1、椭圆方程及性质的应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013重庆高二检测)已知直线l过点(3,-1),且椭圆C:+=1,则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A.1B.1或2C.2D.02.若AB为过椭圆+=1的中心的弦,F1为椭圆的左焦点,则F1AB面积的最大值为()A.6B.12C.24D.363.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离为()A.3B.C.D.24.直线y=1-x交椭圆mx2+ny2=1于M,N两点,MN的中点为P,若kOP=(O为原点),则等于()A.B.C.-D.-5.(2013南昌高二检测)已知椭圆的一个焦点为F,若椭圆上存在点P,
2、满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF的中点,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013绵阳高二检测)短轴长为,离心率e=的椭圆的两焦点为F1,F2,过F1作直线交椭圆于A,B两点,则ABF2的周长为.7.(2013宜春高二检测)椭圆+=1(ab0)的离心率为,若直线y=kx与其一个交点的横坐标为b,则k的值为.8.过椭圆+=1内的一点P(2,-1)的弦AB,满足=(+),则这条弦所在的直线方程是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013合肥高二检测)已知椭圆C的焦点F1(-2,0)和F2(2,0),长轴长为6,设直线l
3、交椭圆C于A,B两点,且线段AB的中点坐标是P(-,),求直线l的方程.10.(2013安阳高二检测)已知椭圆的两焦点为F1(-,0),F2(,0),离心率e=.(1)求此椭圆的方程.(2)设直线l:y=x+m,若l与此椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|等于椭圆的短轴长,求m的值.11.(能力挑战题)已知大西北某荒漠上A,B两点相距2km,现准备在荒漠上开垦出一片以AB为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园,按照规划,围墙总长为8km.(1)试求四边形另两个顶点C,D的轨迹方程.(2)农艺园的最大面积能达到多少?(3)该荒漠上有一条直线型小溪l刚好通过点A,且l与AB成30角,现要对整条小溪进行
4、加固改造,但考虑到今后农艺园的小溪要重新设计改造,因此,对小溪可能被农艺园围进的部分暂不加固,则暂不加固的部分有多长?答案解析1.【解析】选C.直线过定点(3,-1)且+b0),则c=,=,a=2,b2=a2-c2=1.所求椭圆方程为+y2=1.(2)由消去y,得5x2+8mx+4(m2-1)=0,则=64m2-80(m2-1)0得m25,(*)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=,y1-y2=x1-x2,|PQ|=2.解得m2=,满足(*),m=.11.【解析】以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系.则A(-1,0),B(1,0).(1
5、)由题意可知,C,D两点在以A,B为焦点的一个椭圆上.平行四边形的周长为8,2a=4,而2c=2,b2=a2-c2=3.故所求椭圆的标准方程为+=1(y0),即为C,D两点的轨迹方程.(2)易知:当C,D为椭圆的短轴端点时,农艺园的面积最大,其值为2km2.(3)求l:y=(x+1)被椭圆+=1截得的线段长.设线段端点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由整理得13x2+8x-32=0,由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=-,弦长为=,暂不加固的部分为km.【拓展提升】解答与椭圆有关的实际问题的方法技巧解答实际应用问题时,关键是先将实际问题转化为数学模型(称为建模),然后用相关的数学知识和方法解答该数学问题,从而得到实际问题的答案.对于与椭圆有关的实际问题,解答时要注意事物的实际含义与椭圆的几何性质的转化,同时注意充分利用椭圆方程对变量进行讨论,来解决实际问题.
