1、数学归纳法素养目标学科素养1.了解数学归纳法的原理(重点、难点)2掌握用数学归纳法证明问题的一般方法与步骤(重点)3能用数学归纳法证明一些数学命题(难点)1.数学抽象；2逻辑推理；3数学运算情境导学往一匹健壮的骏马身上放一根稻草，马毫无反应；再添加一根稻草，马还是丝毫没有感觉；又添加一根一直往马身上添稻草，当最后一根轻飘飘的稻草放到了马儿身上后，骏马竟不堪重负瘫倒在地这在社会学里，取名为“稻草原理”这其中蕴含着一种怎样的数学思想呢？1数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当nn0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)以“当nk(kN*
2、，kn0)时命题成立”为条件，推出“当nk1时命题也成立”只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法2数学归纳法的框图表示判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)与自然数n有关的问题都可以用数学归纳法来证明()(2)在利用数学归纳法证明问题时，只要推理过程正确，也可以不用进行假设()(3)用数学归纳法证明等式时，由nk到nk1，等式的项数一定增加了一项()1式子1kk2kn(nN*)，当n1时，式子的值为(B)A1 B1kC1kk2 D以上都不对2用数学归纳法证明3nn3(n3，nN*)时，第一步验证()An1 Bn2Cn3 Dn4C解析：由
3、题知，n的最小值为3，所以第一步验证n3是否成立3用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当nk时，表达式为1427k(3k1)k(k1)2，则当nk1时，表达式为_.1427k(3k1)(k1)(3k4)(k1)(k2)2解析：把k更换为k1.4式子135(2n1)(n1)2，当n1时，右边的式子为_(11)2解析：当n1时，式子变为“13(11)2”，故右边的式子为(11)2. 【例1】用数学归纳法证明：132522(2n1)2n12n(2n3)3(nN*). 证明：(1)当n1时，左边1，右边2(23)31，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即132522(2k1)
4、2k12k(2k3)3.则当nk1时，132522(2k1)2k1(2k1)2k2k(2k3)3(2k1)2k2k(4k2)32k12(k1)33，即当nk1时，等式也成立由(1)(2)知，等式对任何nN*都成立用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与所作假设建立联系，并向nk1时证明目标的表达式进行变形用数学归纳法证明：(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边，等式成立(2)假设nk(kN*)时，等式成立，即.在上式两边同时乘得，即当nk1
5、时等式成立由(1)(2)可知对任何nN*，等式都成立 【例2】用数学归纳法证明：1(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边1，左边右边，所以不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即1.则当nk1时，111，即当nk1时，不等式也成立由(1)(2)知，不等式对任何nN*都成立用数学归纳法证明不等式需要注意：1在归纳递推证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明2在推证“nk1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩、变形，便于应用所作假设，变换出要证明的结论用数学归纳法证明：1(nN*)证明：(1)当n1时，
6、左边1，右边，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时不等式成立，即1.则当nk1时，1(2k2k1).当nk1时，不等式成立由(1)(2)可知，不等式对任何nN*成立 【例3】求证：an1(a1)2n1能被a2a1整除(其中nN*，aR)证明：(1)当n1时，a2(a1)1a2a1，显然能被a2a1整除，命题成立(2)假设当nk(kN*)时，ak1(a1)2k1能被a2a1整除则当nk1时，ak2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.上式能被a2a1整除，即当nk1时，命题成
7、立由(1)(2)知，对一切nN*，aR，命题都成立证明整除问题的关键是凑项，即采取增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出nk时的情形，从而利用归纳递推使问题得以解决用数学归纳法证明：若f(n)352n123n1，则f(n)能被17整除(nN*)证明：(1)当n1时，f(1)353241723，f(1)能被17整除，命题成立(2)假设nk(kN*)时，f(k)352k123k1能被17整除则nk1时，f(k1)352k323k452352k12323k125352k1823k117352k18(352k123k1)17352k18f(k)因为f(k)能被17整除，17352k1也能被17整除，所
8、以f(k1)能被17整除由(1)(2)可知，对任意nN*，f(n)都能被17整除1用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)时，第一步验证n1时，左边应取的项是()A1B12C123D1234D解析：由数学归纳法的证明步骤可知：当n1时，等式的左边是123(13)1234.故选D2用数学归纳法证明f(n)2nn20(n5，nN*)时，应先证明()Af(1)0Bf(2)0Cf(4)0Df(5)0 D解析：利用数学归纳法证明f(n)2nn20(n5，nN*)时，第一步应该先证明n5时命题成立，即f(5)25520.故选D3证明命题“凸n边形内角和等于(n2)180”时，n可取的第一个值是()A1
9、 B2 C3 D4C解析：n3时，凸n边形就是三角形，而三角形的三个内角和等于180，所以命题成立故选C4用数学归纳法证明：1，第一步应验证的等式是_；从“nk”到“nk1”左边需增加的等式是_1解析：当n1时，应当验证的第一个式子是1，从“nk”到“nk1”左边需增加的等式是.5在数列an中，a11且an1an.(1)求出a2，a3，a4；(2)归纳出数列an的通项公式，并用数学归纳法证明归纳出的结论解：(1)由a11且an1an知： a2a1，a3a2，a4a3.(2)猜想数列an的通项公式为an，证明如下：当n1时，左边a11，右边1.左边右边，即猜想成立；假设当nk时，猜想成立，即有a
10、k，那么当nk1时， ak1ak，从而猜想对nk1也成立由可知，猜想对任意的nN*都成立，所以数列an的通项公式为an.1数学归纳法只能用来证明与正整数有关的命题，其原理类似于不等式的传递性2要认识到用数学归纳法证题时，第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，两者缺一不可3应用数学归纳法证题时，关键是证明nk1时的命题，要想证好这一步，需明确以下两点：一是要证什么，二是nk1时命题与所作假设的区别是什么明确了这两点，也就明确了这一步的证明方向和基本方法4有关“和式”或“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以准确确定n1及由nk变化到nk1时“和”或“积”的情况 课时分层作业(十一)数学归纳
11、法(60分钟100分)知识点1用数学归纳法证明等式1(5分)用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)时，第一步验证n1，左边应取的项是()A1 B12C123 D1234D解析：当n1时，n34，故左边应为1234.2(5分)用数学归纳法证明123n2，则当nk1(nN*)时，等式左边应在nk的基础上加上()Ak21B(k1)2CD(k21)(k22)(k23)(k1)2D解析：当nk时，等式左边12k2；当nk1时，等式左边12k2(k21)(k1)2.故选D3.(10分)用数学归纳法证明：13(2n1)n2(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立(2)假设当nk(kN*
12、)时，等式成立，即13(2k1)k2，那么，当nk1时，13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.这就是说，当nk1时等式成立根据(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立知识点2用数学归纳法证明不等式4.(5分)用数学归纳法证明：，假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析：当nk1时，目标不等式为.5.(10分)证明不等式12(nN*)证明：(1)当n1时，左边1，右边2，左边右边，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即12.当nk1时，122.所以当nk1时，不等式成立由(1)(2)可知，原不等式对任意nN*都成立知识点3用数学
13、归纳法证明整除问题6.(5分)用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为.25(34k252k1)5634k2解析：当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.7.(10分)用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN*)证明：(1)当n1时，13233336能被9整除，所以结论成立；(2)假设当nk(kN*)时结论成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除则当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39
14、k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为k3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即nk1时结论也成立由(1)(2)知命题对一切nN*都成立8.(5分)用数学归纳法证明1aa2an(a1，nN*)，在验证n1时，左边计算所得的式子是(B)A1 B1aC1aa2 D1aa2a39(5分)利用数学归纳法证明1(nN*，且n2)，第二步由k到 k1时不等式左端的变化是()A增加了这一项B增加了和两项C增加了和两项，减少了这一项D以上都不对C解析：当nk时，左端为；当nk1时，左端为，对比可知，C正确10(5分)
15、用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳递推中的假设应写成()A假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k3时正确B假设n2k1(kN*)时正确，再推n2k1时正确C假设nk(kN*)时正确，再推nk1时正确D假设nk(kN*)时正确，再推nk2时正确B解析：n为正奇数，在证明时，应假设n2k1(kN*)时正确，再推出n2k1时正确故选B11(5分)对于不等式n1(nN*)，某学生的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，0.a4a6a，aa3a5，a2a4a，a4a62aa2a4144可化为a2a
16、3a5a144，即(a5a3)2144，a5a312.故选D8已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时等式成立，则还需要再证()Ank1时等式成立 Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立 Dn2(k2)时等式成立B解析：根据数学归纳法的步骤可知，nk(k2且k为偶数)的下一个偶数为nk2.故选B二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9已知等比数列an的前n项和为Sn，下列数列中一定是等比数列的有()Aa Banan1Clg an DSn，S2nSn，S3nS2nAB解析：由数列an为等比数列可知，q(q0)，对于A，q2，故A项中的数列是等比数列；
17、对于B，q20，故B项中的数列是等比数列；对于C，不一定为常数，即lg an不一定为等比数列；对于D，若an(1)n，为等比数列，公比为1，则Sn有可能为0，即Sn，S2nSn，S3nS2n不一定成等比数列故选AB10在等差数列an中，a660，且a67|a66|，Sn为数列an的前n项和，则()A公差d0Ba66a670CS1310的n的最小值为132CD解析：a660，且a67|a66|，d0，a67a66，即a67a660，S13266(a1a132)66(a66a67)0，S131131a660的n的最小值为132.11已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则使得为
18、整数的正整数n的值为()A2 B3 C4 D14ACD解析：由题意可得，则3.由于为整数，则n1为15的正约数，则n1的可能取值有3,5,15，因此，正整数n的可能取值有2,4,14.故选ACD12对于数列an，若存在正整数k(k2)，使得akak1，akak1，则称ak是数列an的“谷值”，k是数列an的“谷值点”在数列an中，若an，下面不能作为数列an的“谷值点”的是()A3 B2 C7 D5AD解析：an，故a12，a2，a32，a4，a5，a6，a7，a8.故a2a2，a3a2，故2是“谷值点”；a6a7，a8a7，故7是“谷值点”；a40，q2.a1a1q3a13.a11.a3a1
19、q24.14.已知等差数列an共有10项，其奇数项之和为10，偶数项之和为30，则公差是_4解析：S偶S奇5d20，d4.15.已知数列an满足anan13anan1(nN*)，数列bn满足bn，且b1b2b990，则b5_，b4b6_.1091解析：由题意可得3，即数列bn是公差为3的等差数列，由b1b2b990，得b510，所以b47，b613，b4b691.16.在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积为同一个常数，那么这个数列称为等积数列，这个常数称为该数列的公积已知数列an是等积数列，且a12，公积为5，那么这个数列的前41项的和为_92解析：由题意可得，a12，a2，a32，a4，
20、a392，a40，a412，S4121(2)2092.四、解答题(本题共6小题，共70分)17.(10分)数列an的前n项和为Sn，已知an5Sn3(nN*)，求数列an的通项公式解：当n1时，a15S135a13，得a1.当n2时，由已知an5Sn3，得an15Sn13.两式作差得anan15(SnSn1)5an，anan1，数列an是首项a1，公比q的等比数列ana1qn1n1.18.(12分)已知Sn为等差数列an的前n项和，a18，S1010.(1)求an，Sn；(2)设Tn|a1|a2|an|，求Tn.解：(1)S1010a145d8045d10，d2.an82(n1)102n，Sn
21、9nn2.(2)令an0，得n5.当n5时，TnSn9nn2；当n6时，TnSn2S5n29n40，Tn19.(12分)已知数列an满足(nN*)，且a3，a23a5.(1)求an的通项公式；(2)若bn3anan1(nN*)，求数列bn的前n项和Sn.(1)解：由(nN*)可知数列为等差数列由已知得5，.设其公差为d，则2d5，d，解得1，d2，于是12(n1)2n1，整理得an.(2)由(1)得bn3anan1，所以Sn.20.(12分)某地区原有森林木材存量为a，且每年增长率为25%.因生产建设的需要，每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量(1)求an的表达式(2)
22、为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于a.如果ba，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？(lg 20.30)解：(1)设第一年后的森林木材存量为a1，第n年后的森林木材存量为an，a1abab，a2a1bb2ab，a3a2b3ab.由上面的a1，a2，a3推测annabna4b(其中nN*)证明如下：当n1时，a1ab，结论成立假设当nk时，akka4b成立，则当nk1时，ak1akbbk1a4b.也就是说，当nk1时，结论也成立由可知，anna4b对一切nN*成立(2)当ba时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须小于a，na4a5.两边取对数
23、得nlglg 5，即n7.经过8年后该地区就会发生水土流失.21.(12分)已知数列an的前n项和Sn2an2n.(1)求a1，a2；(2)设cnan12an，证明：数列cn是等比数列；(3)求数列的前n项和Tn.(1)解：a1S1,2a1S12，a1S12.由2anSn2n，知2an1Sn12n1an1Sn2n1，an1Sn2n1，a2S1222226.(2)证明：由题设和式知an12an(Sn2n1)(Sn2n)2n12n2n，即cn2n，2(常数)c1212，cn是首项为2，公比为2的等比数列(3)解：cn2n，.数列的前n项和Tn，Tn，两式相减，得Tn.Tn.22.(12分)已知数列an的前n项和Snann2n2(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)若bn且数列bn的前n项和为Tn，求T2n.解：(1)由于Snann2n2，所以当n2时，Sn1an1(n1)2(n1)2，两式相减得ananan1n1，于是an1n1，所以ann2.(2)由(1)得bn所以T2nb1b2b3b2n(b1b3b2n1)(b2b4b2n)因为b1b3b2n1，b2b4b2n242n，于是T2n.
