1、广东省珠海市2020届高三数学上学期期末考试试题 文（含解析）时间：120分钟 满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合，按交集定义，即可求解详解】,则.故选:C【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.已知i是虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求，再根据模长公式，即可求解.【详解】，所以.故选:C【点睛】本题考查复数的运算以及模长，属于基础题.3.已知命题：任意，都有；命题：，则有则下列命题为
2、真命题的是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分别判断命题真假，再由复合命题的真假性，即可得出结论.【详解】为真命题；命题是假命题，比如当,或时，则 不成立.则，均为假.故选:B【点睛】本题考查复合命题的真假性，判断简单命题的真假是解题的关键，属于基础题.4.某学校有800名新生，其中有500名男生，300名女生为了了解学生身体素质，现用分层抽样的方法从中抽取16人进行检查，则应从男生中抽取（）A. 10名学生B. 11名学生C. 12名学生D. 无法确定【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样，每层按比例分配，即可求解.【详解】男生中抽取的人数. 故选:A【点睛】本题考查分
3、层抽样抽取样本的个数，属于基础题.5.已知的内角的对边分别为，则一定为（）A. 等腰三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理，角化边，即可求解.【详解】由结合正弦定理得，,从而.故选:A【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化，判断三角形的形状，属于基础题.6.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”问此人第5天和第6天共走了（
4、）A. 24里B. 6里C. 18里D. 12里【答案】C【解析】【分析】根据题意这个人每天走的路程成公比为等比数列，该数列的前6项和为378，可求出通项，即可求出结论.【详解】设第1天走了里，每天所走的路程为， 依题意成公比为，前6项和为378，解得，.故选:C【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列前项和，通项公式基本量的运算，属于基础题.7.已知满足，,则在上的投影为（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据向量投影的定义，即可求解.【详解】在上的投影为.故选:A【点睛】本题考查向量的投影，属于基础题.8.双曲线：的两条渐近线与圆相切，则的离心率为（）A. B. C.
5、 D. 【答案】A【解析】【分析】圆圆心为，可求出过原点的切线的斜率，即两条渐近线的斜率，结合渐近线的斜率与离心率的关系，即可求解.【详解】圆圆心为，半径为1，过原点的切线段长为，过原点的切线的斜率为，.故选:A【点睛】本题考查圆与直线关系，考查圆锥曲线的简单几何性质，属于基础题.9.函数在区间附近的图象大致形状是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】通过求特殊点的坐标，结合函数值的正负判断，即可得出结论.【详解】过点，可排除选项A，D.又，排除C.故选:B【点睛】本题考查函数图像的识别，属于基础题.10.已知，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】与第三个数
6、比大小，即可得出结论.【详解】，由幂函数为上的增函数,可得又由指数函数为上的减函数，可知，所以.故选:B【点睛】本题考查比较数的大小关系，考查函数的单调性运用，属于中档题.11.港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（）A. 采用第一种方案划算B. 采用第二种方案划算C. 两种方案一样D. 无法确定【答案】B【解析】【分析】分别求出两种方案平均油价，结合基本不等式，即可得出结论.【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油
7、价为元/升第一种方案的均价：；第二种方案的均价：. 所以无论油价如何变化，第二种都更划算故选:B【点睛】本题考查不等式的实际运用，以及基本不等式比较大小，属于中档题.12.已知函数，若，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设为与直线的两交点的横坐标，根据函数图像可得，设，将用表示，转化为关于的函数，通过求导，求函数的最值，即可求解.【详解】不妨设，设，由题意可知，函数的图象与直线有两个交点，其中，由，即，解得，由，即，解得，记，其中，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增.所以函数的最小值为；而，即.故选:C【点睛】本题考查利用导数求函数的值域，构造函数是解题的
8、关键，属于较难题.二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线：在点处的切线方程为_【答案】【解析】分析：根据切线方程的求解步骤即可，先求导，求出切线斜率，再根据直线方程写法求出即可.详解：由题可得：=1，切线方程为：y-1=3（x-1）即，故答案为：点睛：考查导数的几何意义切线方程的求法，属于基础题.14.若，则_【答案】【解析】【分析】根据诱导公式，将所求角转化为已知角，即可求解.【详解】.故答案为:【点睛】本题考查诱导公式求值，属于基础题.15.函数在区间的最小值为_【答案】【解析】【分析】应用整体思想，结合正弦函数的值域，即可求解.【详解】解：，则，可知的最小值为.
9、故答案为:【点睛】本题考查三角函数的最值，属于基础题.16.在半径为的球内有一个内三棱锥，点都在球面上，且是边长为的等边三角形，那么三棱锥体积的最大值为_【答案】【解析】【分析】设外接圆的圆心为，外接球球心为, 根据已知条件可求出外接圆的半径，根据球截面圆的性质，求出，要使三棱锥体积的最大值，只需求到平面距离最大，即可得出结论.【详解】解：如图：设外接圆的圆心为,球心.在中，.三棱锥体积的最大时，最长的高为.三棱锥体积的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥与外接球关系，考查三棱锥的体积最大值，属于中档题.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生
10、都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题17.已知正项等差数列满足，等比数列的前项和满足，其中是常数（1）求以及数列、的通项公式；（2）设，求数列的前项和【答案】（1），；，；（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质得，结合，求出，进而求出的通项公式；由已知等比数列的前项和，利用通项与前项和关系，可求出结论；（2）由，用错位相减法，即可求解.【详解】解：（1）数列为正项等差数列，公差，又，可得，即可得；当时，当时，即可得，又为等比数列，即可得，；（2）由题意得，可得：【点睛】本题考查等差数列通项基本量的运算，考查已知等比数列的前求参数及通项，考查错位相减法求数量的前
11、和，属于中档题.18.为了调查一款手机的使用时间，研究人员对该款手机进行了相应的测试，将得到的数据统计如下图所示：并对不同年龄层的市民对这款手机的购买意愿作出调查，得到的数据如下表所示：愿意购买该款手机不愿意购买该款手机总计40岁以下60040岁以上8001000总计1200（1）根据图中的数据，试估计该款手机的平均使用时间；（2）请将表格中的数据补充完整，并根据表中数据，判断是否有999的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关参考公式：，其中参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）7.76年.（2）见解析，有999的
12、把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关【解析】【分析】（1）由频率直方图，求出各组的频率，利用平均数公式，即可求解；（2）根据列联表数据关系补全列联表，求出对比参考数据，即可得出结论.【详解】解：（1）该款手机的平均使用时间为7.76年.（2）愿意购买该款手机不愿意购买该款手机总计40岁以下400600100040岁以上8002001000总计12008002000可知有999的把握认为“愿意购买该款手机”与“市民的年龄”有关【点睛】本题考查由频率直方图求平均数，考查两个变量独立性检验，考查计算能力，属于中档题.19.如图，四棱锥的底面为直角梯形，为正三角形，点为线段的中点（1）证明
13、；（2）当时，求点到平面的距离【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）取中点，连接、，可得，可证面，进而证明结论；（2）根据已知条件可证，由（1）得，可证面，求出三棱锥的体积以及的面积，用等体积法，即可求出结论.【详解】解：（1）取的中点，连接、，由题意可知：，.为正三角形，.又，面，面.面，.（2）由题意可知，且，且，.又，.由（1）知，且，面，面，三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，则，得.【点睛】本题考查空间垂直转化证明线线垂直，考查用等积法求点到面的距离，属于中档题.20.中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆过、两点，（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于，两点，求当取何值
14、时，的面积最大【答案】（1）（2）时，的面积的最大【解析】【分析】（1）设所求的椭圆的方程为，将两点坐标代入，即可求解；（2）将椭圆方程与直线方程联立，消去，关于的方程有两解，求出的取值范围，利用韦达定理，得出两坐标关系，求出面积关于的目标函数，再求出其最值，即可得出结论.【详解】解：（1）由题意可设椭圆的方程为，代入、两点得 解得，所求的椭圆.（2）将直线代入得：.整理得：.，得且.由韦达定理得，.由二次函数可知当即时，的面积的最大【点睛】本题考查用待定系数法求圆锥曲线标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，以及最值，属于中档题.21.设函数为常数(1)若函数在上是单调函数，求的取值范围；
15、(2)当时，证明.【答案】(1) ；(2) 证明见解析.【解析】分析】（1）对函数求导，单调分单调增和单调减，利用或在上恒成立，求得实数的取值范围；（2）利用导数研究函数的单调性，求得结果.【详解】（1）由得导函数，其中.当时，恒成立，故在上是单调递增函数，符合题意； 当时，恒成立，故在上是单调递减函数，符合题意； 当时，由得，则存在，使得.当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，故在上是不是单调函数，不符合题意.综上，的取值范围是. （2）由（1）知当时，即，故. 令，则，当时，所以在上是单调递减函数，从而，即.【点睛】该题考查的是有关导数的应用，涉及到的知识点有根据函数在给定区间上单调
16、求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于中档题目.（二）选考题请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，直线的极坐标方程为：，曲线的参数方程为：（为参数）（1）写出直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）将直线的极坐标方程利用两角差的正弦公式展开后，再根据可化为直角坐标方程；（2）利用平方法消去曲线的参数方程中的参数，化为普通方程，然后根据直线与圆的位置关系及圆的几何性质进求解即可.试题解析：（1），（2）曲线为以为圆心，2为半径的圆，圆心到直线的距离为，所以，最大距离为23.已知（1）解关于的不等式；（2）若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）去绝对值分类讨论，转化为解一元一次不等式；（2）根据绝对值不等式性质，求出，转化为解关于的一元二次不等式，即可求得结论.【详解】解：（1）当时，不等式化为，得即当时，不等式化为，成立，即当时，不等式化为，得即综上所述：所求不等式的解集为. （2）若恒成立，则. 解得.所以实数的取值范围【点睛】本题考查解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题，转化为函数的最值有关的不等式，属于中档题.
