1、1.3.2 极大值与极小值学习目标1.理解函数极值的概念 2.掌握利用导数求函数极值的方法 课前自主学案 温固夯基 1要求函数f(x)的单调区间，应先求函数的_ _.2若f(x)在(a，b)内存在导数,则f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递减的_条件 定义域充分不必要知新益能 1极值的概念 设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点x，都有_，则称f(x0)是函数f(x)的一个_，记作_；如果对x0附近的所有点x，都有_，则称f(x0)是函数f(x)的一个_，记作_.极大值与极小值统称为_.f(x)f(x0)极小值y极小值f(x0)极值2求函数yf(x)的极值的方法 解方
2、程f(x)0，当f(x0)0时(1)如果在x0附近的左侧_,右侧_,那么f(x0)是极_值(2)如果在x0附近的左侧_,右侧_,那么f(x0)是极_值(3)如果f(x)在点x0的左右两侧符号不变，则f(x0)不是函数f(x)的极值 f(x)0f(x)0大f(x)0小1函数在某区间内的极大值一定比极小值大吗？提示：函数的极大值与极小值间无必然的大小关系.如图所示，尽管x2，x4均为极小值点，但f(x2)f(x1)问题探究 2导数为0的点都是极值点吗？提示：不一定yf(x)在xx0及附近有定义，且f(x0)0，yf(x)是否在xx0处取得极值，还要看f(x)在x0两侧的符号是否异号如f(x)x3，
3、由f(x)3x2知f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点 课堂互动讲练 求函数的极值 考点突破 利用导数求函数的极值时，常列表判断导数值在零点两侧的符号，若在零点两侧异号，则该零点是极值点；若在零点两侧符号无变化，则该零点不是极值点 求函数f(x)x3x25x5的极值例1【思路点拨】先求原函数的导函数f(x)，并令f(x)0，求其极值点，再根据极值的定义列表，即可求极值【解】f(x)3x22x5(3x5)(x1)，令 f(x)0，得 x153，x21，x153和 x21 是 f(x)可能的极值点列表如下：x 1(1，)f(x)0 0 f(x)极大值 f 极小值 f(1)5353，1，53
4、由上表可以看出：f53 4027是函数的极大值，f(1)8 是函数的极小值【名师点评】求函数的极值的一般步骤为：求函数yf(x)的导数f(x)；令f(x)0，解方程f(x)0；列表格讨论导函数的正负和原函数的增减性；根据极值的定义求出极值 变式训练1 设函数f(x)sinxcosxx1,0 x2,求函数f(x)的单调区间与极值解：由 f(x)sinxcosxx1,0 x2，知 f(x)cosxsinx1，于是 f(x)1 2sin(x4)令 f(x)0，从而 sin(x4)22，得 x，或 x32.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：因此，由上表知 f(x)的单调递增区间是(0，)
5、与(32，2)，单调递减区间是(，32)，极小值为 f(32)32，极大值为 f()2.极值的逆用 本类问题主要是研究已知函数极值点(极值)的情况，逆向求参数范围的问题(本题满分14分)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0.求a、b的值【思路点拨】解答本题可先求f(x)，利用x1时有极值0这一条件建立关于a、b的方程组解方程组可得a、b的值，最后将a、b代入原函数验证极值情况 例2【规范解答】f(x)在 x1 时有极值 0 且 f(x)3x26axb，f10f10，即36ab013aba20，4 分解得a1b3 或a2b9.6 分当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)2
6、0，所以 f(x)在 R 上为增函数，无极值，故舍去.8 分当 a2，b9 时，f(x)3x212x93(x1)(x3)当 x(，3)时，f(x)为增函数；当 x(3，1)时，f(x)为减函数；当 x(1，)时 f(x)为增函数.10 分所以 f(x)在 x1 时取得极小值，12 分因此 a2，b9.14 分【名师点评】已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：(1)常根据极值点导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 变式训练2 已知函数f(x)x33ax22
7、bx在点x1处有极小值1，试确定a、b的值，并求出f(x)的单调区间 解：由已知，得 f(1)13a2b1，又 f(x)3x26ax2b，f(1)36a2b0，由得 a13，b12，故函数的解析式为 f(x)x3x2x.由此得 f(x)3x22x1，由二次函数的性质，当 x1时，f(x)0；当13x1时，f(x)0.因此，函数 f(x)的单调递增区间为(，13)和(1，)；函数 f(x)的单调递减区间为(13，1)极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用 极值的综合应用 例3设函数f(
8、x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处与直线y8相切，求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点【思路点拨】由题意可得f(2)0且f(2)8，求出a，b进而求解【解】(1)f(x)3x23a，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处与直线 y8 相切，f20f28，即34a086ab8，解得a4b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)，当 a0，函数 f(x)在(，)上单调递增，此时函数 f(x)没有极值点当 a0 时，由 f(x)0 得 x a，当 x(，a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增；当 x(a，a)时，f(x)0，函数 f(x)单调递增此时，x a是函数 f(x)的极大值点，x a是函数f(x)的极小值点【名师点评】当已知可导函数在某一点处取得极值时，其导数值一定为0，可以此为突破口求出参数,进而求得相关结论1函数的极值与其导数的关系(1)函数的极值是对函数在某一点附近的小区间而言的，在函数的定义域内可能有多个极大值和极小值，且极大值不一定比极小值大(2)连续函数的某点是极值点的充分条件是在这点两侧的导数异号；可导函数的某点是极值点的必要条件是在这点的导数为0.2求解极值问题时要注意解题格式的书写，一般采用列表法，这样做比较简洁明了 方法感悟
