1、吉林省白城市第一中学2021届高三数学下学期3月质量检测试题 理（含解析）一、选择题（共12小题）.1若复数z（12i）2，则|1z|（）A20B2C32D42已知集合Ax|x6，Bx|（x+3）（5x）0，则AB（）Ax|3x6Bx|5x6Cx|3x5Dx|x3或5x63等差数列3n2与等差数列52n的公差之和为（）A1B2C3D84某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如表：成绩80，90）90，100（100，110（110，120（120，130（130，140（140，150频数304015121052则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（）A在9
2、0，100内B在（100，110内C在（110，120内D在（120，130内5已知双曲线C：4x2y2+640的两个焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若P为C上异于顶点的任意一点，则POF1与POF2的周长之差为（）A8B16C8或8D16或166已知函数f（x）sin（x+）图象的两个对称中心为（，0），（，0），则f（x）的解析式可以为（）Af（x）sin（4x）Bf（x）sin（x）Cf（x）cos（6x）Df（x）sin（3x+）7已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命题为真命题的是（）A若，a，b，则abB若，则b，a，abC若a，b，则abD若a，a，b，则
3、a与b异面8我国古代数学名著九章算术里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四主责本粟问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x（）A123B133C143D1539若log212xlog3，则x的取值范围是（）A（，log32）B（log32，+）C（log23，+）D（，log23）10正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，+，则（）AB2CD11已知函数f（x）cos（2x+1）+4ax2+4ax只有一个零点
4、，则a（）A2B4C2D112在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，以A为球心的球A与线段A1C1交于点E，设BE与底面ABCD所成角为，且球A的表面积为24，则cos2（）ABCD二、填空题（共4小题）.138名志愿者到2个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排4名志愿者，则不同的安排方法共有 种14函数f（x）x（2x+1）3的图象在点（1，f（1）处的切线的斜率为 15已知等比数列an的前3项和为3，且a34，则an的前n项和Sn 16已知抛物线C：y28x，直线l过点P（m，0）（m0）且交C于A，B两点过点A和C的顶点O的直线交C的准线于点D，若BD与C的对称轴平行，则m 三
5、.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sinA+sinB，b2a（1）求cosA（2）若D是AB边上一点，且ACD的面积为b2，证明：ADCD18已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y24（1）求C的方程（2）直线l与y轴平行，且与C交于P，Q两点，A，B分别为C的左、右顶点，直线AP与BQ交于点G，证明：点P与点G的横坐标的乘积为定值19如图，在底面为
6、矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别为侧棱PD，PB的中点，且PAAD2AB4（1）证明：平面AEF平面PCD（2）若PC是平面的一个法向量，求与平面AEF所成锐二面角的余弦值20现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为p（0p1）若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为f（p），当pp0时，f（p）取得最大值（1）求p0；（2）设pp0，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为X万元，求X的分布列及其数学
7、期望21已知函数f（x）aexlnx（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x（0，1），f（x）x2+xlna，求a的取值范围（二）选考题：共10分。请考生从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为2（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C交于M，N两点，P（1，0），求+的值选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|+|x+1|（1）求f（x）的值域；（2）若f（x）的最小值为m，且a
8、2+b2m，求+的最小值参考答案一、选择题（共12小题）.1若复数z（12i）2，则|1z|（）A20B2C32D4解：由题设知：z（12i）2144i34i，1z4+4i，|1z|4，故选：D2已知集合Ax|x6，Bx|（x+3）（5x）0，则AB（）Ax|3x6Bx|5x6Cx|3x5Dx|x3或5x6解：Ax|x6，Bx|x3或x5，ABx|x3或5x6故选：D3等差数列3n2与等差数列52n的公差之和为（）A1B2C3D8解：等差数列3n2的公差为3，等差数列52n的公差为2，等差数列3n2与等差数列52n的公差之和为321故选：A4某校高一年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考
9、生的成绩统计表如表：成绩80，90）90，100（100，110（110，120（120，130（130，140（140，150频数304015121052则及格（不低于90分）的所有考生成绩的中位数（）A在90，100内B在（100，110内C在（110，120内D在（120，130内解：由表中数据知，及格的考生共有40+15+12+10+5+284（人），在90，100内有40人，在（100，110内有15人，所以及格的所有考生成绩的中位数在（100，110内故选：B5已知双曲线C：4x2y2+640的两个焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，若P为C上异于顶点的任意一点，则POF1与POF
10、2的周长之差为（）A8B16C8或8D16或16解：双曲线C：4x2y2+640的方程为：1，所以a8P为C上异于顶点的任意一点，则POF1与POF2的周长之差为2a16或16，故选：D6已知函数f（x）sin（x+）图象的两个对称中心为（，0），（，0），则f（x）的解析式可以为（）Af（x）sin（4x）Bf（x）sin（x）Cf（x）cos（6x）Df（x）sin（3x+）解：设f（x）sin（x+）的最小正周期为T，则，kZ，由T，则|3k，kZ，排除A，B，而f（x）sin（3x+）图象不关于点（，0）对称，排除D，故选：C7已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，则下列命
11、题为真命题的是（）A若，a，b，则abB若，则b，a，abC若a，b，则abD若a，a，b，则a与b异面解：对于A，当a，b都平行于和的交线时，ab，所以A是假命题；对于B，b，a，ab，例如正方体ABCDA1B1C1D1，平面ABCD为，A1B1C1D1为，令aAB，bB1C1，满足ABB1C1，所以B是真命题；对于C，a，可知；b，则ab，也可能是异面直线，所以C是假命题；对于D，若a，a，b，则a与b异面，也可能平行，所以D是假命题故选：B8我国古代数学名著九章算术里有一道关于鸡啄粟的问题：“今有三鸡共啄粟一千一粒，雏啄一，母啄二，翁啄四主责本粟问三鸡啄各偿各几何？”如图所示的程序框图反
12、映了对此问题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x（）A123B133C143D153解：因为y2x，z2y，所以sx+2x+4x7x，由算法的功能可知，输出的x143故选：C9若log212xlog3，则x的取值范围是（）A（，log32）B（log32，+）C（log23，+）D（，log23）解：log212xlog3，x，即 x，即 x，即xlog23，求得xlog23，故选：C10正八边形在生活中是很常见的对称图形，如图1中的正八边形的U盘，图2中的正八边形窗花在图3的正八边形A1A2A3A4A5A6A7A8中，+，则（）AB2CD解：如图：连接A6A3，A1A4，A2A7，A6
13、A3与A1A4相交于B，在A1A4上取一点C，使得，则，设|m，则|m+m+m（2+）m，由图可知，+22，故选：D11已知函数f（x）cos（2x+1）+4ax2+4ax只有一个零点，则a（）A2B4C2D1解：f（x）cos（2x+1）+4ax2+4axcos（2x+1）+a（2x+1）2a，令t2x+1，则g（t）cost+at2a，g（t）g（t），所以g（t）为偶函数，关于t0对称，所以f（x）关于x对称，所以如果f（x）只有一个零点，那么零点一定是x，证明如下：设x0为f（x）的零点，即f（x0）0，由于f（1x0）cos（2x01）+a（2x01）2acos（2x0+1）+a（2
14、x0+1）2af（x0）0，即1x0也是f（x）的一个零点，故只能是x01x0，即x0，即f（）1a0，即a1，下面证a1时，f（x）确实只有一个零点，当a1时，f（x）cos（2x+1）+a（2x+1）2a，f（x）2sin（2x+1）+4（2x+1），f（x）4cos（2x+1）+88440，所以f（x）在R上单调递增，当x时，f（x）f（）0，f（x）单调递减，故f（x）f（）0，当x时，f（x）f（）0，f（x）单调递增，故f（x）f（）0，所以当x时，f（x）f（）0，即当a1时，f（x）确实只有一个零点x，故选：D12在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，以A为球心的球A与
15、线段A1C1交于点E，设BE与底面ABCD所成角为，且球A的表面积为24，则cos2（）ABCD解：设球的半径为r，因为球A的表面积为24，所以4r224，解得，因为AA1平面A1B1C1D1，又A1E平面A1B1C1D1，所以AA1A1E，因为AE，则，所以E为A1C1的中点，故DBE，且，所以cos22cos21故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.138名志愿者到2个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排4名志愿者，则不同的安排方法共有70种解：由题意可得不同的安排方法共有C70，故答案为：7014函数f（x）x（2x+1）3的图象在点（1
16、，f（1）处的切线的斜率为81解：函数f（x）x（2x+1）3，所以f（x）（2x+1）3+3x（2x+1）22，故f（1）27+5481故答案为：8115已知等比数列an的前3项和为3，且a34，则an的前n项和Sn解：根据题意，设等比数列an的公比为q，若S33且a34，则+a33，即q2+4q+40，解可得q2，则a11，则Sn，故答案为：16已知抛物线C：y28x，直线l过点P（m，0）（m0）且交C于A，B两点过点A和C的顶点O的直线交C的准线于点D，若BD与C的对称轴平行，则m2解：由抛物线C：y28x，得其准线方程为x2，设A（，y0）（y00），则直线OA的方程为，联立，得，又
17、直线AP的方程为：，联立，得，BD与C的对称轴平行，yByD，即，解得m2故答案为：2三.解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sinA+sinB，b2a（1）求cosA（2）若D是AB边上一点，且ACD的面积为b2，证明：ADCD解：（1）因为b2a，所以sinB2sinA，又sinA+sinB，所以sinA，因为b2a，所以ab，AB，A（0，），所以cosA（2）证明：因为SACDbA
18、DsinAbADb2，所以AD，由余弦定理可得CD2AC2+AD22ACADcosAb2+（）22b（）2，所以CD，可得ADCD，得证18已知椭圆C：+1（ab0）的离心率为，以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y24（1）求C的方程（2）直线l与y轴平行，且与C交于P，Q两点，A，B分别为C的左、右顶点，直线AP与BQ交于点G，证明：点P与点G的横坐标的乘积为定值解：（1）因为以C的长轴为直径的圆的方程为x2+y24，所以a24，因为e，所以c21，b2a2c23，所以椭圆C的方程为+1（2）证明：设直线l的方程为xm（m0），P（m，n），Q（m，n），2m2，且m0，直线AP的方程为y（
19、x+2），直线BQ的方程为y（x2），所以，两式相除得1，解得x，即xG，所以xPxGm4为定值19如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别为侧棱PD，PB的中点，且PAAD2AB4（1）证明：平面AEF平面PCD（2）若PC是平面的一个法向量，求与平面AEF所成锐二面角的余弦值解：（1）证明：PA底面ABCD，PACD，在矩形ABCD中，CDAD，ADPAA，CD平面PAD，则CDAE，PAAD，E为PD的中点，AEPD，又CDPDD，AE平面PCD，AE平面AEF，平面AEF平面PCD；（2）以A为坐标原点，分别以AP，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直
20、角坐标系A（0，0，0），P（4，0，0），E（2，0，2），F（2，1，0），C（0，2，4），设平面AEF的一个法向量为，在，取x1，得，cos故与平面AEF所成锐二面角的余弦值为20现有甲、乙两个足球队打比赛，甲队每场赢乙队的概率为p（0p1）若甲、乙两个足球队共打四场球赛，甲队恰好赢两场的概率为f（p），当pp0时，f（p）取得最大值（1）求p0；（2）设pp0，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，每场比赛，胜方将获得奖励5万元，平局双方都将获得奖励1万元，败方将无奖励经过两场比赛后，设甲队获得奖励总额与乙队获得奖励总额之差为X万元，求X的分布列及其数学期望解：（
21、1）f（p），因为当0p1，所以当时，f（p）取得最大值，则；（2）因为p，每场球赛甲队输给乙队的概率是甲队与乙队打平局的概率的两倍，所以每场球赛甲队输的概率为，两队平局的概率为，当甲连赢两场时，X10，且P（X10），当甲赢一场平一场时，X5，且P（X5），当甲赢一场输一场或两队连平两场时，X0，且P（X0），当甲输一场平一场时，X5，且P（X5），当甲连输两场时，X10，且P（X10），所以X的分布列为：X1050510P 故X的数学期望为E（X）10+5+051021已知函数f（x）aexlnx（a0）（1）讨论f（x）的单调性；（2）若x（0，1），f（x）x2+xlna，求a的取值范
22、围解：（1）f（x）的定义域为设函数，则当0x1时，g（x）0；当x1时，g（x）0，故g（x）g（1）1，从而当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增；当a0时，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递减（2）由题意可知a0由x2+xlnaaexlnx，得，即，即对x（0，1）恒成立令，则，当x（0，1）时，h（x）0，h（x）单调递增，当x（1，+）时，h（x）0，当x（0，1）时，h（x）h（1）0由，得h（x）h（aex），所以xaex，所以对x（0，1）恒成立设，则，所以m（x）在（0，1）上单调递增，所以，即a的取值范围为（二）选考题：共10分。请考生从第22，23两题
23、中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系曲线C的极坐标方程为2（1）求l的普通方程和C的直角坐标方程；（2）若l与C交于M，N两点，P（1，0），求+的值解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为普通方程为x+y10曲线C的极坐标方程为2，根据，转换为直角坐标方程为（2）直线方程x+y10，转换为参数方程为（t为参数），代入，得到，所以，故选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|2x1|+|x+1|（1）求f（x）的值域；（2）若f（x）的最小值为m，且a2+b2m，求+的最小值解：（1）函数f（x）|2x1|+|x+1|，当x1时，f（x）3x3，当时，当时，f（x）3x，综上所述，f（x）的值域为；（2）由（1）可知，故，所以，则+，当且仅当，即时取等号，所以+的最小值为2
