1、5 从力做的功到向量的数量积 必备知识自主学习 1.向量的夹角 导思1.向量夹角的范围是什么?2.向量数量积的运算律是什么?定义已知两个_a和b,作 =a,=b,则AOB=叫作向量a与b的夹角范围_特例=0a与b_=180a与b_=90a与b垂直,记作ab,规定_可与任一向量_非零向量 0 180 同向 反向 0 垂直 OAOB【思考】(1)向量夹角公式适用范围是什么?提示:向量夹角公式仅适用于两个非零向量.(2)两个向量的数量积大于0,其夹角一定为锐角吗?提示:两个向量的数量积大于0,其夹角不一定为锐角,当夹角为0时,数量积也大于0.2.向量的数量积(1)投影 设向量a与向量b的夹角为,则_
2、叫作向量b在a方向上的投影数量(也叫投影).如图,当 为锐角时,|b|cos 0;当=90时,|b|cos =0;当 为钝角时,|b|cos 0ab0.()(3)对于任意向量a,b,总有(ab)2=a2b2.()(4)对于向量a,b,c,等式(ab)c=a(bc).()2.已知|a|=4,|b|=2 ,且a与b的夹角为135,则ab=_.【解析】ab=|a|b|cos 135=42 =-8.答案:-8 222()23.(教材二次开发:例题改编)已知|a|=8,e为单位向量,当它们的夹角为 时,a在e方向上的投影为_.【解析】由题意可知,a在e方向上的投影为|a|cos =8 =4.答案:4 3
3、123关键能力合作学习 类型一 平面向量数量积的概念及运算(数学抽象)【题组训练】1.对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是()A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b|C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)(a-b)=a2-b2 2.(2020常德高一检测)已知|a|=5,b在a方向上的射影为6,则ba=_.3.已知|a|=10,|b|=4,a与b的夹角=120.求:(1)ab.(2)a在b方向上的射影.(3)(a-2b)(a+b).(4)(a-b)2.【解题策略】求平面向量数量积的步骤(1)求a与b的夹角,0,.(2)分别求出|a|和|b|.(3)利用数量积的定义:ab=|
4、a|b|cos 求解.要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接,而不能用“”连接,更不能省略不写.提醒:若所求形式比较复杂,则应先运用数量积运算律展开、化简,再确定向量的模和夹角,最后根据定义求出数量积.类型二 向量夹角问题(逻辑推理)角度1 求向量夹角 【典例】已知向量|a|=2,|b|=1,a(a-2b)=2,则a与b的夹角为()A.30 B.60 C.90 D.150【思路导引】由题意先求出向量a与b的数量积,再根据数量积的定义求出夹角 的余弦值,进而得到夹角的大小.【变式探究】（2020全国卷）已知向量a,b满足 ,ab=-6，则cosa,a+b=（）【解析】选D.由a（a+b）=
5、+ab=25-6=19,又 =7，所以cosa,a+b=13191719A.B.C.D.35353535|5,|6ab2|a|ab222aa bb1919.|5 735a aba ab（）角度2 向量垂直问题 【典例】(2020长沙高一检测)设a与b是相互垂直的两个向量,|a|=2,|b|=1 且满足(a+b)(a-b),则=()A.B.4 C.2 D.【思路导引】由题意得到ab=0,再根据(a+b)(a-b),得到(a+b)(a-b)=0,展开代入已知条件,得到 的方程,求出答案.1214【解题策略】1.求向量夹角的基本步骤 2.向量垂直问题的处理思路 解决与垂直相关题目的依据是abab=0
6、,利用数量积的运算代入,结合与向量的模、夹角相关的知识解题.【题组训练】1.若非零向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)b=0,则a与b的夹角 为()A.30 B.60 C.120 D.150【解析】选C.因为(2a+b)b=0,所以2ab+b2=0.所以2|a|b|cos+|b|2=0.又因为|a|=|b|,所以cos=-,即=120.122.（2020全国卷）已知单位向量a,b的夹角为45，ka-b与a垂直，则 k=_.【解析】由题意可得：ab=11cos 45=，由向量垂直的充要条件 可得（ka-b）a=0，即：ka2-ab=k-=0，解得k=.答案：22222222【补偿训练】已知
7、|a|=1,|b|=2,a-b与a垂直,求当k为何值时,(ka-b)(a+2b)?【解析】因为a-b与a垂直,所以(a-b)a=0,所以a2-ab=0,所以ab=|a|2=1,要使得(ka-b)(a+2b),只要(ka-b)(a+2b)=0,即k|a|2+(2k-1)ab-2|b|2=0,所以k+(2k-1)-222=0,所以k=3.3.已知|a|=1,ab=,(a-b)(a+b)=.求a与b的夹角.【解析】因为(a-b)(a+b)=|a|2-|b|2=,又|a|=1,所以|b|2=,所以|b|=.设a与b的夹角为,则cos=所以=45,所以a与b的夹角为45.1212121222122,22
8、12a ba b课堂检测素养达标 1.对于向量a,b,c和实数,下列命题中正确的是()A.若ab=0,则a=0或b=0B.若 a=0,则a=0或=0 C.若a2=b2,则a=b或a=-bD.若ab=ac,则b=c【解析】选B.由向量数量积的运算性质,知A,C,D错误.2.设向量ab=40,a,b夹角为,|b|=10,则a在b方向上的射影为()A.4 B.4 C.40 D.8+【解析】选A.a在b方向上的射影为|a|cos .由ab=|a|b|cos =40 且|b|=10,得|a|cos =4.3323.(教材二次开发:习题改编)已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则向量a与向量 b
9、的夹角是()A.B.C.D.【解析】选C.根据已知可得:ab-a2=2,整理得ab=3,所以cos=所以夹角为 .64321,2a ba b34.已知平面向量a与b的夹角为 ,且|b|=1,|a+2b|=2,则|a|=_.【解析】因为|a+2b|=2,所以(a+2b)2=a2+4b2+4ab=4,所以|a|2+4+4|a|b|cos =4,整理得|a|=2(|a|=0舍去).答案:2 23235.已知向量a,b的夹角为60,且|a|=1,|b|=2,求:(1)ab.(2)|a-b|.【解析】(1)因为向量a,b的夹角为60,且|a|=1,|b|=2,所以ab=|a|b|cos 60=12 =1.(2)因为|a-b|=,所以|a-b|=.122ab222aba b22122 13 3
