1、2.2抛物线的简单几何性质 教学目标 知识与技能目标 使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质 从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力 过程与方法目标 复习与引入过程 1抛物线的定义是什么？请一同学回答应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线”2抛物线的标准方程是什么？再请一同学回答应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0)下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p0)出发来研究它的几何性质板书
2、抛物线的几何性质标准方程 22(0)ypx p图形 焦点和准线 焦点(,0)2pF和准线:2plx 你认为这个标准方程对应的抛物线 还有什么几何性质呢?y xoMFdK复习结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x0,yR关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.XY(4)离心率(5)焦半径(6)通径始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2P思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？利用抛物线的顶点、通径的两个端点可
3、较准确画出反映抛物线基本特征的草图。特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔4321-1-2-3-4-5-2246810y2=xy2=xy2=2xy2=4x21图形方程焦点准线 范围 顶点 对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px 2
4、px2py2py x0yRx0yRy0 xRy 0 xR(0,0)x轴y轴1变式:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.2 2典型例题：例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2,),求它的标准方程.2 2当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0)(x2=2my(m0),可避免讨论)0(2),22,2(2PPxyMx程为所以，可设它的标准方点点，并且经过轴对称，它的顶点在原解：因为抛物线关于222)22(2pPM，即在抛物线上，所以因为点xy42 准方程是因此，所求抛物线的标例 2 斜率为 1 的直线l 经过抛
5、物线24yx的焦点 F,且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.还有没有其他方法?法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.xyOFABBA224,(1)4,yxxx代入方程得.0162 xx化简得84)(216212212121xxxxABxxxx。的长是所以，线段8AB例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法一:由已知得抛物线的焦点为F
6、(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1xyOFABBA.,),(),(2211BA ddlBAyxByxA的距离分别为准线到设,1,121xdBFxdAFBA由抛物线的定义可知1228ABAFBFxx所以例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x2,1,2pp.1:xl准线解法二:由题意可知,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷xyOFBAxyOFBADCxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCHxyEOFBADCH 变式：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两
7、点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切证明：如图xyEOFBADCH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则AFAD，BFBCABAFBFADBC=2EH练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_.2.过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.1616y2=8x0453X=3例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两
8、点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.xOyFABD例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴。,22pxyx物线的方程为建立直角坐标系。设抛轴，它的顶点为原点，轴为证明：以抛物线的对称,2),2(0020 xypyOAypyA的方程为则直线的坐标为点2px抛物线的准线是.02ypyD的纵坐标为联立可得点.222),0,2(200ppypxyyAFpF方程为的所以直线的坐标是因为点.02ypyB的纵坐标为联立可得点轴。所以xDB/xyOFABD小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;
