1、高考资源网（） 您身边的高考专家北京市八一学校20192020学年度高二年级10月考（数学）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合，再根据交集运算求解.【详解】因为，所以，又因为，所以.故答案为：D.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.2.如果，那么下列不等式中正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用先确定，再利用不等式的性质求解.【详解】因为，所以，因为，所以.故选：
2、C.【点睛】本题主要考查不等式的性质，不等式两边同乘一个负数，不等号要改变，侧重考查逻辑推理的核心素养.3.已知、是公比为的等比数列，则（ ）A. 1B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据、是公比为的等比数列，得出，代入可求.【详解】因为、是公比为的等比数列，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的运算，明确项之间的关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4.已知等差数列的前项和为，是（ ）A. 5B. 5C. 2.5D. 2.5【答案】C【解析】【分析】根据条件先求解首项和公差，结合求和公式及通项公式可求.【详解】设等差数列的公差为，因为，所以，即.由可得，所以
3、，.所以.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，熟记求和公式及通项公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.5.已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则函数在处的导数值为（ ）A. 2B. 1C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】先求解曲线的切线方程，结合导数的几何意义可得.【详解】因为直线经过，两点，所以直线的方程为，又直线与曲线切于点，所以在处的导数值等于直线的斜率1.故选：C.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，切点处的导数值等于切线的斜率，这是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.6.已知数列的前项和为，且.若数列为递增数列，则实数的取值范围为（ ）A. B. C
4、. D. 【答案】B【解析】【分析】先根据条件求解通项公式，然后递增数列的特点求解的取值范围.【详解】当时，；当时，因为，所以当时，数列为递增数列.若数列为递增数列，只需，所以，即.故选：B.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和数列的单调性，由求解时，公式是关键，侧重考查数学运算的核心素养.7.若，成立，则自然数的最大值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】把条件，成立，转化为求解的最大值来进行求解.【详解】当时，有；当时，.因为时，所以，且时等号成立；因为时，所以，且时等号成立；综上可得自然数的最大值为2.故选：C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求解最值，
5、区分恒成立与能成立不同，同时还要注意基本不等式成立的条件，侧重考查数学运算的核心素养.8.对等差数列和等比数列，下列推断中有时不成立的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用等差数列和等比数列的性质进行判断.【详解】对于等差数列，若，则，故A正确；由可知，C正确；对于等比数列，故D正确；当，公比时，有，但是，所以B选项有时不成立.故选：B.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，等比数列中公比和首项的符号共同决定数列的单调性，侧重考查逻辑推理的核心素养.9.张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同
6、量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项,一月按30天计可得,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又,解得 .故本题选B.10.对数列，记前项和为.下列四个结论中一定成立的是（ ）A. 若（、是常数），则是等差数列B. 若，则既是等差数列又是等比数列C. 若，则等比数列D. 若是等比数列，则，也成等比数列【答案】C【解析】【分析】结合等差数列和等比数列的性质进行逐项判断.【详解】对于A，当时，不是等差数列，故A不正确；对于B，若，则是等
7、差数列，不是等比数列，故B不正确；对于C，当时，当时，所以是等比数列；对于D，若，则，不成等比数列.故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的性质，特例法是求解这类问题的妙方，侧重考查逻辑推理的核心素养.二、填空题（本大题共6小题，共30分）11.若时，函数最小值为5，则正实数_.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求出最小值，结合条件可得的值.【详解】因为，所以，所以，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时注意适用条件，侧重考查数学运算的核心素养.12.已知等差数列中，前项和记为，则_.【答案】【解析】【分析】根据，可求公差，结合等差数列的求
8、和公式可得.【详解】设等差数列的公差为，则，所以，.故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，根据通项公式求解公差是关键，侧重考查了数学运算的核心素养.13.数列的通项公式是，那么它的前项和最大时的的值是_.【答案】【解析】【分析】先判断数列的单调性，找到符号变号的临界项就能得到结果.【详解】因为，所以，即数列是单调递减的等差数列，令得，即，所以前项和最大时的的值是.故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列前项和的最值问题，一般有两种思路，一是利用通项公式寻求正负项的界限；二是利用二次函数知识求解.侧重考查数学运算的核心素养.14.已知抛物线的每个点都不在直线的下方.如果直线经过点
9、，那么它的斜率的值可能是_（写出1个满足条件的实数值即可）.【答案】2(答案不唯一，满足的值均可)【解析】【分析】先求直线与抛物线相切时的斜率，从而可得满足条件的斜率的值.【详解】设直线恰好与抛物线相切，则由得，解得，所以当时，抛物线的每个点都不在直线的下方.故答案为：2(答案不唯一).【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，直线与抛物线相切时，一般利用判别式为零求解，侧重考查数学运算的核心素养.15.已知数列满足，则等于_.【答案】【解析】【分析】根据，得出奇数项成等比数列，然后可求.【详解】因为，所以，两式相除可得，所以奇数项成等比数列，且公比为2，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考
10、查等比数列的通项公式，根据条件得出等比数列是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.数列满足：，则此数列的前32项和=_.【答案】【解析】【分析】利用条件中递推关系式，得出数列的特点，相邻奇数项和为1，相邻偶数项的和为等差数列，然后利用分组求和进行求解.【详解】因为，所以，所以，所以依次取2个相邻奇数项的和都为1，从第二项起，依次取2个相邻偶数项的和构成等差数列，且首项为5，公差为8.所以此数列的前32项和为.故答案为：.【点睛】本题主要考查数列的递推关系及数列求和问题，根据数列通项的特点选择合适的求和方法是解题关键，侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，
11、共40分）17.设等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，求数列前项和.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）根据，可得公差，然后可求数列的通项公式；（2）先根据条件求出等比数列的首项和公比，然后利用求和公式求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，所以，所以.（2）由（1）知，所以公比为，所以.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及等比数列的求和，熟记相关公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18.工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万
12、元，仓储费为5万元.求：工厂和仓库之间的距离为多少千米时，运费与仓储费之和最小，最小为多少万元.【答案】工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元.【解析】【分析】先设出比例系数，利用已知求出系数，结合基本不等式求解最值.【详解】设工厂和仓库之间的距离为千米，运费为万元，仓储费为万元，则；当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，所以；所以运费与仓储费之和为，因为，当且仅当，即时，运费与仓储费之和最小为万元.故工厂和仓库之间的距离为2千米时，运费与仓储费之和最小，最小为20万元.【点睛】本题主要考查基本不等式的实际应用，关键是构建数学模型，侧重
13、考查数学建模的核心素养.19.已知数列，前项和记为，请在如下3个条件下选择一个，然后求相应的通项公式及其前项和公式.（1），（2），（3），【答案】（1），；（2），；（3）【解析】【分析】（1）对已知条件取倒数构造等差数列，利用等差数列的知识可求；（2）利用的关系进行求解，结合等比数列的通项公式和求和公式可得；（3）利用的关系进行求解，结合等差数列的通项公式和求和公式可得.【详解】（1）因为，所以，即，；两式相减可得，即；因为，所以，所以，其前前项和为.（2）当时，；当时，两式相减可得，即，所以；综上；当时，其前项和公式为；当时，.（3）当时，解得；当时，两式相减可得，整理可得，因为，所以，
14、所以，.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解方法，知求通项公式公式时，要注意分类讨论，验证首项是否满足，侧重考查数学运算的核心素养.20.已知有限项的、正整数的递增数列，并满足如下条件：对任意不大于各项总和的正整数，总存在一个子列，使得该子列所有项的和恰好等于.这里的子列是指由原数列中的一部分项（包括一项、所有项）组成的新数列.（1）写出，的值；（2）“成等差数列”的充要条件是“各项总和恰好是其项数、项数平方值的等差中项”.为什么？请说明理由.（3）若，写出“项数最少时，中的最大项”的值.【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）当取最小值时，的最大值为1010.【解析】【分析】（1）利用数列
15、是正整数的递增数列及题意可求；（2）先利用等差数列求和公式证明必要性，再利用放缩法证明充分性；（3）由题意可知，恒成立，由可得，由集合分类进行验证可得的最大值.【详解】（1）因为，且是递增的正整数数列，由题意可知.（2）先证必要性：因为，且成等差数列，所以，所以.再证充分性：因为是递增的正整数数列，所以，所以，又因为，所以（），故是等差数列.（3）先证明恒成立.假设存在，且为最小的正整数.依题意，则，又因为，故当时，不能等于任何子列所有项的和.故假设不成立，即恒成立.因此，即，所以.因为，则，若时，则当时，不能等于任何子列所有项的和.故，即.此时可构造集合.当时，可以等于集合中若干个元素的和；当时，可以等于集合中若干个元素的和；当时，可以等于集合中若干个元素的和；当时，可以等于集合中若干个元素的和；当时，可以等于集合中若干个元素的和；所以当取最小值时，的最大值为1010.【点睛】本题主要考查数列的通项公式，综合了充要条件，数列最值等问题，难度较大，综合性较强，充分理解题意是求解的关键，侧重考查学生的创新能力.高考资源网版权所有，侵权必究！
