总成立的是（）Aa+b+BCa+b+D【考点】基本不等式【分析】由题意得到，将它与ab同向相加可得答案【解答】解：ab0，又ab，a+b+；故选A7已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x22x3）f（x）0的解集为（）A（，2）（1，+）B（，2）（1，2）C（，1）（1，0）（2，+）D（，1）（1，1）（3，+）【考点】函数的单调性与导数的关系【分析】根据题意结合图象求出f（x）0的解集与f（x）0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案【解答】解
10、：由图象可得：当f（x）0时，函数f（x）是增函数，所以f（x）0的解集为（，1），（1，+），当f（x）0时，函数f（x）是减函数，所以f（x）0的解集为（1，1）所以不等式f（x）0即与不等式（x1）（x+1）0的解集相等由题意可得：不等式（x22x3）f（x）0等价于不等式（x3）（x+1）（x+1）（x1）0，所以原不等式的解集为（，1）（1，1）（3，+），故选D8若曲线y=x2+ax+b在点（0，b）处的切线方程xy+1=0，则（）Aa=1，b=1Ba=1，b=1Ca=1，b=1Da=1，b=1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】求出函数的导数，运用导数的几何意义：函数在
11、某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，可得切线的斜率，由切线方程可得a=1，b=1【解答】解：y=x2+ax+b的导数为y=2x+a，可得在点（0，b）处的切线斜率为a，由点（0，b）处的切线方程为xy+1=0，可得a=1，b=1，故选：A9若复数z满足（34i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A4BCD4【考点】复数的代数表示法及其几何意义【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式、虚部的定义即可得出【解答】解：|4+3i|=5（34i）z=|4+3i|，化为=，则z的虚部为故选：10定积分的值为（）A9B3CD【考点】定积分【分析】本题利用定积分的几何意义计算定积分，即求被积函数y=与
12、直线x=0，x=3所围成的图形的面积即可【解答】解：由定积分的几何意义知是由曲线，直线x=0，x=3围成的封闭图形的面积，故=，故选C11某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：）为，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是（）A8BC1D8【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；变化的快慢与变化率【分析】导函数即为原油温度的瞬时变化率，利用配方法可求最小值【解答】解：由题意，f（x）=x22x=（x1）210x5x=1时，f（x）的最小值为1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是1故选C12若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x1）f（x）0，则必有（）Af（
13、0）+f（2）2f（1）Bf（0）+f（2）2f（1）Cf（0）+f（2）2f（1）Df（0）+f（2）2f（1）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】对x分段讨论，解不等式求出f（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项【解答】解：（x1）f（x）0x1时，f（x）0；x1时，f（x）0f（x）在（1，+）为增函数；在（，1）上为减函数f（2）f（1） f（0）f（1）f（0）+f（2）2f（1）故选D二、填空题（本题共4小题，每道小题5分，共20分）13的共轭复数为i【考点】复数的基本概念【分析】根据
14、复数的除法法则，化简得=+i，再由共轭复数的定义即可得到答案【解答】解： =+i，的共轭复数为i故答案为：i14已知函数f（x）=x3+2x2ax+1在区间（1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是1a7【考点】函数在某点取得极值的条件【分析】首先利用函数的导数与极值的关系求出a的值，由于函数f（x）=x3+2x2ax+1在区间（1，1）上恰有一个极值点，所以f（1）f（1）0，进而验证a=1与a=7时是否符合题意，即可求答案【解答】解：由题意，f（x）=3x2+4xa，当f（1）f（1）0时，函数f（x）=x3+2x2ax+1在区间（1，1）上恰有一个极值点，解得1a7，当a=1时，f
15、（x）=3x2+4x+1=0，在（1，1）上恰有一根x=，当a=7时，f（x）=3x2+4x7=0在（1，1）上无实根，则a的取值范围是1a7，故答案为1a715曲线y=lnx上的点到直线2xy+3=0的最短距离是【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】直线2xy+3=0在曲线y=lnx上方，把直线平行下移到与曲线相切，切点到直线2xy+3=0的距离即为所求的最短距离由直线2xy+3=0的斜率，令曲线方程的导函数等于已知直线的斜率即可求出切点的横坐标，把求出的横坐标代入曲线方程即可求出切点的纵坐标，然后利用点到直线的距离公式求出切点到已知直线的距离即可【解答】解：因为直线2xy+3=0的
16、斜率为2，所以令y=2，解得：x=，把x=代入曲线方程得：y=ln2，即曲线上过（，ln2）的切线斜率为2，则（，ln2）到直线2xy+3=0的距离d=，即曲线y=lnx上的点到直线2xy+3=0的最短距离是故答案为：16观察下列式子：，则可以猜想：【考点】归纳推理【分析】由已知中，观察分析不等式两边数的变化趋势，归纳其中规律后，推断出，将n=2011代入得到答案【解答】解：由已知中的式子：=，=，=，我们可以推断故=故答案为：三、解答题（本题共6小题，共70分）17已知复数z=1i（i是虚数单位）（1）计算z2； （2）若z2+a，求实数a，b的值【考点】复数代数形式的混合运算；复数的代数表
17、示法及其几何意义【分析】（1）直接利用复数的乘法公式可求；（2）将等式的左边化简，再利用复数相等的充要条件可求【解答】解：（1）z2=（1i）2=12i+i2=12i1=2i（2）所以由复数相等的充要条件得： 所以18已知函数f（x）=x3ax+a（）若函数f（x）恰好有两个不同的零点，求a的值（）若函数f（x）的图象与直线y=x1相切，求a的值及相应的切点坐标【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（）若函数f（x）恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为0，建立方程即可得到结论（）根据导数的几何意义，求出切线方程，建立方程组，即可求a的值及相应的切点坐标【解答】解：（）函数的导数f（
18、x）=x2a，若a0，函数f（x）=x2a0，此时f（x）单调递增，不满足条件，若a0，由f（x）=x2a=0的x=，则x=，是函数f（x）的两个极值点，若若函数f（x）恰好有两个不同的零点，则f（）=0，f（0）=a0，只能有f（）=0，即（）3a+a=0，即+1=0，即=1， =，即a=（）设切点P（m，n），则f（m）=m2a，则切线方程为y（m3am+a）=（m2a）（xm），即y=（m2a）x+am3，切线方程为y=x1，m2a=1，am3=1，即m3=0，即m=0，此时n=m1=1，a=1，即若函数f（x）的图象与直线y=x1相切，则a=1，相应的切点坐标P（0，1）19设f（x）
19、=exaxa（）若a=1，求f（x）的单调区间；（）若f（x）0对一切x1恒成立，求a的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）将a=1代入f（x）=exaxa得：f（x）=exx1求f（x）的导数，由f（x）0；f（x）0便可得f（x）的单调区间；（）由f（x）0，得a，（x1），令h（x）=，则h（x）=，得h（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，进而h（x）h（0）=1，（x1），从而求出a的范围【解答】解：（）a=1时，f（x）=exx1，f（x）=ex1，令f（x）0，解得：x0，令f（x）0，解得：x0，f（x）在（，0）递减，在（0，
20、+）递增；（）由f（x）0，得a，（x1），令h（x）=，则h（x）=，令h（x）0，解得：x0，令h（x）0，解得：1x0，h（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，h（x）h（0）=1，（x1），a1，又x=1时，（x+1）aex即为0ae1，此时a取任意值都成立，综上得：a120已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，Sn=n2an（nN），（1）试计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；（2）证明你的猜想，并求出an的表达式【考点】数列递推式【分析】（1）先根据数列的前n项的和求得S1，S2，S3，S4，可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn（2）利用an=SnSn1
21、，整理出an的递推式，进而用叠乘法求得an【解答】解：（1）由a1=1，Sn=n2an（nN）得猜想（2）证明：Sn=n2anSn1=（n1）2an1得SnSn1=n2an（n1）2an1an=n2an（n1）2an1化简得把上面各式相乘得21求由抛物线y=x2+4x3与它在点A（0，3）和点B（3，0）的切线所围成的区域面积【考点】定积分在求面积中的应用【分析】求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积【解答】解：y=x2+4x3，y=2x+4，x=0时，y=4，x=3时，y=2，在点A（0，3）和点B（3，0）的切线方程分别为y=4x3和y=2x+6，两条切线的交点是（1.5
22、，3），如图所示，区域被直线x=1.5分成了两部分，所求面积为S=+=+=2.2522已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在与x=1时都取得极值；（1）求a，b的值及f（x）的极大值与极小值；（2）若方程x3+ax2+bx+c=1有三个互异的实根，求c的取值范围；（3）若对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围【考点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）因为函数在极值点处导数等于0，所以若f（x）在与x=1时都取得极值，则f（1）=0，f（）=0，就可得到a，b的值，再利用导数的正负确定函数的单调性，即可求f（x）的
23、极大值与极小值；（2）若方程x3+ax2+bx+c=1有三个互异的实根，故曲线与y=1有三个不同交点，则极大值大于1，极小值小于1，从而可求c的取值范围；（3）对x1，2，不等式f（x）c2恒成立，只须 c+2c2，从而可求c的取值范围【解答】解：（1）f（x）=3x2+2ax+b由已知有，解得f（x）=3x2x2，由f（x）0得 x1或，由f（x）0得列表如下x1（1，+）f（x）+00+f（x）递增递减递增所以，当时，f（x）有极大值，当x=1时，f（x）有极小值（2）由于方程x3+ax2+bx+c=1有三个互异的实根，故曲线与y=1有三个不同交点由（1）可知此时有，解得；（3）由（1）知，f（x）在x1，2上递增，此时f（x）max=f（2）=c+2要满足题意，只须c+2c2解得c2或c12016年6月6日
