1、2016-2017学年河北省保定市定州中学高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1是z的共轭复数，若z+=2，（z）i=2（i为虚数单位），则z=（）A1+iB1iC1+iD1i2已知向量与的夹角为60，|=2，|=5，则2在方向上的投影为（）AB2CD33在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？（）A9日B8日C16日D12日4已知a0，
2、b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为（）A4B16C9D35动点P（x，y）满足，点Q为（1，1），O为原点，|=，则的最大值是（）A1B1C2D6如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A10+B10+C6+2+D6+7已知函数f（x）=2sinxsin（x+3）是奇函数，其中（0，），则函数g（x）=cos（2x）的图象（）A关于点（，0）对称B可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到8ABC中，若sinC=（cosA+sinA）cosB，则（）AB=B2b=a+cCABC是直角三角形Da2=b2
3、+c2或2B=A+C9已知数列an满足a1=1，an+1=（nN*），若bn+1=（n2）（+1）（nN*），b1=，且数列bn是单调递增数列，則实数的取值范围是（）ABCD10如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=+，则+=（）ABCD211已知函数f（x）=ax3+x2在x=1处取得极大值，记g（x）=程序框图如图所示，若输出的结果S，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是（）An2014？Bn2015？Cn2014？Dn2015？12已知an满足a1=1，an+an+1=（）n（nN*），Sn=a1+4a2+42a3+4n1an，则5Sn4nan=（）An1BnC2nDn2二、填空
4、题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13数列an满足：a1=1，且对任意的m，nN*都有：an+m=an+am+nm，则a100=14已知在ABC中，A=，AB=2，AC=4， =， =， =，则的值为15在ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos=，且acosB+bcosA=2，则ABC的面积的最大值为16已知方程ln|x|ax2+=0有4个不同的实数根，則实数a的取值范围是三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2bc）cosA（1）求角A的大小；（2）求cos（
5、B）2sin2的取值范围18设数列an的前n和为Sn，a1=1，Sn=nan2n2+2n（nN*）（1）求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；（2）是否存在自然数n，使得S1+2n=1124？若存在，求出n的值； 若不存在，请说明理由；（3）设cn=（nN*），Tn=c1+c2+c3+cn（nN*），若不等式Tn（mZ），对nN*恒成立，求m的最大值19如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B（，），AOB=（1）求的值；（2）若四边形OAQP是平行四边形，（i）当P在单位圆上运动时，求点O的轨迹方程；（ii）设POA=（02），
6、点Q（m，n），且f（）=m+n求关于的函数f（）的解析式，并求其单调增区间20已知函数f（x）=x+alnx（aR）（1）若函数f（x）在1，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知g（x）=x2+（m1）x+，m，h（x）=f（x）+g（x），当时a=1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求h（x1）h（x2）的最小值21在单调递增数列an中，a1=2，a2=4，且a2n1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=1，2，3，（）（）求证：数列为等差数列；（）求数列an的通项公式（）设数列的前n项和为Sn，证明：Sn，nN*四、解答题（共
7、1小题，满分10分）22在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ab0，为参数），以为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数=与曲线C2交于点D（，）（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）A（1，），B（2，+）是曲线C1上的两点，求+的值选修4-5：不等式选讲23已知f（x）=|x2|+|x+1|+2|x+2|（1）求证：f（x）5；（2）若对任意实数x，152f（x）a2+都成立，求实数a的取值范围2016-2017学年河北省保定市定州中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小
8、题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1是z的共轭复数，若z+=2，（z）i=2（i为虚数单位），则z=（）A1+iB1iC1+iD1i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由题，先求出z=2i，再与z+=2联立即可解出z得出正确选项【解答】解：由于，（z）i=2，可得z=2i 又z+=2 由解得z=1i故选D2已知向量与的夹角为60，|=2，|=5，则2在方向上的投影为（）AB2CD3【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量数量积的定义与投影的定义，进行计算即可【解答】解：向量与的夹角为60，且|=2，|=5，（2）=2=22252cos60=
9、3，向量2在方向上的投影为=故选：A3在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢问：几日相逢？（）A9日B8日C16日D12日【考点】等比数列的前n项和【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为an，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为bn，其中b1=97，d=0.5求和即可得到答案【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为an，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为bn，其中b1=97，
10、d=0.5；设第m天相逢，则a1+a2+am+b1+b2+bm=103m+97m+=21125，解得：m=9故选：A4已知a0，b0，若不等式0恒成立，则m的最大值为（）A4B16C9D3【考点】基本不等式【分析】不等式恒成立的最小值，利用不等式的基本性质求出即可【解答】解：不等式恒成立的最小值，a0，b0， =10+10+=16，当且仅当，即a=b时取等号m16，即m的最大值为16故选B5动点P（x，y）满足，点Q为（1，1），O为原点，|=，则的最大值是（）A1B1C2D【考点】简单线性规划【分析】根据向量的数量积公式将条件进行化简，利用数形结合即可得到结论【解答】解：|=，=|cos，作
11、出不等式组对应的平面区域如图，则OQ，OA的夹角最小，由，解得，即A（3，1），则=（3，1），又，则cos=，的最大值是|cos=故选：D6如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A10+B10+C6+2+D6+【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD底面PAD，BA底面PAD，PAAD，PA=AD=CD=2，AB=1即可得出【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，如图所示，CD底面PAD，BA底面PAD，PAAD，PA=AD=CD=2，AB=1PC=2，PB=，BC=SPBC=该几何体的表面积S=+=6+故选：C7已知函数f（x
12、）=2sinxsin（x+3）是奇函数，其中（0，），则函数g（x）=cos（2x）的图象（）A关于点（，0）对称B可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到C可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到D可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到【考点】余弦函数的对称性【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数f（x）=2sinxsin（x+3）是奇函数，其中（0，），=，f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x）=cos2（x），则函数g（x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x） 的图象可由函数f（x）的图象向左平移
13、个单位得到的，故选：C8ABC中，若sinC=（cosA+sinA）cosB，则（）AB=B2b=a+cCABC是直角三角形Da2=b2+c2或2B=A+C【考点】正弦定理；余弦定理【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式化简已知的方程，由内角的范围和特殊角的余弦值分类两种情况讨论，分别化简后可得答案【解答】解：ABC中，C=（A+B），sinC=sin（A+B），代入sinC=（cosA+sinA）cosB得，sin（A+B）=（cosA+sinA）cosB，化简可得，cosAsinB=cosAcosB，0A，分两种情况讨论，（1）当cosA0时，化为sinB=cosB，则tanB=，0B，B
14、=，则A+C=B=2B；（2）当cosA=0时，A=，则a2=b2+c2，综上可得，a2=b2+c2或2B=A+C，故选：D9已知数列an满足a1=1，an+1=（nN*），若bn+1=（n2）（+1）（nN*），b1=，且数列bn是单调递增数列，則实数的取值范围是（）ABCD【考点】数列递推式【分析】由数列递推式得到+1是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入bn+1=（n2）2n，由b2b1求得实数的取值范围，验证满足bn+1=（n2）2n为增函数得答案【解答】解：由an+1=得，则， +1=2（+1）由a1=1，得+1=2，数列+1是首项为2，公比为2的等比数列，+1=22n
15、1=2n，由bn+1=（n2）（+1）=（n2）2n，b1=，b2=（12）2=24，由b2b1，得24，得，此时bn+1=（n2）2n为增函数，满足题意实数的取值范围是（，）故选：C10如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若=+，则+=（）ABCD2【考点】向量在几何中的应用【分析】根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，带入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于，的方程组，解出，便可得出+的值【解答】解：，；=；由平面向量基本定理得：；解得；故选B11已知函数f（x）=ax3+x2在x=1处取得极大值，记g（x）=程序框图如图所示，若输出的结果S，则
16、判断框中可以填入的关于n的判断条件是（）An2014？Bn2015？Cn2014？Dn2015？【考点】程序框图【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：函数f（x）=ax3+x2，在x=1处取得极大值，即f（x）=3ax2+x的零点为1，即 3aa=0，解得：a=，故f（x）=x2+x，故g（x）=，则S=g（1）+g（2）+g（3）+g（k）=1=，若输出的结果S，则k2015，故进行循环的条件应为n2015？，故选：B12已知an满足a1=1，an+an+1=（）n（nN*），Sn=a1+4a2+42a3+4n1an，则
17、5Sn4nan=（）An1BnC2nDn2【考点】数列的求和【分析】an+an+1=（）n（nN*），变形为：an+1=，利用等比数列通项公式即可得出【解答】解：an+an+1=（）n（nN*），an+1=，数列是等比数列，首项为，公比为1an=+（1）n14n1an=+（1）n14n4nan=+（1）n15Sn=n=n+5Sn4nan=n故选：B二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13数列an满足：a1=1，且对任意的m，nN*都有：an+m=an+am+nm，则a100=5050【考点】数列递推式【分析】令m=1，an+1=an+1+nan+1an=1+n再利用累加法求得
18、a100【解答】解：令m=1，an+1=an+1+nan+1an=1+n，再利用累加法求得：a100=（a100a99）+（a100a99）+（a99a98）+（a2a1）+a1=100+99+98+2+1=5050故答案：505014已知在ABC中，A=，AB=2，AC=4， =， =， =，则的值为【考点】平面向量数量积的运算【分析】首先建立平面直角坐标系，根据向量间的关系式，求出向量的坐标，最后求出向量的数量积【解答】解：在ABC中，A=，建立直角坐标系，AB=2，AC=4， =， =， =，根据题意得到：则：A（0，0），F（0，1），D（1，），E（2，0）所以：，所以：故答案为：1
19、5在ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos=，且acosB+bcosA=2，则ABC的面积的最大值为【考点】正弦定理【分析】所求的式子cosC利用二倍角的余弦函数公式化简后，将已知的cos的值代入即可求出cosC值，利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c2=a2+b22abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最
20、大值【解答】（本题满分为14分）解：cos=，cosC=2cos21=2（）21=；acosB+bcosA=2，a+b=2，c=2，4=a2+b22ab2ab2ab=ab，ab（当且仅当a=b=时等号成立）由cosC=，得sinC=SABC=absinC=，故ABC的面积最大值为16已知方程ln|x|ax2+=0有4个不同的实数根，則实数a的取值范围是【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】根据函数与方程的关系，利用参数分离式进行转化，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由ln|x|ax2+=0，得ax2=ln|x|+，x0，方程等价为a=，设
21、f（x）=，则函数f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=，则f（x）=，由f（x）0得2x（1+lnx）0，得1+lnx0，即lnx1，得0x，此时函数单调递增，由f（x）0得2x（1+lnx）0，得1+lnx0，即lnx1，得x，此时函数单调递减，即当x0时，x=时，函数f（x）取得极大值f（）=（1+）e2=e2，作出函数f（x）的图象如图：要使a=，有4个不同的交点，则满足0a，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2bc）cosA（1）求角A的大小；（2）求cos（B
22、）2sin2的取值范围【考点】正弦定理【分析】（）由正弦定理化简等式整理可得sinB=2sinBcosA，又sinB0，可求，结合A为内角即可求得A的值（）由三角函数恒等变换化简已知可得sin（B）1，由可求B的范围，从而可求，即可得解【解答】解：（）由正弦定理可得，从而可得，即sinB=2sinBcosA，又B为三角形的内角，所以sinB0，于是，又A亦为三角形内角，因此，（），=，=，由可知，所以，从而，因此，故的取值范围为18设数列an的前n和为Sn，a1=1，Sn=nan2n2+2n（nN*）（1）求证：数列an为等差数列，并分别写出an和Sn关于n的表达式；（2）是否存在自然数n，使
23、得S1+2n=1124？若存在，求出n的值； 若不存在，请说明理由；（3）设cn=（nN*），Tn=c1+c2+c3+cn（nN*），若不等式Tn（mZ），对nN*恒成立，求m的最大值【考点】数列递推式；数列的求和【分析】（1）由，利用递推关系an=可得anan1=4（n2）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出：an，Sn（2）由（1）可得： =2n1利用等差数列的求和公式即可得出（3）利用“裂项求和方法”、数列的单调性即可得出【解答】（1）证明：由，得，相减得an=nan（n1）an14n+4（n1）an（n1）an1=4（n1）anan1=4（n2）故数列an是首项为1，公差为4的等差
24、数列an=1+4（n1）=4n3Sn=2n2n（2）解：由（1）可得： =2n1，由n2+2n=1124，得n=10，即存在满足条件的自然数n=10（3）解： =，TnTn+1，即Tn单调递增，故要使恒成立，只需成立，即m8（mZ）故符合条件m的最大值为719如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B（，），AOB=（1）求的值；（2）若四边形OAQP是平行四边形，（i）当P在单位圆上运动时，求点O的轨迹方程；（ii）设POA=（02），点Q（m，n），且f（）=m+n求关于的函数f（）的解析式，并求其单调增区间【考点】轨迹方程；三角函数的化简求值【分析】
25、（1）由三角函数定义得tan=2，再弦化切代入计算，即可求求的值；（2）（i）设PA中点为H，P（x1，y1），Q（x，y），则，由此可求点O的轨迹方程；（ii）确定，即可求其单调增区间【解答】解：（1）由三角函数定义得tan=2，所以原式=（2）四边形OAQP是平行四边形，PA与OQ互相平分，（i）设PA中点为H，P（x1，y1），Q（x，y），则，又，所以，代入上式得点Q的轨迹方程为（x1）2+y2=1（ii）依题意得，又由（i）知，或，f（）的增区间为和20已知函数f（x）=x+alnx（aR）（1）若函数f（x）在1，+）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）已知g（x）=x2+（m1
26、）x+，m，h（x）=f（x）+g（x），当时a=1，h（x）有两个极值点x1，x2，且x1x2，求h（x1）h（x2）的最小值【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值【分析】（1）利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可（2）求出函数h（x）的表达式，求出函数h（x）的导数，利用函数极值，最值和导数之间的关系进行求解【解答】解：（1）f（x）=x+alnx，f（x）=1+，f（x）在1，+）上单调递增，f（x）=1+0在1，+）上恒成立，a（x+）在1，+）上恒成立，y=x在1，+）上单调递减，y2，a2；（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x2+mx，其定
27、义域为（0，+），求导得，h（x）=，若h（x）=0两根分别为x1，x2，则有x1x2=1，x1+x2=m，x2=，从而有m=x1，m，x1x2，x1，1则h（x1）h（x2）=h（x1）h（）=2lnx1+（）+（x1）（x1），令（x）=2lnx（x2），x，1则h（x1）h（x2）min=（x）min，（x）=，当x（，1时，（x）0，（x）在，1上单调递减，（x）min=（1）=0，h（x1）h（x2）的最小值为021在单调递增数列an中，a1=2，a2=4，且a2n1，a2n，a2n+1成等差数列，a2n，a2n+1，a2n+2成等比数列，n=1，2，3，（）（）求证：数列为等差数列
28、；（）求数列an的通项公式（）设数列的前n项和为Sn，证明：Sn，nN*【考点】数列的求和；等差关系的确定；等差数列的性质【分析】（）（）通过题意可知2a2n=a2n1+a2n+1、，化简即得结论；（）通过计算可知数列的首项及公差，进而可得结论；（2）通过（ii）、放缩、裂项可知4（），进而并项相加即得结论【解答】（）（）证明：因为数列an为单调递增数列，a1=20，所以an0（nN*）由题意得2a2n=a2n1+a2n+1，于是，化简得，所以数列为等差数列（）解：因为a3=2a2a1=6，所以数列的首项为，公差为，所以，从而结合，可得a2n1=n（n+1）因此，当n为偶数时an=，当n为奇数
29、时an=（2）证明：通过（ii）可知=因为an=，所以，+=，所以，nN*四、解答题（共1小题，满分10分）22在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（ab0，为参数），以为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（2，）对应的参数=与曲线C2交于点D（，）（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（2）A（1，），B（2，+）是曲线C1上的两点，求+的值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数=代入曲线C1的参数方程为（ab0，为参数），即可解得：a，b即可得出普通方程设圆C2的半径R，则圆C2的方程
30、为：=2Rcos，将点D（，）解得R可得圆C2的方程为：=2cos，即可化为直角坐标方程（2）将A（1，），（2，+）代入C1得：，代入+即可得出【解答】解：（1）将曲线C1上的点M（2，）对应的参数=代入曲线C1的参数方程为（ab0，为参数），得：解得：，曲线C1的方程为：（为参数），即：设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：=2Rcos，将点D（，）代入得： =2R，R=1圆C2的方程为：=2cos即：（x1）2+y2=1（2）将A（1，），（2，+）代入C1得：，+=（）+（）=选修4-5：不等式选讲23已知f（x）=|x2|+|x+1|+2|x+2|（1）求证：f（x）5；（2）若对任意实数x，152f（x）a2+都成立，求实数a的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题【分析】（）通过讨论x的范围，得到关于f（x）的分段函数，从而求出f（x）的最小值即可；（）根据基本不等式的性质求出a的范围即可【解答】（）证明：，f（x）的最小值为5，f（x）5（）解：由（）知：152f（x）的最大值等于5，“=”成立，即，当时，取得最小值5当时，又对任意实数x，都成立，a的取值范围为2017年1月12日