1、23等比数列23.1等比数列1.通过实例，理解等比数列的概念并学会简单应用2.掌握等比中项的概念并会应用3掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程4.掌握等比数列的有关性质及应用1等比数列的概念(1)等比数列文字语言：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q0)表示符号语言：q(q为常数，nN，n2)(2)等比中项如果三个数x，G，y组成等比数列，则G叫做x和y的等比中项，即G2xy2等比数列的通项公式已知等比数列an的首项为a1，公比为q，则这个数列的通项公式为ana1qn1.3等比数列的性质已
2、知等比数列an，首项为a1，公比为q，则ana1qn1.(1)anamqnm(n，mN)(2)若mnpq(m，n，p，qN)，则有amanapaq.(3)a1ana2an1a3an2aman(m1)(4)在等比数列an中，每隔k项取一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk1.(5)当数列an是各项都为正数的等比数列时，数列lgan是公差为lgq的等差数列(6)公比为q的等比数列an，具有如下性质：当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时，an是递减数列；当q1时，an是常数列；当q0，且an12an3(nN)证明：数列an3是等比数列【证明】法一：因为an0，所以an
3、30.又因为an12an3，所以2.所以数列an3是首项为a13，公比为2的等比数列法二：因为an0，所以an30.又因为an12an3，所以an24an9.所以(an23)(an3)(4an12)(an3)(2an6)2(an13)2.即an3，an13，an23成等比数列，所以数列an3是等比数列本例的条件不变，若a12，求数列an的通项公式解：由数列an3是等比数列，当a12时，a135，所以数列an3是首项为5，公比q2的等比数列，所以an352n1，即an52n13.等比数列的三种判定方法(1)定义法q(q为常数且q0)等价于an是等比数列 (2)等比中项法aanan2(nN且an0
4、)等价于an是等比数列(3)通项公式法ana1qn1(a10且q0)等价于an是等比数列1.在数列an中，对任意nN，都有an12an0，则的值为()ABC D1解析：选A.a22a1，a32a24a1，a48a1，所以.故选A.2已知数列an的前n项和Sn2an，求证：数列an是等比数列证明：因为Sn2an，所以Sn12an1.所以an1Sn1Sn(2an1)(2an)anan1，所以an1an.又因为S12a1，所以a110，又由an1an知an0，所以，所以an是等比数列，且首项为1，公比为.等比数列的通项公式已知等比数列an，若a1a2a37，a1a2a38，求an.【解】法一：因为a
5、1a3a，所以a1a2a3a8，所以a22.从而解得或当a11时，q2；当a14时，q.故an2n1或an23n.法二：由等比数列通项公式知a2a1q，a3a1q2.代入已知得将a1代入得2q25q20.所以q2或q.由得或以下同法一法三：由等比数列的定义可知a1，a3a2q，代入a1a2a38，得a22，所以a1，a32q.代入a1a2a37，得22q7.解得q2或q.以下同法一等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算1.在等比
6、数列an中，a427，q3，则a7_解析：a4a1q3a1(3)327，故a11，所以a7a1q61(3)6729.答案：7292已知数列an为递增的等比数列，其中a29，a1a330.求数列an的通项公式解：设等比数列的公比为q，又由已知a29，a1a330，可得9q30，解得q3或q，由已知，数列为递增数列，所以q3，故ana1qn1a2qn293n23n.等比数列性质的应用(1)已知an是等比数列，且an0，a2a42a3a5a4a625，那么a3a5的值等于_(2)等比数列an中，若a92，则此数列前17项之积为_(3)在等比数列中，若a22，a6162，则a10_【解析】(1)由等比
7、数列性质知a2a4a，a4a6a，把a2a42a3a5a4a625化为a2a3a5a25，得(a3a5)225，又an0，所以a3a55.(2)由题意得a1a2a3a15a16a17(a1a17)(a2a16)(a3a15)a9aaa9a(2)17217.(3)因为an为等比数列，所以a2，a6，a10仍成等比数列，所以aa2a10，所以a1013 122.【答案】(1)5(2)217(3)13 122本题的解答用到了等比数列的性质“若mn2p(m，n，pN)，则amana”，大大简化了运算因此，在解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项序号之间的关系，以寻求满足数列性质的
8、条件已知数列an为等比数列，且a1a964，a3a720，求a11.解：因为an为等比数列，所以a1a9a3a764.又a3a720，所以a3，a7是方程t220t640的两个根所以a34，a716或a316，a74.当a34时，a3a7a3a3q420.所以1q45，所以q44.当a316时，a3a7a3(1q4)20，所以1q4.所以q4.所以a11a1q10a3q864或1.等比数列的综合应用设an是公比大于1的等比数列，Sn为数列an的前n项和，已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bnln a3n1，n1，2，求数列bn的前n项和Tn.【
9、解】(1)由已知，得解得a22.设数列an的公比为q，由a22，可得a1，a32q.又因为S37，所以22q7，即2q25q20，解得q12，q2，由题意知q1，所以q2.于是a11，所以数列an的通项公式为an2n1(n1，2，)(2)由于bnln a3n1，n1，2，.由(1)得a3n123n，所以bnln 23n3nln 2，又因为bn1bn3ln 2，所以bn是等差数列所以Tnb1b2bnln2，故Tnln 2，n1，2，.解决等差、等比数列的综合问题应注意的四个方面(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用(2)对于解答题注意基本量及方程思想(3)注重问题的转化，利用非等差数列、非
10、等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用公式和性质解题(4)当题中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间的内在联系 1.三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数解：法一：设三个数为，a，aq，则，解得或，所以所求三数依次为4，8，16或16，8，4.法二：设成等差数列的三个数为ad，a，ad，则要求三个数为ad2，a，ad2，则，解得或，则所求三个数依次为4，8，16或16，8，4.2数列an的前n项和记为Sn，a11，an12Sn1(n1)(1)求an的通项公式；(2)等差数列bn的各项为正，
11、其前n项和为Tn，且T315，又a1b1，a2b2，a3b3成等比数列，求Tn.解：(1)由an12Sn1，可得an2Sn11(n2)，两式相减，得an1an2an，an13an(n2)又因为a22S113，所以a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1.(2)设bn的公差为d，由T315，得b1b2b315，可得b25，故可设b15d，b35d.又a11，a23，a39，由题意可得(5d1)(5d9)(53)2.解得d12，d210.因为等差数列bn的各项为正，所以d0，所以d2.Tn3n2n22n.1等比数列判断方法主要有：(1)定义法：利用q(q为不等于0的常数)；
12、(2)通项公式法：ana1qn1；(3)等比中项法：aanan2.用定义判断是主要的方法2等比数列的通项公式ana1qn1中含有四个量a1，q，n，an已知任意三个可求第四个利用通项公式列方程组求a1与q是常用的方法3等比数列的性质，特别是若mnkl(m，n，k，lN)，则amanakal，要注意灵活应用并同等差数列区分开特别地，对aaman中ak符号的判断，要结合前后项考虑确定在解决等比数列的问题时，一定要注意题目中的条件，尤其是隐含条件，来决定公比正负的取舍，有时甚至要对数列进行检验，看是否符合条件1.是等比数列4，4，2，的()A第10项B第11项C第12项 D第13项解析：选B.设该等
13、比数列为bn，公比为q，由题意知b14，q，所以bn4()n1.由4()n1得n11.2等比数列前3项的积为2，最后三项的积为4，所有项的积为64，则该数列有()A13项 B12项C11项 D10项解析：选B.设该数列为an，由题意得a1a2a32，anan1an24，所以(a1an)38，所以a1an2，又因为a1a2an64，所以(a1an)6426，所以226，所以n12.3在等比数列an中，已知a10，8a2a50，则数列an为_数列(填“递增”或“递减”)解析：由8a2a50，可知q38，解得q2.又a10，所以数列an为递增数列答案：递增4在等比数列an中，a1a21，a3a42，
14、则a5a6a7a8_解析：a3a4(a1a2)q2，q22，a5a6(a3a4)q24，a7a8(a5a6)q28.所以a5a6a7a812.答案：12 A基础达标1已知数列a，a(1a)，a(1a)2，是等比数列，则实数a的取值范围是()Aa1Ba0或a1Ca0 Da0且a1解析：选D.由于a，a(1a)，a(1a)2，是等比数列，则a需满足a0，a(1a)0，a(1a)20，所以a0且a1.2在等比数列an中，a1，an，q，则项数n为()A3 B4C5 D6解析：选B.由a1qn1an，解得n4.3在等比数列an中，a5、a9是方程7x218x70的两个根，则a7等于()A1 B1C1
15、D以上都不正确解析：选B.设等比数列an的首项为a1，公比为q，由ana1qn1，知数列an奇数项和偶数项的符号分别相同这样由a5a90，a5a91，得a71，选B.4一个数分别加上20，50，100后得到的三个数成等比数列，其公比为()A BC D解析：选A.设这个数为x，则(50x)2(20x)(100x)，解得x25，所以这三个数为45，75，125，公比q为.5在等比数列an中，a3a4a53，a6a7a824，则a9a10a11的值为()A48 B72C144 D192解析：选D.因为q98(q为公比)，所以a9a10a11a6a7a8q9248192.6若1，2，a，b成等比数列，
16、则ab_解析：根据题意有，解得a4，b8，所以ab(4)84.答案：47在等比数列an中，各项均为正数，且a6a10a3a541，a4a85，则a4a8_解析：因为a6a10a，a3a5a，所以aa41.又因为a4a85，an0，所以a4a8.答案：8在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，则成等比数列，则此未知数是_解析：设此三数为3，a，b，则解得或所以这个未知数为3或27.答案：3或279已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解：(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an
17、10得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an.10等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的通项公式及前n项和Sn.解：(1)设an的公比为q，由已知得162q3，解得q2. 所以ana1qn12n.(2)由(1)得a38，a532，则b38，b532.设bn的公差为d，则有解得从而bn1612(n1)12n28，所以数列bn的前n项和Sn6n222n.B能力提升11数列an的首项为1，数列bn为等比数列且bn，若b10b112，则a2
18、1()A20 B512C1 013 D1 024解析：选D.因为bn，且b10b112，又bn是等比数列，所以b1b20b2b19b10b112，则b1b2b3b20210，即1 024，从而a211 024a11 024.12已知an为等比数列，a32，a2a4，则an的通项公式为_解析：设an的公比为q.所以a2a4，即a3q，即2q，解得q1或q23.当q时，ana3qn3218.当q3时，ana3qn323n33n1.答案：an18或an3n113已知数列an的前n项和Sn2an1.(1)求证：an是等比数列，并求出其通项公式；(2)设bnan12an，求证：数列bn是等比数列解：(1
19、)因为Sn2an1，所以Sn12an11，Sn1Snan1(2an11)(2an1)2an12an，所以an12an，由已知及式可知an0.所以由2，知an是等比数列由a1S12a11，得a11，所以an2n1.(2)证明：由第一问知，an2n1，所以bnan12an2n22n122n2n142n1.所以数列bn是等比数列14(选做题)等比数列an的各项均为正数，且2a13a21，a9a2a6.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列(n2，nN)的前n项和解：(1)设等比数列an的公比为q，因为a9a2a69a，所以q2，因为an0，所以q0，所以q，因为2a13a22a13a1q1，所以3a11，a1，所以an.(2)bnlog3a1log3a2log3anlog3(a1a2an)log3.设数列的前n项和为Sn，则Sn222.
