1、 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 导数 概念 平均变化率瞬时变化率 曲线上一点处的切线瞬时速度与瞬时加速度 导数的概念导数的几何意义 运算 常见函数的导数基本初等函数的求导公式和、差、积、商的求导法则 应用 函数的单调性函数的极值函数的最值导数在实际生活中的应用 定积分 定积分的概念微积分基本定理 章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题一 导数与解析几何的综合问题我们知道,导数f(x)的几何意义是:函数 f(x)的图象在点(x0,f(x0)处的切线的斜率.利用导数很容易求得曲线的切线的斜率,这为求切线方程或研究曲线的切线带来了很大的方便.而切线问题是解析几何中
2、一种常见的数学问题,高考试题中经常出现,因此要特别注意导数与解析几何知识的综合应用.例 1 设函数 f(x)=12x2-ln x(x0),其中 a 为非零常数.(1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间;(2)若 a0,过点 P(,0)作函数 y=f(x)的导函数 y=f(x)的图象的切线问这样的切线可作几条?并求出所有切线的方程.解:(1)f(x)=x-1=2-1.因为 x0,令 f(x)0 得 x1;令 f(x)0 得 0 x0),则 g(x)=1+12.设切点为 Q(x0,y0),则切线的斜率为 k=g(x0)=1+102,切线方程为y-y0=1+102(x-x0),即 y-1 0
3、-10=1+102(x-x0).由点 P(,0)在切线上知-1 0-10=1+102(-x0),化简得02-2 x0+a=0,即 x0=.所以仅可作一条切线,方程是 y=2(x-).章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 迁移训练 1设曲线 y=e-x(x0)在点 M(t,e-t)处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t).(1)求切线 l 的方程;(2)求 S(t)的最大值.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 解:如图所示,(1)f(x)=(e-x)=-e-x,切线 l 的斜率为-e-t,故切线 l 的方程为 y-e-t=-e-t(
4、x-t),即 e-tx+y-e-t(t+1)=0.(2)在(1)所求的 l 方程中令 y=0,得 x=t+1,又令 x=0,得 y=e-t(t+1).S(t)=12(t+1)e-t(t+1)=12(t+1)2e-t.从而 S(t)=12e-t(1-t)(1+t).当 t(0,1)时,S(t)0;当 t(1,+)时,S(t)0,S(t)的最大值为 S(1)=2e.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 例 2 点 P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2)是函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图象上两点,若对于任意实数 x1,x2,当 x1+x2=0 时,过 P,Q
5、分别作函数 f(x)的图象的切线,则两切线必平行,并且当 x=1 时,函数 f(x)取得极小值 1.(1)实数 a,b,c 的值是否是确定的具体值?若是,求出 a,b,c 的值;若不是,请说明理由.(2)若 M(t,g(t)是函数 g(x)=f(x)+3x-3(1x6)的图象上的一点,以M为切点作函数g(x)的图象的切线,切线与x轴和直线x=6 分别交于A,B两点,直线 x=6 与 x 轴交于 C 点,求ABC 的面积的取值范围.思路分析:(1)根据切线平行f(x1)=f(x2),得一个方程,再根据(1)=0,(1)=1 得两个方程,联立方程组,求 a,b,c.(2)写出切线方程(含参数 t)
6、,从而求出点 A,B,C 的坐标,表示出 SABC,利用导数求值域.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 解:(1)f(x)=3x2+2ax+b,由已知过点 P,Q 的两切线平行,f(x1)=f(x2),即 312+2ax1+b=322+2ax2+b,即 3(12 22)+2a(x1-x2)=0,即 3(x1-x2)(x1+x2)+2a(x1-x2)=0.而 x1+x2=0,且 x1x2,a=0.又当 x=1 时,函数 f(x)取得最小值 1.f(1)=0,且 f(1)=1,即 f(1)=3+b=0,且 f(1)=1+b+c=1.b=-3,且 c=3.故 a=0,b=-3,
7、c=3.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二(2)由(1)知 g(x)=x3-3x+3+3x-3=x3(1x6).g(x)=3x2,切线 AB 的方程为 y-t3=3t2(x-t).A 23 t,0,B(6,18t2-2t3).ABC 的面积为 S=12 6-23 t(18t2-2t3)=23(81t2-18t3+t4)=23t2(9-t)2.S=23(281t-318t2+4t3)=43t(81-27t+2t2)=83t(t-9)-92.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 当 1t0,即 S=23t2(9-t)2 单调递增;当92t6 时,S0,即
8、S=23t2(9-t)2 单调递减.当 t=92时,S 取得最大值为21878.又当 t=1 时,S=1283,当 t=6 时,S=216,而1283 216,故ABC 的面积的取值范围为 1283,21878 .章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 迁移训练 2如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点 C(0,c)任作一直线,与抛物线 y=x2相交于 A,B 两点.一条垂直于 x 轴的直线分别与线段 AB 和直线 l:y=-c 交于点 P,Q.(1)若 =2,求 c 的值.(2)若 P 为线段 AB 的中点,求证:QA 为此抛物线的切线.(3)试问(
9、2)的逆命题是否成立?请说明理由.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 解:设直线 AB 的方程为 y=kx+c,将该方程代入 y=x2 得 x2-kx-c=0.令 A(a,a2),B(b,b2),则 ab=-c.(1)因为 =ab+a2b2=-c+c2=2,解得 c=2 或 c=-1(舍去).故 c=2.(2)证明:由题意知 Q+2,-c,直线 AQ 的斜率为 kAQ=2+c-+2=2-ab-2=2a.又由导数定义得 y=x2 的导数为 y=2x,所以点 A 处切线的斜率为 2a.因此,AQ 为该抛物线的切线.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二(3)
10、(2)的逆命题成立,证明如下:设 Q(x0,-c).若 AQ 为该抛物线的切线,则 kAQ=2a.又直线 AQ 的斜率为 kAQ=2+c-0=2-ab-0,所以2-ab-0=2a,得 2ax0=a2+ab.因为 a0,所以 x0=+2.故点 P 的横坐标为+2,即 P 点是线段 AB 的中点.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 专题二 导数与函数的综合问题导数是研究函数的锐利工具,利用导数不仅可以解决函数的单调性、极值、最值,还可以解决函数中的一些疑难问题,如画出函数图象的草图、研究函数的零点情况、处理恒成立问题等.解决这些问题要综合应用函数知识与导数知识,以及数形结合思
11、想、分类讨论思想、等价转化思想.例 3 求函数 f(x)=ln(1+x2)-12x2+12的极值,并作出函数的大致图象.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 解:由已知可得 f(x)=21+2-x=-31+2=(+1)(1-)1+2,令 f(x)=0,得 x1=-1,x2=0,x3=1.列表如下:x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)f(x)+0-0+0-f(x)极大值f(-1)极小值f(0)极大值f(1)由上表可得函数 f(x)在 x=-1 及 x=1 处取得极大值,分别为 f(-1)=ln2,f(1)=ln2;当 x=0 时,函数 f(x)取得极小值,且
12、极小值为 f(0)=12.由已知可得 f(x)=f(-x),所以函数 f(x)为 R 上的偶函数,根据偶函数图象的性质以及上面的分析可得函数 f(x)的大致图象如图所示.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 方法技巧:本题是函数极值的一道应用型题目.题目利用极值表中表示的单调区间以及极值画出函数的大致图象.这为解决能够利用数形结合方法的题目又提供了一种导数的方法.利用它我们可以作出许多非初等函数的大致图象.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 迁移训练 3设函数 f(x)=x3-6x+5,xR.(1)求 f(x)的单调区间;(2)求 f(x)的极大值和极
13、小值;(3)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同的实数根,求实数 a 的取值范围.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 解:(1)f(x)=3x2-6=0 x=2.列表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)y+0-0+y极大值5+4 2极小值5-4 2f(x)的增区间为(-,-2),(2,+);减区间为(-2,2).(2)由(1)中表知当 x=-2时,y 极大=5+4 2;当 x=2时,y 极小=5-4 2.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二(3)由(1)中表可得 f(x)的大致图象如下图,在同一平面直角坐标系中作 y=f(x)和 y=a
14、 的图象得:5-4 2a5+4 2.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 例 4 已知函数 f(x)=x3+ax2+b 的图象上一点 P(1,0),且在点 P处的切线与直线 3x+y=0 平行.(1)求函数 f(x)的解析式;(2)求函数 f(x)在区间0,t(0t3)上的最大值和最小值;(3)若关于 x 的方程 f(x)=c 在区间1,3上恰有两个相异的实根,求实数 c 的取值范围.思路分析:由导数的几何意义写出过 P 点的切线方程,结合已知条件求出 a,b,利用导数求最值,注意对参数 t 的讨论.求 c 的范围,要借助函数的单调性,用方程的观点列出不等式.章末整合提升
15、知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 解:(1)因为 f(x)=3x2+2ax,曲线在 P(1,0)处的切线斜率为 f(1)=3+2a,即 3+2a=-3,a=-3.又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2,所以 a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.(2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+2,f(x)=3x2-6x.由 f(x)=0,得 x=0 或 x=2.当 0t2 时,在区间(0,t)上 f(x)0,f(x)在0,t上是减函数,所以 f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 当
16、2t3 时,当 x 变化时,f(x),f(x)的变化状态见下表:x0(0,2)2(2,t)tf(x)0-0+f(x)2-2t3-3t2+2f(x)min=f(2)=-2.f(x)max 为 f(0)与 f(t)中较大的一个.又f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)0,f(x)max=f(0)=2.(3)令 g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c,g(x)=3x2-6x=3x(x-2).在 x1,2)上,g(x)0.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 要使 g(x)=0 在1,3上恰有两个相异的实根,则(1)0,(2)0,(3)0,解得-2c0.规律总结:本
17、题中用了分类讨论的思想、数形结合的思想以及用函数的观点去解决问题,要注意对数学思想方法的应用和总结.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 迁移训练 4已知函数 f(x)=ax+ln x,x(1,e),且 f(x)有极值.(1)求实数 a 的取值范围;(2)求函数 f(x)的值域;(3)函数 g(x)=x3-x-2,证明:x1(1,e),x0(1,e),使得 g(x0)=f(x1)成立.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二 解:(1)由 f(x)=ax+ln x 求导可得 f(x)=a+1.令 f(x)=a+1=0,可得 a=-1.x(1,e),-1 -1
18、,-1e.a-1,-1e.又x(1,e),列表如下:x 1,-1a-1a-1a,f(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减由上表知,f(x)有极值.f(x)有极值时,实数 a 的取值范围为-1,-1e.章末整合提升 知识网络构建 专题归纳整合 专题一 专题二(2)由(1)可知 f(x)的极大值为 f-1=-1+ln-1,又f(1)=a,f(e)=ae+1,由 aae+1,解得 a 11-e.又-1 11-e-1e,当-1a 11-e时,函数 f(x)的值域为 e+1,-1+ln -1 ,当 11-ea0,解得 x 33.又x(1,e)33,+,g(x)在(1,e)上为增函数.g(1)=-2,g(e)=e3-e-2,g(x)在 x(1,e)上的值域为(-2,e3-e-2).e3-e-2-1+ln-1,-2ae+1,-2a,e+1,-1+ln -1 (-2,e3-e-2),且,-1+ln -1 (-2,e3-e-2).x1(1,e),x0(1,e),使得 g(x0)=f(x1)成立.
