1、反客为主妙解题论文关键词：变元引参 反客为主 妙解题论文摘要：解题是认知最复杂的提炼过程，需要综合运用常规思考和基本技能，并在其上进行创造性思维。更多的时候，解题被“正统”所封闭，毫无建树。若打开“封闭”之门，变元引参，主次互易，“反客为主”，亦能“柳暗花明又一村”。那么，在数学教学中如何“反客为主妙解题”？本文通过案例点评，提供一种解题技巧。解数学题时，当你困惑在“正统”的封闭圈时，把封闭的“题门”打开，变元引参，先作“反客为主”,等问题解决后，再实现“主归原位”.如果题目中既有主元，又有参数，其主次分明，你若墨守成规，可能毫无建树；而让主次互易，“反客为主”，却往往大获生机；如果题目中没有
2、参数，也不妨选择恰当的参数，还可以走“反客为主”之路.【例 1】 设不等式mx22xm+10对于满足的一切m的值都成立，求x的取值范围.【解析】 设f(m)=mx2-2x-m+1=(x2-1)m-(2x-1)，依题意有 f(-2)0f(2)0， 解得x【点评】 本题是关于x的一元二次不等式，视m为主元，则它是关于m的一元一次不等式，转换视角，反客为主，巧用函数性质是处理范围问题的有效途径.【例 2】 对于任意a,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,那么x的取值范围是_ 【解析】 f(a)=(x-2)a+x2-4x+4 依题意有0,即(x-2)2(x-1)(x-3)0解得x的
3、取值范围是(-,1)(3,+). 【点评】 本题是关于x的二次函数,视a为主元，则它是关于a的一次函数，反客为主，巧用一次函数性质,问题迎刃而解.【例 3】 求证对任意mR,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5,恒过定点.【解析】 以m为主元改写原方程(x+2y-1)m=x-y-5，此方程(关于m的)有任意实数解的条件是X+2y=1 x=9X+y=5 即 y=-4对任意mR,该直线恒过定点(9,-4).【点评】 本题以m为主元改写原方程,反客为主.【例 4】 设a、b、c为绝对值小于1的实数，那么A=ab+bc+ca+1的值 ( )A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负【解析】 设A=
4、f(a)=a(b+c)+bc+1为关于实数a的一次函数，由于a、b、c(-1,1),则f(-1)=(1-b)(1-c)0；f(1)=(b+1)(c+1)0，故f(a)0恒成立.选A【点评】 本题中有三个变量a、b、c，解题时不分主次难以处理.选择以其中一个为主，其余两个为次，反客为主，解决问题就方便了.【例 5】 已知a、b、c是互不相等的实数，且abc0，解方程组 【解析】 设方程t3x-t2y+tz1 那么，是方程 的各不相等的实根，构造三次方程：或(at-1)(bt-1)(ct-1)=0abct3-(ab+bc+ca)t2+(a+b+c)t-1=0 x=abc比较与,得 y=ab+bc+
5、ca 此为原方程组的解. z=a+b+c【点评】 本题三元一次方程组互不相同的系数有9个，若通过代入或消元求解何其难也.因为三个方程形式完全一致，反客为主，用构造法和待定系数法等手段，得到妙解.【例 6】 点p(x,y)是圆x2+(y-1)2=1上的任意一点,若不等式x+y+c0恒成立,求c的取值范围.【解析】 因为点p(x,y)是圆x2+(y-1)2=1上的任意一点,则x=cos,y-1=sin,由x+y+c0得c-(x+y)=-1-(sin+cos)=-1-sin(+)-1因为-1-(sin+cos)=-1-sin(+)-1所以c-1【点评】 本题将x,y 看作主变量, 反客为主，分离出c与x,y 的关系,问题得以解决.【例 7】 函数f(x)x24ax+2a+300对一切实数x恒成立，试确定方程的根的取值范围.【解析】 xR,f(x)0恒成立，0,即(4a)2-4(2a+30)0，解得a3由,即x=(a+3)+(a+3)当a时,x=(a+3)(1-a)+(a+3)=a1,当a=-时,x=；当a时，x当a(1，3)时,x=a(a+3)=a2+3a=(a+)2-1a3，当a=1时, x=4；当a3时，x=18 4x18综上：x18【点评】 由,分离变量x=(a+3)+(a+3),将a视为主元, 反客为主，求出a的范围,进而确定x的取值范围.此文发表于考试研究2009年第9期
