1、第五章 第五节 数列的综合应用课下练兵场命 题 报 告 难度及题号知识点 容易题(题号)中等题(题号)稍难题(题号)等差、等比数列的综合问题1、26、811数列在实际问题中的应用45、9、1012数列与解析几何、不等式的综合应用37一、选择题1.已知a，bR，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是 ()A.abAGB.abAG C.abAG D.不能确定解析：依题意A，G，AGabab()0，AGab. 答案：C2.等差数列an的前n项和为Sn，S918，S1352，等比数列bn中，b5a5，b7a7，则b15的值为 ()A.64 B.64 C.128 D.1
2、28解析：因为S9(a1a9)9a518，S13(a1a13)13a752，所以a52，a74，又b5a5，b7a7，所以q22，b15b7q841664.答案：B 3.在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则OP1P2的面积是 ()A.1 B.2 C.3 D.4解析：根据等差、等比数列的性质，可知x12，x23，y12，y24.P1(2,2)，P2(3,4).SOP1P21.答案：A4.(2010黄冈模拟)据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过
3、的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是 ()A.10秒钟 B.13秒钟 C.15秒钟 D.20秒钟解析：设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，an，则数列an是首项a12，公差d2的等差数列，由求和公式有na1240，即2nn(n1)240，解得n15.答案：C5.某人为了观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为
4、 ()A.a(1p)4 B.a(1p)5C.(1p)4(1p) D. (1p)5(1p)解析：依题意，可取出钱的总数为a(1p)4a(1p)3a(1p)2a (1p)a(1p)5(1p).答案：D6.(2009湖北高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如： 他们研究过图1中的1,3,6,10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形 数；类似地，称图2中的1,4,9,16，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ()A.289 B.1024 C.1225 D.1378解析：根据图形的规律可知第n个三角形数为an，第n个正方形数为bnn2.由此可排除D(1
5、378不是平方数).将A、B、C选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C选项.答案：C二、填空题7.已知函数f(x)abx的图象过点A(2，)，B(3,1)，若记anlog2f(n)(nN*)，Sn是数列an的前n项和，则Sn的最小值是.解析：将A、B两点坐标代入f(x)得f(x)2x，f(n)2n2n3，anlog2f(n)n3.令an0，即n30，n3.数列前3项小于或等于零，故S3或S2最小.S3a1a2a32(1)03.答案：38.如图，它满足：(1)第n行首尾两数均为n；(2)图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n2)行的第2个数是. 解析：设第n(n2)行的第2个数构成数
6、列an，则有a3a22，a4a33，a5a44，anan1n1，相加得ana223(n1)(n2)an2.答案：9.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出万元资金进行奖励.解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a1，a2，a10，则anSn1，则a12， anan1an，即an2an1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S102046.答案：2046三、解答题10.某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行
7、改革，经济危机后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得经济危机第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且经济危机后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自经济危机后第一个月起累计收入Tn与时间n(以月为单位)的关系为Tnanb，且经济危机第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问经济危机后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.解：则该公司经济危机后经过n个月，改革后的累计纯收入为Tn300n，不改革时的累计纯收入为70n3n2， 由题意建立不等式80n10300n70n3nn(n1)，即n211n2900，
8、得n12.4.nN*，取n13.则经济危机后经过13个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.11.已知等差数列an的前n项和为Sn，公差d0，a11，且a1，a2，a7成等比数列.(1)求数列an的前n项和Sn；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，求证：2Tn9bn118(n1).解：(1)a1，a2，a7成等比数列，aa1a7，即(a1d)2a1(a16d)，又a11，d0，d4.Snna1dn2n(n1)2n2n.(2)证明：由(1)知bn2n，bn是首项为2，公差为2的等差数列， Tnn2n，2Tn9bn1182n22n18(n1)182n216n362(n28n16
9、)42(n4)244，当且仅当n4时取等号.4.当且仅当n，即n3时取等号. 又中等号不能同时取到，2Tn9bn118(n1).12.某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了1条和余下的y1条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下的x条(x1).(1)设第k次播放后余下ak条，这里a0y，ax0，求ak与ak1的递推关系式；(2)求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广告的条数y.解：(1)依题意，第k次播放了k(ak1k)ak1k，akak1(ak1k).ak1kak，即ak与ak1的递推关系式为ak1kak.(2)a01a11(2a2)12()2a2123()2()3a3123()2x()x1()xax.ax0，y123()2x()x1.用错位相减法求和，可得y49(x7).故这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49.
