1、2.3.2 双曲线的几何性质2.3.2 双曲线的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO目标导航 预习引导 学习目标1.了解双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近线及其简单应用.3.会解决简单的直线和双曲线的位置关系问题.重点难点重点:1.双曲线的简单几何性质.2.直线与双曲线的位置关系.难点:1.渐近线及其应用.2.直线与双曲线的位置关系.2.3.2 双曲线的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO目标导航 预习引导 1.双曲线的几何性质 标准方
2、程x2a2 y2b2=1(a0,b0)y2a2 x2b2=1(a0,b0)图形 2.3.2 双曲线的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO目标导航 预习引导 性质焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距F1F2=2c范围x-a 或 xay-a 或 ya对称性关于 x 轴,y 轴,(0,0)对称顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)轴长实轴长=2a,虚轴长=2b离心率e=ca渐近线y=baxy=abx 2.3.2 双曲线的几何性质 课前预习导学 KEQIAN Y
3、UXI DAOXUE课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO目标导航 预习引导 预习交流 1双曲线29 216=1 的焦点坐标为 ,顶点坐标为 ,实轴长为 ,虚轴长为 ,离心率为 .提示:(-5,0)和(5,0)(-3,0)和(3,0)6 8 532.3.2 双曲线的几何性质 课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO目标导航 预习引导 2.等轴双曲线实轴长和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线,显然,它的渐近线方程为 y=x,离心率为 2,方程可表示为 x2-y2=(0).预习交流 2焦点为(-2,0),(2,0)的等轴双曲线
4、的标准方程为 .提示:x2-y2=12.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四一、利用双曲线的标准方程考查简单几何性质活动与探究设双曲线的焦点在 x 轴上,实轴长为 4,离心率为 52,则双曲线的渐近线方程为 .思路分析:根据已知条件求出 a,b,再由焦点位置求出渐近线方程.答案:y=12x解析:实轴长为 4,离心率为 52,a=2,c=5,b=1.又双曲线的焦点在 x 轴上,双曲线方程为24-y2=1.渐近线方程为 y=12x.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KE
5、TANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四迁移与应用(1)双曲线 y2-2x2=2,则它的焦点坐标为 .答案:(0,-3)和(0,3)解析:方程化为标准方程为22-x2=1,a2=2,b2=1,c2=3.又由方程知焦点在 y 轴上,焦点坐标为(0,-3)和(0,3).2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四(2)双曲线22-y2=1(a0)的离心率为 2,则该双曲线的渐近线方程为 .答案:y=3x解析:由已
6、知双曲线的焦点在 x 轴上,且 b2=1,则 c2=a2+b2=a2+1.由离心率为 2,得22=2+12=4.a2=13,解得 a=33(负值舍去).渐近线为 y=x=3x.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四1.在研究双曲线性质时,一定要弄清 a,b 所对应的值及 c2=a2+b2 的关系,若给出方程,但不是标准方程时,要先化成标准方程.2.双曲线22 22=1(a0,b0)的渐近线方程为 y=x,双曲线22 22=1 的渐近线方程为 y=x.应仔细区分两双曲线的渐近
7、线的异同点.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四二、由双曲线的几何性质求标准方程活动与探究求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)一个焦点为(0,13),且离心率为135;(2)渐近线方程为 y=12x,且经过点 A(2,-3).思路分析:(1)中给出了焦点所在的坐标轴,只需求出系数 a,b 的值,便可得到相应的标准方程;(2)中双曲线的焦点位置不明确,应首先讨论焦点所在的坐标轴,再根据已知条件求相应的标准方程.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG H
8、EZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四解:(1)依题意可知,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c=13,又=135,a=5,b=2-2=12,故其标准方程为252 2122=1.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四(2)方法一:双曲线的渐近线方程为 y=12x,若焦点在 x 轴上,设所求双曲线的标准方程为22 22=1(a0,b0),则=12.A(2,-3)在双曲线上,42 92=1.由联立,无解.若焦点在 y 轴
9、上,设所求双曲线的标准方程为22 22=1(a0,b0),则=12.A(2,-3)在双曲线上,92 42=1.由联立,解得 a2=8,b2=32.所求双曲线的标准方程为28 232=1.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四方法二:由双曲线的渐近线方程为 y=12x,可设双曲线方程为222-y2=(0),A(2,-3)在双曲线上,2222-(-3)2=,即=-8.所求双曲线的标准方程为28 232=1.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO T
10、ANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四迁移与应用(1)已知双曲线的一个焦点坐标为(13,0),渐近线方程为 2x3y=0,则双曲线的标准方程为 .答案:29 24=1解析:由题意知双曲线的焦点在 x 轴上,设方程为22 22=1(a0,b0),渐近线方程为 2x3y=0,即 y=23x,=23.又一个焦点为(13,0),c=13.又c2=a2+b2,由得 a2=9,b2=4,c2=13.双曲线方程为29 24=1.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE
11、问题导学 当堂检测 一二三四(2)双曲线22 22=1(a0,b0)的离心率为 3,且它的虚轴长为椭圆29+26=1 的短轴长,则此双曲线方程为 .答案:23 26=1解析:椭圆方程为29+26=1,此椭圆的短轴长为 2 6.由题意得 2b=2 6,b=6.双曲线的离心率为 3,=3.又c2=a2+b2.由得 a2=3,b2=6,c2=9.双曲线方程为23 26=1.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程,一般用待定系数法,其步骤为:当双
12、曲线的焦点不明确时,方程可能有两种形式,此时应注意分类讨论,为了避免讨论,也可设双曲线方程为 mx2-ny2=1(mn0),从而直接求得.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四三、与双曲线离心率有关的问题活动与探究(1)设双曲线的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么双曲线的离心率是 .思路分析:设出双曲线方程,用 a,b,c 表示直线 FB 和渐近线的斜率,由斜率之积为-1 建立 a,b,c 的关系式,结合 c2=a2+b2
13、和=e 得到关于 e的方程,求解方程可得离心率.答案:5+12解析:不妨设双曲线方程为22 22=1(a0,b0),一个焦点为 F(c,0),虚轴端点为 B(0,b),则 kFB=-.又渐近线的斜率为,所以由直线垂直得-=-1-显然不符合,即 b2=ac.又 c2-a2=b2,故 c2-a2=ac,两边同除以a2,得方程 e2-e-1=0,解得 e=5+12(负值舍去).2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四(2)已知点 F1,F2分别是双曲线22 22=1 的左、右焦点,
14、过 F1且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A,B 两点,若ABF2为锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 .思路分析:画出图形,可得ABF2为等腰三角形,再考虑锐角的条件求出 a,c 的不等式.答案:(1,1+2)解析:由双曲线性质得 AF2=BF2,ABF2为锐角三角形时,F1BF245.把 x=-c 代入双曲线得 y2=42,点 A 的坐标为-,2 .而 F1F2=2c,且AF1F2为直角三角形,2 2c,即 b22ac,由 b2=c2-a2,得 c2-2ac-a20,e2-2e-10.1-2e1,1e0,b0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率为 .答案:2解析:42 92
15、=1 与 a2+b2=4 联立,求得 a=1,所以 e=2.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四(2)双曲线的渐近线方程为 y=34x,则双曲线的离心率等于 .答案:53 或 54解析:若双曲线焦点在 x 轴上,则=34,从而 e=22=1+2=54;若焦点在 y 轴上,则=34,从而 e=22=1+2=53.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四求双
16、曲线离心率的常见方法:一是依据条件求出 a,c,再计算 e=;二是依据条件提供的信息建立关于参数 a,b,c 的等式,进而转化为关于离心率 e 的方程,再解出 e 的值.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四四、直线与双曲线的位置关系活动与探究设双曲线 C:22-y2=1(a0)与直线 l:x+y=1 相交于两个不同的点 A,B.(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围;(2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 =512 ,求 a 的值.思路分析:(1)利用 0 可
17、得 a 的取值范围,再写出离心率关于 a 的表达式,可求出离心率的取值范围;(2)由根与系数的关系及向量坐标关系,可得到关于 a 的方程,解出 a即可.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四解:(1)将 y=-x+1 代入双曲线22-y2=1 中得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,1-2 0,44+82(1-2)0.解得 0a 62,且 e 2.(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1).=512 ,(x1,y1-1)=512(x2,y2-1).由此得
18、 x1=512x2,由于 x1,x2都是方程的根,且 1-a20,由根与系数的关系,得1712x2=-221-2,512 22=-221-2.消去 x2,得-221-2=28960,由 a0,得 a=1713.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四迁移与应用已知双曲线 C:22 22=1(a0,b0)的离心率为2 33,且过点 P(6,1).(1)求双曲线 C 的方程;(2)若直线 l:y=kx+2与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B,且 2(O 为坐标原点),求
19、k 的取值范围.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 一二三四解:(1)由已知 e=2 33,双曲线过点 P(6,1),62 12=1,解得 a2=3,b2=1.故所求双曲线方程为23-y2=1.(2)将 y=kx+2代入23-y2=1,得(1-3k2)x2-6 2kx-9=0.由直线 l 与双曲线 C 交于不同的两点得 1-32 0,=(6 2k)2+36(1-32)=36(1-2)0,即 k213且 k22 得,xAxB+yAyB2,而 xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
20、2)(kxB+2)=(k2+1)xAxB+2k(xA+xB)+2=(k2+1)932-1 2k6 2k32-1+2=-32+932-1+22,于是,-32+932-1 0,解得13k23,由得13k20)的渐近线方程为 3x2y=0,则 a 的值为 .答案:2解析:双曲线22 29=1 的渐近线方程为22 29=0,整理得 3xay=0,故 a=2.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 1 2 34 5 63.F1和 F2是双曲线22 22=1(a0,b0)的两个焦点,若 F1,F
21、2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 .答案:2解析:由已知易得 2b=3c,由 c2=a2+b2,即 c=2a.离心率为 e=2.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 1 2 3 45 64.双曲线24 212=1 的焦点到渐近线的距离为 .答案:2 3解析:双曲线24 212=1 的焦点为(4,0),(-4,0).渐近线方程为 y=3x.由双曲线的对称性可知,任一焦点到任一渐近线的距离相等,d=|4 3+0|3+1=2 3.2.3.2 双曲线的几何性质 课
22、堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 1 2 3 4 5 65.已知双曲线22 22=1(a0,b0)与直线 y=2x 有交点,则双曲线离心率的取值范围为 .答案:(5,+)解析:把直线 y=2x 代入双曲线方程,消去 y 得(b2-4a2)x2=a2b2,双曲线与直线有交点,b2-4a20.c25a2.离心率 e 5.2.3.2 双曲线的几何性质 课堂合作探索 KETANG HEZUO TANSUO课前预习导学 KEQIAN YUXI DAOXUE问题导学 当堂检测 1 2 3 4 5 66.(2014 天津高考改编)已知双曲线22 22=1(a0,b0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为 .答案:25 220=1解析:由于双曲线焦点在 x 轴上,且其中一个焦点在直线 y=2x+10 上,所以 c=5.又因为一条渐近线与 l 平行,因此=2,可解得 a2=5,b2=20,故双曲线方程为25 220=1.
