1、课时作业(十五)直线与抛物线的位置关系A组基础巩固1已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析：直线ykxkk(x1)，直线过点(1,0)又点(1,0)在抛物线y22px的内部当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0，直线与抛物线有两个公共点答案：C2过点(1,0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2B2C2 D2解析：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由直线AB斜率为2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y2(x
2、1)，代入抛物线方程y28x得4(x1)28x，整理得x24x10，则x1x24，x1x21，|AB|2.答案：B3设抛物线y28x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A B2,2C1,1 D4,4解析：准线x2，Q(2,0)，设l：yk(x2)，由得k2x24(k22)x4k20.当k0时，x0，即交点为(0,0)，当k0时，0，1k0或0k1.综上，k的取值范围是1,1答案：C4与直线2xy40平行的抛物线yx2的切线方程为()A2xy30 B2xy30C2xy10 D2xy10解析：设切线方程为2xym0，与yx2联立得x22xm0，44
3、m0，m1，即切线方程为2xy10.答案：D5过点(0，2)的直线与抛物线y28x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则|AB|等于()A2 B.C2 D.解析：设直线方程为ykx2，A(x1，y1)、B(x2，y2)由得k2x24(k2)x40.直线与抛物线交于A、B两点，16(k2)216k20，即k1.又2，k2或k1(舍)|AB|x1x2|.2.答案：C6已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k()A. B. C. D.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x10，x20，y10，y20，由，得k2x2
4、(4k28)x4k20，x1x24.|FA|x1x12，|FB|x2x22，且|FA|2|FB|，x12x22.由得x21，B(1,2)，代入yk(x2)，得k.答案：D7已知抛物线y24x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yy的最小值是_解析：设AB的方程为xmy4，代入y24x得y24my160，则y1y24m，y1y216，yy(y1y2)22y1y216m232，当m0时，yy最小为32.答案：328抛物线y24x上的点到直线xy40的最小距离为_解析：可判断直线yx4与抛物线y24x相离，设yxm与抛物线y24x相切，则由消去x得y24y
5、4m0.1616m0，m1.又yx4与yx1的距离d，则所求的最小距离为.答案：9给定抛物线C：y24x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点若|FA|2|BF|，求直线l的方程解析：显然直线l的斜率存在，故可设直线l：yk(x1)，联立，消去y得k2x2(2k24)xk20，则x1x21，故x1，又|FA|2|BF|，2，则x112(1x2)由得x2(x21舍去)，所以B，得直线l的斜率为kkBF2，直线l的方程为y2(x1)B组能力提升10过抛物线y22px(p0)的焦点F作倾斜角为45的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则p_.解析：F，设AB：yx，与y22
6、px联立，得x23px0.xAxB3p.由焦半径公式xAxBp4p8，得p2.答案：211已知抛物线y22x，直线l的方程为xy30，点P是抛物线上的一动点，则点P到直线l的最短距离为_，此时点P的坐标为_解析：设点P(x0，y0)是y22x上任一点，则点P到直线xy30的距离为d，当y01时，dmin，此时x0，所以点P的坐标为.答案：12已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且|AB|9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值解析：(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而
7、有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得|AB|x1x2pp9，所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由于p4，则4x25pxp20即x25x40，从而x11，x24，于是y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4)设C(x3，y3)，则(x3，y3)(1，2)(4，4)(41,42)，又y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.13抛物线y2x上，存在P、Q两点，并且P、Q关于直线y1k(x1)对称，求k的取值范围解析：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(y1y2)(y1y2)(x1x2)，y1y2k.1k(y1y2)22y1y22k2kk22y1
8、(ky1)2，2ky2k2y1k3k20，4k48k(k3k2)0，k(k32k4)0，k(k32k4)0，k(k2)(k22k2)0，k(2,0)14已知AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，F为抛物线焦点，A(x1，y1)、B(x2，y2)，求证：(1)若AB的倾斜角为，则|AB|；(2)为定值.解析：(1)当AB斜率存在时，设直线AB：yk，(k0)，由消去y得：k2x2p(k22)x0，x1x2p.又ktan，代入|AB|x1x2p，得：|AB|pp.当AB斜率不存在时也成立(2)由抛物线的定义，知：|FA|x1，|FB|x2，当AB的斜率不存在时，x1x2，.当AB的斜率存在时.总有.
