1、四弦切角的性质A组1.如图所示,MN与O相切于点M,Q和P是O上两点,PQM=70,则NMP等于()A.20B.70C.110D.160解析NMP是弦切角,NMP=PQM=70.答案B2.(2016广西南宁高二检测)如图所示,AC切O于点A,BAC=25,则B的度数为()A.25B.50C.40D.65解析BAC=12AOB,AOB=225=50,B=12(180-50)=65.答案D3.(2016安徽滁州高二检测)如图所示,已知AB和AC分别是O的弦和切线,点A为切点,AD为BAC的平分线,且交O于点D,BD的延长线与AC交于点C,AC=6,AD=5,则CD的长度等于()A.3B.4C.5D
2、.6解析依题意有CAD=ABC.又因为AD为BAC的平分线,所以CAD=DAB,从而CBA=DAB,所以DB=AD=5,且ACDBCA,于是CDCA=ACBC,即CD6=6CD+5,解得CD=4(负值舍去).答案B4.如图所示,四边形ABCD是圆的内接四边形,AB是直径,MN是O的切线,切点为C,若BCM=38,则B=()A.32B.42C.52D.48解析如图所示,连接AC.BCM=38,MN是O的切线,BAC=38.AB为O的直径,BCA=90.B=90-38=52.答案C5.如图,AB是O的直径,EF切O于点C,ADEF于点D,AD=2,AB=6,则AC的长为()A.2B.3C.23D.
3、4解析连接BC,如图所示.EF是O的切线,ACD=ABC.又AB是O的直径,ACB=90.又ADEF,ACB=ADC.ADCACB.ABAC=ACAD.AC2=ADAB=26=12,AC=23.答案C6.(2016河南禹州高二月考)如图,若AB切O于A,AC,AD为O的弦,且AC=AD,则C与CAB的关系是.解析因为AC=AD,所以ADC=ACD.又由弦切角定理可得BAC=ADC,故C=CAB.答案C=CAB7.已知AB是O的弦,PA是O的切线,A是切点,如果PAB=30,那么AOB=.解析弦切角PAB=30,它所夹的弧所对的圆周角等于30,所对的圆心角等于60.答案608.(2016河北唐山
4、高二检测)已知PA是圆O的切线,切点为A,PO交圆O于B,C两点,AC=3,PAB=30,则线段PB的长为.解析连接OA,PA为O的切线,OAP=90,C=PAB=30,OBA=OAB=60,P=PAB=30,PB=AB.又AC=3,BC为O的直径,CAB=90,AB=1,PB=1.答案19.如图所示,O1与O2交于A,B两点,过O1上一点P作直线PA,PB分别交O2于点C和点D,EF切O1于点P,求证:EFCD.证明连接AB,EF是O1的切线,由弦切角定理知,FPA=PBA.又在O2中,四边形ABDC为圆内接四边形,C=ABP,FPA=C,EFCD.10.(2016江西赣州高二检测)如图,在
5、ABC中,B=90,O是AB上一点,以O为圆心,OB为半径的圆与AB交于点E,与AC切于点D,直线ED交BC的延长线于F,若ADAE=21,求tanF的值.解如图所示,连接BD.AC为O的切线,ADE=ABD.A=A,ADEABD,ADAE=BDDE,即BDDE=21,DEBD=12.BE为O的直径,BDE=90,tanABD=DEBD=12.F+BEF=90,ABD+BEF=90,ABD=F,tanF=tanABD=12.B组1.如图,在圆的内接四边形ABCD中,AC平分BAD,EF切O于C点,则图中与DCF相等的角的个数是()A.4B.5C.6D.7解析DCF=DAC,DCF=BAC,DC
6、F=BCE,DCF=BDC,DCF=DBC.答案B2.如图所示,O和O相交于A,B两点,过点A作两圆的切线,分别交两圆于C,D两点,若BC=2,BD=4,则AB的长为()A.22B.23C.4D.6解析AC,AD分别是两圆的切线,C=BAD,D=BAC.ACBDAB.BCBA=ABDB.AB2=BCDB=24=8.AB=22(负值舍去).答案A3.已知AB切O于A点,圆周被AC所分成的优弧与劣弧之比为31,则夹劣弧的弦切角BAC=.解析优弧与劣弧之比为31,劣弧所对的圆心角为90,所对的圆周角为45,故由弦切角定理可知,弦切角BAC=45.答案454.导学号19110038如图,AB是圆O的直
7、径,点C在圆O上.延长BC到D使BC=CD,过C作圆O的切线交AD于E.若AB=6,ED=2,则BC=.解析连接OC.AB为圆O的直径,ACBC.又BC=CD,AB=AD=6,BAC=CAD.又CE为圆O的切线,则OCCE.ACE为弦切角,ACE=B.ACE+CAD=90.CEAD.又ACCD,CD2=EDAD=26=12,即CD=23.BC=23.答案235.(2016湖南岳阳高二检测)如图所示,ABC内接于O,AB=AC,直线XY切O于点C,BDXY,AC,BD相交于E.(1)求证:ABEACD;(2)若AB=6 cm,BC=4 cm,求AE的长.(1)证明因为XY是O的切线,所以1=2.
8、因为BDXY,所以1=3,故2=3.因为3=4,所以2=4.因为ABD=ACD,又因为AB=AC,所以ABEACD.(2)解易知3=2,ABC=ACB,所以BCEABC,BCAB=CECB,即ACCE=BC2.因为AB=AC=6 cm,BC=4 cm,所以6(6-AE)=16,故AE=103 cm.6.导学号19110039(2016吉林长春高二检测)如图,AB为O的直径,直线CD与O相切于E,ADCD于D,BCCD于C,EFAB于F,连接AE,BE.证明:(1)FEB=CEB;(2)EF2=ADBC.证明(1)由直线CD与O相切,得CEB=EAB.由AB为O的直径,得AEEB,从而EAB+EBF=2.又EFAB,得FEB+EBF=2.从而FEB=EAB,故FEB=CEB.(2)由BCCE,EFAB,FEB=CEB,BE是公共边,则RtBCERtBFE,所以BC=BF.同理可证RtADERtAFE,得AD=AF.又在RtAEB中,EFAB,故EF2=AFBF,所以EF2=ADBC.
