1、8.2空间点、直线、平面之间的位置关系考情考向分析主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断，题型主要以填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力1四个公理、三个推论公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行
2、2直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类(2)异面直线所成的角定义：设a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线aa，bb，把直线a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围：.3直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况4平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况5定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等知识拓展1唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知
3、平面垂直2异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果两个不重合的平面，有一条公共直线a，就说平面，相交，并记作a.()(2)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面()(5)没有公共点的两条直线是异面直线()(6)若a，b是两条直线，是两个平面，且a，b，则a，b是异面直线()题组二教材改编2P29例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面
4、直线B1C与EF所成角的大小为_答案60解析连结B1D1，D1C，则B1D1EF，故D1B1C即为所求的角又B1D1B1CD1C，B1D1C为等边三角形，D1B1C60.3P31习题T15如图，在三棱锥ABCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件_时，四边形EFGH为正方形答案(1)ACBD(2)ACBD且ACBD解析(1)四边形EFGH为菱形，EFEH，故ACBD.(2)四边形EFGH为正方形，EFEH且EFEH，EF綊AC，EH綊BD，ACBD且ACBD.题组三易错自纠4已知l，m，n为不
5、同的直线，为不同的平面，则下列判断正确的是_(填序号)若m，n，则mn；若m，n，则mn；若l，m，m，则ml；若m，n，lm，ln，则l.答案解析中，m，n可能的位置关系为平行、相交、异面，故错误；中，m与n也有可能平行，错误；中，根据线面平行的性质可知正确；中，若mn，根据线面垂直的判定可知错误5设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是_(填序号)在平面内有且只有一条直线与直线m垂直；过直线m有且只有一个平面与平面垂直；与直线m垂直的直线不可能与平面平行；与直线m平行的平面不可能与平面垂直答案解析对于，在平面内有且只有一条直线与直线m垂直，过交点与直线m垂直的直线只有一条，在平面内
6、与此直线平行的直线都与m垂直，不正确；对于，过直线m有且只有一个平面与平面垂直，在直线m上取一点作平面的垂线，两条直线确定一个平面与平面垂直，正确；对于，与直线m垂直的直线不可能与平面平行，不正确；对于，与直线m平行的平面不可能与平面垂直，不正确6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为_答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行故互为异面的直线有且只有3对题型一平面基本性质的应用典例
7、如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图，连结EF，CD1，A1B.E，F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示则由PCE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点思维升华 共面、共线、共点问题的证明(1)证明点或线共面问题的两种方法：首先由所给条件中的部分线(或
8、点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(2)证明点共线问题的两种方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点跟踪训练 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明(1)E，F分别为AB，AD的中点，EFBD.在BCD中，GHBD，EFGH.E，
9、F，G，H四点共面(2)EGFHP，PEG，EG平面ABC，P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，PAC，P，A，C三点共线题型二判断空间两直线的位置关系典例 (1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面内，l2在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是_(填序号)l与l1，l2都不相交；l与l1，l2都相交；l至多与l1，l2中的一条相交；l至少与l1，l2中的一条相交答案解析方法一由于l与直线l1，l2分别共面，故直线l与l1，l2要么都不相交，要么至少与l1，l2中的一条相交若ll1，ll2，则l1l2，这与l1，l2是异面
10、直线矛盾故l至少与l1，l2中的一条相交方法二如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故不正确(2)如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案解析在图中，直线GHMN；在图中，G，H，N三点共面，但M平面GHN，NGH，因此直线GH与MN异面；在图中，连结GM，GMHN，因此GH与MN共面；在图中，G，M，N共面，但H平面GMN，GMN，因此GH与MN异面所以在图中GH与MN异面思维升华 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行
11、和垂直的判定对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决跟踪训练 (1)已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的_条件答案充分不必要解析若直线a和直线b相交，则平面和平面相交；若平面和平面相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交(2)已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为_答案1解析在空间中，若ab，ac，则b，c可能平行，也
12、可能相交，还可能异面，所以错，显然成立题型三求异面直线所成的角(选讲)典例 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为_答案解析连结BC1，易证BC1AD1，则A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角连结A1C1，由AB1，AA12，易得A1C1，A1BBC1，故cosA1BC1，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角如果求出的角
13、是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角跟踪训练 如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，D是AC的中点，AA1AB1，则异面直线AB1与BD所成的角为_答案60解析取A1C1的中点E，连结B1E，ED，AE，在RtAB1E中，AB1E为异面直线AB1与BD所成的角设AB1，则A1A，AB1，B1E，故AB1E60.构造模型判断空间线面位置关系典例 已知m，n是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，mn，则；若m，n，则mn.其中所有正确的命题是_(填序号)思想方法指导本题可通过构造模型法完成，构
14、造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后利用模型直观地对问题作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断解析借助于长方体模型来解决本题，对于，可以得到平面，互相垂直，如图(1)所示，故正确；对于，平面，可能垂直，如图(2)所示，故不正确；对于，平面，可能垂直，如图(3)所示，故不正确；对于，由m，可得m，因为n，所以过n作平面，且g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为mg，所以mn，故正确答案1在下列命题中，不是公理的是_(填序号)平行于同一个平面的两个平面相互平行；过不在同一条直线上
15、的三点，有且只有一个平面；如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案解析是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的2在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与直线A1B1，EF，BC都相交的直线有_条答案无数解析在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交3
16、(2017江苏昆山中学质检)已知平面平面，l，点A，直线ABl，直线ACl，直线m，m，则下列四种位置关系中，不一定成立的是_ABm；ACm；AB；AC.答案解析如图所示，ABlm；ACl，mlACm；ABlAB，只有不一定成立4直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角为_答案60解析如图，延长CA到点D，使得ADAC，连结DA1，BD，则四边形ADA1C1为平行四边形，所以DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角又A1DA1BDB，所以A1DB为等边三角形，所以DA1B60.5下列命题中，正确的是_(填序号)若a，b是两条直线，是两个平面
17、，且a，b，则a，b是异面直线；若a，b是两条直线，且ab，则直线a平行于经过直线b的所有平面；若直线a与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行；若直线a平面，点P，则平面内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条答案解析对于，当，a，b分别为第三个平面与，的交线时，由面面平行的性质可知ab，故错误对于，设a，b确定的平面为，显然a，故错误对于，当a时，直线a与平面内的无数条直线都平行，故错误知正确6以下四个命题中，不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；依次首尾相
18、接的四条线段必共面正确命题的个数是_答案1解析显然是正确的；中若A，B，C三点共线，则A，B，C，D，E五点不一定共面；中构造长方体(或正方体)，如图所示，显然b，c异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面，故只有正确7给出下列命题，其中正确的命题为_(填序号)如果线段AB在平面内，那么直线AB在平面内；两个不同的平面可以相交于不在同一直线上的三个点A，B，C；若三条直线a，b，c互相平行且分别交直线l于A，B，C三点，则这四条直线共面；若三条直线两两相交，则这三条直线共面；两组对边相等的四边形是平行四边形答案8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，B
19、E，EF，EC的中点，在这个正四面体中：GH与EF平行；BD与MN为异面直线；GH与MN成60角；DE与MN垂直以上四个命题中，正确命题的序号是_答案解析把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60角，DEMN.9如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且ABCD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为_答案4解析EF与正方体左、右两侧面均平行，所以与EF相交的平面有4个10. 如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切
20、值为_答案解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以ADBC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D圆柱下底面，所以C1DAD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1DAD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点求证：D1，H，O三点共线证明如图，连结BD，B1D1，则BDACO，BB1綊DD1，四边形BB1D1D为平行
21、四边形，又HB1D，B1D平面BB1D1D，则H平面BB1D1D，平面ACD1平面BB1D1DOD1，HOD1.即D1，H，O三点共线12.如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCAD，BEAF且BEAF，G，H分别为FA，FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FGGA，FHHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC.四边形BCHG为平行四边形(2)解BE綊AF，G是FA的中点，BE綊FG，四边形BEFG为平行四边形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EF
22、CH，EF与CH共面又DFH，C，D，F，E四点共面13若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1l2，l2l3，l3l4，则下列结论一定正确的是_(填序号)l1l4；l1l4；l1与l4既不垂直也不平行；l1与l4的位置关系不确定答案解析如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，记l1DD1，l2DC，l3DA.若l4AA1，满足l1l2，l2l3，l3l4，此时l1l4，可以排除.若取C1D为l4，则l1与l4相交；若取BA为l4，则l1与l4异面；若取C1D1为l4，则l1与l4相交且垂直因此l1与l4的位置关系不能确定14.如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB
23、的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是_(填序号)BM是定值；点M在某个球面上运动；存在某个位置，使DEA1C；存在某个位置，使MB平面A1DE.答案解析取DC的中点F，连结MF，BF，则MFA1D且MFA1D，FBED且FBED，所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球上，可得正确；由MFA1D与FBED可得平面MBF平面A1DE，又MB平面MBF，所以MB平面A1DE.可得正确；若存在DEA1C，则因为DE2CE2CD2，即CEDE，因为A
24、1CCEC，则DE平面A1CE，所以DEA1E，与DA1A1E矛盾，故不正确15两条相交直线l，m都在平面内且都不在平面内命题甲：l和m中至少有一条与相交；命题乙：平面与相交则甲是乙成立的_条件(填写“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)答案充要解析若l和m中至少有一条与相交，不妨设lA，则由于l，所以A.而A，所以与相交反之，若a，若l和m都不与相交，由于它们都不在平面内，则l且m.所以la且ma，进而得到lm，这与已知l，m是相交直线矛盾因此l和m中至少有一条与相交16空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD1，则AC的取值范围是_答案(0，)解析如图1所示，ABD与BCD均为边长为1的正三角形，当ABD与CBD重合时，点A与点C重合将ABD以BD为轴转动，到A，B，C，D四点共面时，AC，如图2.故AC的取值范围是0AC.
