1、3.2.2基本不等式的应用学 习 任 务核 心 素 养1熟练掌握利用基本不等式求条件最值和多元最值(重点)2会利用基本不等式求参数的取值范围(重点)3会用基本不等式求解简单的实际应用题(重点、难点)1由基本不等式求最值，提升数学运算素养2借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.一养殖场想用栅栏围成一个长、宽分别为a、b的矩形牧场，现在已有材料能做成l km的栅栏，那么如何设计才能使围成的矩形牧场面积最大？知识点基本不等式的应用1基本不等式的变形利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解常用的方法有
2、：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值1.已知a0，b0，ab2，则y的最小值是()AB4CD5Cab2，1.2，当且仅当，即b2a时，等号成立故y的最小值为.2应用基本不等式解简单的实际应用题(函数类)(1)合理选择自变量，建立函数关系；(2)寻找利用基本不等式的条件(和或积为定值)(3)解题注意点设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值在求函数的最值时，一定要在使实际问题有意义的自变量的取值范围内求解2.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4
3、万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_.20总运费与总存储费用之和y4x44x2160，当且仅当4x，即x20时取等号 类型1利用基本不等式变形求最值【例1】(1)已知x0，y0，且1，求xy的最小值；(2)设ab0，求a2的最小值解(1)法一：x0，y0，1，xy(xy)1061016，当且仅当，又1，即x4，y12时，上式取等号故当x4，y12时，(xy)min16.法二：由1，得(x1)(y9)9(定值)由1可知x1，y9，xy(x1)(y9)1021016，当且仅当x1y93，即x4，y12时上式取等号，故当x4，y12时，(xy)min16
4、.(2)因为ab0，所以ab0，a2ab0，则a2(a2ab)ab2 2 4，当且仅当a2ab且ab，即a，b时取等号a2的最小值为4.若将本例(1)中条件换为：x0，y0且2x8yxy，求xy的最小值解法一：由2x8yxy0，得y(x8)2x.x0，y0，x80，y，xyxx(x8)1021018.当且仅当x8，即x12时，等号成立xy的最小值是18.法二：由2x8yxy0及x0，y0，得1.xy(xy)1021018.当且仅当，即x2y12时等号成立xy的最小值是18.1基本不等式常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项常见形式有yax(积定)型和yax(bax)(和定
5、)型2多元最值问题，可以通过消元，转化为一元最值问题来处理，注意消元后的变量的范围3两次同时应用或两次应用基本不等式求最值时，多个等号必须同时取到跟进训练1已知正数x，y满足xy1，则的最小值是_9xy1，(xy)14.x0，y0，0，0，24，59.当且仅当即x，y时等号成立min9.2已知正数x，y满足x22xy30，则2xy的最小值是_3由题意得y，2xy2x3，当且仅当xy1时，等号成立 类型2利用基本不等式求参数取值范围【例2】(1)已知函数yx2的值构成的集合为(，04，)，则a的值是()AB C1D2(2)已知函数y(aR)，若对于任意的xN*，y3恒成立，则a的取值范围是_(1
6、)C (2) (1)由题意可得a0，当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号；当x0时，f(x)x222，当且仅当x时取等号，所以解得a1. 故选C.(2) 对任意xN*，y3，即3恒成立，即a3.设zx，xN*，则zx4，当x2时等号成立，又x2时z6，又x3时z.a，故a的取值范围是.含参数不等式的求解策略(1)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围(2)在处理含参数的不等式恒成立问题时，往往将已知不等式看作关于参数的不等式，体现了主元与次元的转化跟进训练3已知不等式(xy)9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A2B4 C6D8B对任
7、意的正实数x，y，(xy)1a1a2(1)2(x，y，a0)，当且仅当yx时取等号，所以(xy)的最小值为(1)2，于是(1)29恒成立所以a4，故选B.4已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_2依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值为2.又，因此有2，即的最小值为2. 类型3利用基本不等式解决实际问题【例3】“足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售
8、量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q(其中推广促销费不能超过3万元)已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润销售额成本推广促销费)解设该批产品的利润为y，由题意知yQ2x2Q202Qx20x20x21，0x3.2121217，当且仅当x1时，上式取“”，当x1时，ymax17.即当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把
9、实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案跟进训练5近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y(单位：万元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式为y2x2(154k)x120k8，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量为1吨时，总成本为142万元(1)求k的值；(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？解(1)设除尘后的每日生产总成本为万元，由题意，除尘后2x2(154k)x120k8kx2x2(
10、153k)x120k8，当日产量为1吨时，总成本为142万元，代入计算得k1.(2)由(1)2x212x128，总利润L48x(2x212x128)36x2x2128(x0)，每吨产品的利润为3623644，当且仅当x，即x8时取等号，除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元1设x0，则33x的最大值是()A3B32C1D32Dx0，3x22，当且仅当x时取等号，2，则33x32，故选D.2已知(x1)在xt时取得最小值，则t等于()A1B2C3D4Bxx11213，当且仅当x1，即x2时，等号成立3(多选题)已知a0，b0，若不等式恒成立，则m的可能取值为()A9B12 C
11、18D24AB因为a0，b0，由，得m(a3b)6.又62612，当且仅当，即a3b时等号成立，m12，m的最大值为12.应选AB.4把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是_2 cm2设两段长分别为x cm，(12x)cm，则S222.当且仅当x12x，即x6时取等号，故两个正三角形面积之和最小值为2 cm2.5设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是_m3，此时厢高与厢长之和为_m.166设车厢的长为b m，高为a m.由已知得2b2ab4a32，即b，Va22.设a1t，则V2216
12、，当且仅当t3，即a2，b4时等号成立ab6.回顾本节知识，自我完成以下问题1利用基本不等式求最值的方法是什么？你是怎样理解的？提示和定积最大、积定和最小若x，y为正数，xyS(和为定值)，则当xy时，积xy取最大值，若x，y为正数，xyP(积为定值)，则当xy时，xy取得最小值2求解应用题的方法与步骤是什么？提示审题建模(列式)解模作答等号的由来相等(equal)是数学中最重要的关系之一等号表示相等的含义等号(Sign of Equality)的出现与方程有关，数学于萌芽时期已有了方程的记载，因此亦有了表示相等关系的方法“方程”的概念早于中国古代已出现，但它是以“列表”(算筹布列)的方法解答
13、，并不需等号，而书写时则以汉字“等”或“等于”表示在15、16世纪的英文数学书中，还用单词代表两个量的相等关系例如在当时的一些公式里，常常写着aequaliter这个单词，其含义是“相等”1557年，英国数学家列科尔德，在其论文智慧的磨刀石中说：“为了避免枯燥地重复isaequalleto(等于)这个单词，我认真地比较了许多的图形和记号，觉得世界上再也没有比两条平行而又等长的线段意义更相同了”于是，列科尔德有创见性地用两条平行且相等的线段“”表示“相等”，“”叫作等号用“”替换单词表示相等是数学上的一个进步由于受当时历史条件的限制，这个符号的推广很缓慢，列科尔德发明的等号，并没有马上为大家所采用不过，其后的著名人物，如开普勒、伽利略与费马等人常以文字或缩写语如aequals，aeqantar，ae，esgale等表示相等；1637年，数学家笛卡儿在1637年出版的几何学一书中，曾用“”表示过“相等”，以“”表示现代“”号之意直到17世纪末期，德国的数学家莱布尼兹，在各种场合下大力倡导使用“”，他还在几何学中用“”表示相似，用“”表示全等由于他在数学界颇负盛名，等号渐渐被世人所公认