1、2.5指数与指数函数最新考纲考情考向分析1.了解指数函数模型的实际背景2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图象4.体会指数函数是一类重要的函数模型.直接考查指数函数的图象与性质；以指数函数为载体，考查函数与方程、不等式等交汇问题，题型一般为选择、填空题，中档难度.1分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是(a0，m，nN，且n1)于是，在条件a0，m，nN，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定 (a
2、0，m，nN，且n1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的运算性质：arasars，(ar)sars，(ab)rarbr，其中a0，b0，r，sQ.2指数函数的图像与性质yaxa10a0时，y1；当x0时，0y0时，0y1；当x1(6)在(，)上是增函数(7)在(，)上是减函数知识拓展1指数函数图像的画法画指数函数yax(a0，且a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.2.指数函数的图像与底数大小的比较如图是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到
3、以下规律：在第一象限内，指数函数yax(a0，a1)的图像越高，底数越大3指数函数yax(a0，a1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a1与0a1来研究题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)()na(nN)()(2)分数指数幂可以理解为个a相乘()(3)函数y32x与y2x1都不是指数函数()(4)若aman(a0，且a1)，则mn.()(5)函数y2x在R上为减函数()题组二教材改编2化简(x0，y0) .答案2x2y3若函数f(x)ax(a0，且a1)的图像经过点P，则f(1) .答案解析由题意知a2，所以a，所以f(x)x，所以f(1)1.4已知a
4、，b，c，则a，b，c的大小关系是 答案cbb1，又c01，cb0，a1)在1,2上的最大值比最小值大，则a的值为 答案或解析当0a1时，a2a，a或a0(舍去)综上所述，a或.题型一指数幂的运算1化简 (a0，b0) .答案解析原式2213101.2计算：10(2)10 .答案解析原式21，1010201.3(2017兰州模拟)化简：(a0) .答案a2解析原式a2.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式，分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数(3)运算结果不能同时含有根号和分数
5、指数，也不能既有分母又含有负指数题型二指数函数的图像及应用典例 (1)函数f(x)1e|x|的图像大致是()答案A解析f(x)1e|x|是偶函数，图像关于y轴对称，又e|x|1，f(x)0.符合条件的图像只有A.(2)已知函数f(x)|2x1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0C2a2c D2a2c2答案D解析作出函数f(x)|2x1|的图像，如图，abc且f(a)f(c)f(b)，结合图像知，0f(a)1，a0，c0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1.12c2，f(c)|2c1|2c1，又f(a)f
6、(c)，12a2c1，2a2c2，故选D.思维升华 (1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图像可从指数函数的图像通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论跟踪训练 (1)已知实数a，b满足等式2 018a2 019b，下列五个关系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析如图，观察易知，a，b的关系为ab0或0ba或ab0.(2)方程2x2x的解的个数是 答案1解析方程的解可看作函数y2x和y2x的图像交点的横
7、坐标，分别作出这两个函数的图像(如图)由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解题型三指数函数的性质及应用命题点1指数函数单调性的应用典例 (1)(2017河南百校联考)已知f(x)2x2x，a，b，则f(a)，f(b)的大小关系是 答案f(b)f(a)解析易知f(x)2x2x在R上为增函数，又ab，f(a)f(b)(2)设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是 答案(3,1)解析当a0时，不等式f(a)1可化为a71，即a8，即a3.又a0，3a0.当a0时，不等式f(a)1可化为1.0a0)，则yt22t的递增区间为1，)，令2x1，得x0，又y2x在R上是增加的，所以函数f(x)
8、4x2x1的递增区间是0，)命题点3指数函数性质的综合应用典例 已知函数f(x).(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值解(1)当a1时，f(x)，令ux24x3(x2)27.则u在(，2)上是增加的，在(2，)上是减少的，而yu在R上是增加的，所以f(x)在(，2)上是减少的，在(2，)上是增加的，即函数f(x)的递增区间是(2，)，递减区间是(，2)(2)令h(x)ax24x3，yh(x)，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值1，因此必有解得a1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1.(3)由f(x)的
9、值域是(0，)知，ax24x3的值域为R，则必有a0.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域，单调区间，最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟踪训练 (1)已知函数f(x)的值域是8,1，则实数a的取值范围是()A(，3 B3,0)C3，1 D3答案B解析当0x4时，f(x)8,1，当ax0时，f(x)，8,1，即81，即3a0，实数a的取值范围是3,0)(2)(2017江淮十校第三次联考)函数f(x)x2bxc满足f(x1)f(1x)，且f(0)3，则f(bx)与f(
10、cx)的大小关系是()Af(bx)f(cx) Bf(bx)f(cx)Cf(bx)f(cx) D与x有关，不确定答案A解析f(x1)f(1x)，f(x)关于x1对称，易知b2，c3，当x0时，b0c01，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，又f(x)在(1，)上是增加的，f(bx)f(cx)，当x0时，3x2x1，f(x)在(，1)上是减少的，f(bx)0，a1)在区间上有最大值3，最小值， 试求a，b的值错解展示：现场纠错解令tx22x(x1)21，x，t1,0若a1，函数f(t)at在1,0上为增函数，at，ba，依题意得解得若0a1，b1，b0C0a0D0a1，b0答案D解析由f(
11、x)axb的图像可以观察出，函数f(x)axb在定义域上是减少的，所以0a1.函数f(x)axb的图像是在f(x)ax的基础上向左平移得到的，所以b0.2设2x8y1,9y3x9，则xy的值为()A18 B21 C24 D27答案D解析2x8y123(y1)，x3y3，9y3x932y，x92y，解得x21，y6，xy27.3(2017河南南阳、信阳等六市一模)已知a，b(0,1)(1，)，当x0时，1bxax，则()A0ba1 B0ab1C1ba D1ab答案C解析当x0时，1bx，b1.当x0时，bxax，当x0时，x1.1，ab.1ba，故选C.4(2018届吉林实验中学月考)设alog
12、2，b，cln ，则()Acab BacbCabc Dbac答案C解析log20,01，ab0，a1)满足f(1)，则f(x)的递减区间是()A(，2 B2，)C2，) D(，2答案B解析由f(1)得a2，所以a或a(舍去)，即f(x)|2x4|.由于y|2x4|在(，2上是减少的，在2，)上是增加的，所以f(x)在(，2上是增加的，在2，)上是减少的故选B.7(2017濮阳质检)若“ma”是“函数f(x)xm的图像不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a能取的最大整数为 答案1解析f(0)m，函数f(x)的图像不过第三象限等价于m0，即m，“ma”是“m”的必要不充分条件，a，则实数a能取的
13、最大整数为1.8不等式x4的解集为 答案(1,4)解析原不等式等价为2x4，又函数y2x为增函数，x22xx4，即x23x40，1x0且a1)的图像有两个公共点，则a的取值范围是 答案解析(数形结合法)当0a1时，作出函数y2|ax1|的图像，由图像可知02a1，0a1时，解得0a1矛盾综上，a的取值范围是.10当x(，1时，不等式(m2m)4x2x0恒成立，则实数m的取值范围是 答案(1,2)解析原不等式变形为m2mx，因为函数yx在(，1上是减函数，所以x12，当x(，1时，m2mx恒成立等价于m2m2，解得1m0，a1)的图像经过点A(1,6)，B(3,24)(1)求f(x)的表达式；(2)若不等式xxm0在(，1上恒成立，求实数m的取值范围解(1)因为f(x)的图像过A(1,6)，B(3,24)，所以所以a24，又a0，所以a2，b3.所以f(x)32x.(2)由(1)知a2，b3，则x(，1时，xxm0恒成立，即mxx在(，1上恒成立又因为yx与yx均为减函数，所以yxx也是减函数，所以当x1时，yxx有最小值.所以m.即m的取值范围是.13已知yf(x)是定义在R上的奇函数且当x0时，f(x)，则此函数的值域为 答案解析设t，当x0时，2x1，0，不符合，舍去；当2时，g(t)ming(2)47，令471，得2，不符合，舍去综上所述，实数的值为.
