1、北京部分区2016届高三上学期期中期末考试数学理试题分类汇编导数及其应用一、选择题1、（东城区2016届高三上学期期中）曲线处的切线方程是A、x1B、yC、xy1D、xy12、（东城区2016届高三上学期期中）已知定义在R上的函数的图象如图，则的解集为参考答案1、B2、A二、填空题1、（东城区2016届高三上学期期中）若过曲线上的点P的切线的斜率为2，则点P的坐标是参考答案1、（e，e）三、解答题1、（昌平区2016届高三上学期期末）已知函数. （）若函数在点处的切线方程为，求切点的坐标；（）求证：当时，；（其中）（）确定非负实数的取值范围，使得成立.2、（朝阳区2016届高三上学期期末） 已
2、知函数,其中（）若在区间上为增函数，求的取值范 围；（）当时，（）证明：；（）试判断方程是否有实数解，并说明理由3、（朝阳区2016届高三上学期期中）已知函数 （）当时，求函数的单调区间; （）当时，证明.4、（大兴区2016届高三上学期期末）已知函数.（）当时，求函数在点处的切线方程；（）求函数的单调区间；（）若在上恒成立，求的取值范围.5、（东城区2016届高三上学期期末）已知函数 （）当时，试求在处的切线方程；（）当时，试求的单调区间；（）若在内有极值，试求的取值范围6、（东城区2016届高三上学期期中）已知函数f（x）。（I）若曲线f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y1，求a，b
3、的值；（II）求f（x）的单调区间及极值。7、（丰台区2016届高三上学期期末）已知函数. （）求函数的极值； （）若存在实数，且，使得，求实数a的取值范围.8、（海淀区2016届高三上学期期末）已知函数. （）当时，求函数的单调区间和极值；（）求证：当时，关于的不等式在区间上无解.（其中）9、（海淀区2016届高三上学期期中）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l （）若直线l的斜率为3，求函数的单调区间；（）若函数是区间2，a上的单调函数，求a的取值范围10、（石景山区2016届高三上学期期末）已知函数 (,为自然对数的底数). （）若曲线在点处的切线平行于轴,求的值；（）求函数的极值；
4、（）当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值11、（西城区2016届高三上学期期末）已知函数，函数，其中 （）如果函数与在处的切线均为，求切线的方程及的值；（）如果曲线与有且仅有一个公共点，求的取值范围参考答案1、（）解：定义域为，.由题意，所以，即切点的坐标为. 3分（）证明：当时，可转化为当时，恒成立.设，所以原问题转化为当时，恒成立.所以.令，则（舍），.所以，变化如下：0+0-极大值因为，所以.当时，成立. .8分（）解：，可转化为当时，恒成立.设，所以.当时，对于任意的，所以在上为增函数，所以，所以命题成立.当时，令，则，当，即时，对于任意的，所以在上为增函数，所以，所以命题成立.
5、当，即时，则（舍），.所以，变化如下：0-0+极小值因为，所以，当时，命题不成立.综上，非负实数的取值范围为. .13分2、 解：函数定义域， （）因为在区间上为增函数，所以在上恒成立， 即，在上恒成立，则 4分（）当时，,（）令，得令,得，所以函数在单调递增令,得，所以函数在单调递减所以， 所以成立 9分（）由（）知， ， 所以 设所以 令，得 令,得，所以函数在单调递增， 令,得，所以函数在单调递减；所以， 即 所以 ，即所以，方程没有实数解 14分3、4、（1）当 时， 2分 3分所以，函数在点处的切线方程为即： 4分()函数的定义域为： 1分 2分当时，恒成立，所以，在和上单调递增当时
6、，令，即：，,所以，单调递增区间为，单调减区间为. 4分（）因为在上恒成立，有在上恒成立。所以，令，则.令则 2分若，即时，函数在上单调递增，又所以，在上恒成立； 3分若，即时，当时，单调递增；当时，单调递减所以，在上的最小值为，因为所以不合题意. 4分即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为又因为，所以恒成立综上知，的取值范围是. 5分5、解：（）当时，方程为 4分（） ， 当时，对于，恒成立，所以 ； 0.所以 单调增区间为，单调减区间为 8分（）若在内有极值，则在内有解令 .设 ,所以 ,当时，恒成立，所以单调递减.又因为，又当时，,即在上的值域为,所以 当时， 有解.
7、设，则 ，所以在单调递减.因为，,所以在有唯一解.所以有：00极小值所以 当时，在内有极值且唯一.当时，当时，恒成立，单调递增，不成立综上，的取值范围为 14分6、 7、解：（），令得，.x0+0_0+极大值极小值函数的极大值为； 极小值为. 8分 () 若存在，使得，则 由（）可知，需要（如图1）或（如图2）. （图1） （图2）于是可得. 13分8、解：（）因为,所以，.1分当时，.2分令，得，.3分所以随的变化情况如下表：极大值极小值.6分所以在处取得极大值，在处取得极小值.7分函数的单调递增区间为，, 的单调递减区间为.8分（）证明：不等式在区间上无解，等价于在区间上恒成立，即函数在区
8、间上的最大值小于等于1. 因为，令，得.9分因为时，所以.当时，对成立，函数在区间上单调递减，.10分所以函数在区间上的最大值为,所以不等式在区间上无解；.11分当时，随的变化情况如下表：极小值所以函数在区间上的最大值为或.12分此时,，所以 . 综上，当时，关于的不等式在区间上无解.13分9、解（）因为，所以曲线经过点, 又, -2分所以, -3分 所以. 当变化时，的变化情况如下表:00极大值极小值 -5分 所以函数 的单调递增区间为，, 单调递减区间为. -7分（）因为函数在区间上单调, 当函数在区间上单调递减时，对成立， 即对成立，根据二次函数的性质，只需要， 解得. 又，所以. -9
9、分当函数在区间上单调递增时，对成立，只要在上的最小值大于等于0即可， 因为函数的对称轴为， 当时，在上的最小值为， 解，得或，所以此种情形不成立. -11分 当时，在上的最小值为， 解得，所以，综上，实数的取值范围是或. -13分 10、解:()由,得. 2分又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得. 4分(), 当时,为上的增函数,所以函数无极值. 6分当时,令,得,. ,;,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故在处取得极小值,且极小值为,无极大值. 综上,当时,函数无极小值当,在处取得极小值,无极大值. 9分()当时, 令, 则直线:与曲线没有公共点, 等价于方程在上没有实数解. 1
10、0分假设,此时, 又函数的图象连续不断,由零点存在定理,可知在上至少有一解,与“方程在上没有实数解”矛盾,故. 12分又时,知方程在上没有实数解. 所以的最大值为. 13分解法二: ()()同解法一. ()当时,. 直线:与曲线没有公共点, 等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*) 在上没有实数解. 10分当时,方程(*)可化为,在上没有实数解. 11分当时,方程(*)化为. 令,则有. 令,得, 当变化时,的变化情况如下表:当时,同时当趋于时,趋于, 从而的取值范围为. 所以当时,方程(*)无实数解, 解得的取值范围是. 综上,得的最大值为. 13分11、（）解：求导，得， 2
11、分 由题意，得切线l的斜率，即，解得 3分 又切点坐标为，所以切线l的方程为 4分（）解：设函数， 5分 “曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一 个零点” 求导，得. 6分 当时， 由，得，所以在单调递增 又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意 8分 当时， 当变化时，与的变化情况如下表所示：0 所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，故有且仅有一个零点，符合题意 10分 当时， 令，解得 当变化时，与的变化情况如下表所示：0所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时， 11分 因为，且在上单调递增， 所以. 又因为存在 ，所以存在使得，所以函数存在两个零点，1，与题意不符. 综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是，或. 13分
