1、吉林省白山市抚松县第一中学2020-2021学年高一数学下学期暑假综合复习试题（六）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设复数z(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为()A68 B38 C32 D303已知a(2，3)，b(1，2)，且c
2、a，bc1，则c的坐标为()A(3，2) B(3,2) C(3，2) D(3,2)4从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体检中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为()A10 B20 C8 D165已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为()A. B4 C2 D6甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为() A. B C D7在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为S，且a1,4Sb2c21
3、，则A() A. B C D8正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为()A. B C D9某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：9189909294879396918589 93889893则下列关于这组数据的说法中正确的是()A第60百分位数为92.5 B第60百分位数为92C第90百分位数为94 D第90百分位数为9510.已知正方体的棱长为2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时，线段的长为（ ）AB1CD11.在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个
4、国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于的概率为（ ）A B C D12.如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A 线段BM的长度是定值 B点M在某个球面上运动C存在某个位置，使DEA1C D存在某个位置，使平面A1DE二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13已知向量a(x,2)，b(2,1)，c(3，x)，若ab，则|bc|_.14已知三棱锥PABC，若PA平面ABC，PAABACBC，则异面直线PB与A
5、C所成角的余弦值为_.15甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为_.16在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD_；cosABD_.三、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知a，b，c是同一平面的三个向量，其中a(1，)(1)若|c|4，且ca，求c的坐标； (2)若|b|1，且(ab)，求a与b的夹角.18(本小题满分12分)AB
6、C的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C，a2，ABC的面积为，F为边AC上一点(1)求c； (2)若CFBF，求sinBFC.19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，BC平面PAD，ABC90，PAPBAB.求证：(1)AD平面PBC； (2)平面PBC平面PAD.处罚金额x(单位：元)50100150200迟到的人数y504020020(本小题满分12分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：若用表中数据所得频率代替概率(1)
7、当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为：B类是其他员工现对A类与B类员工按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？21(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20,25)，第2组25,30)，第3组30,35)，第4组35,40)，第5组40,45，得到的频率分布直方图如图所示(1)若从第3,4,5组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽
8、取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者被抽中的概率22(本小题满分12分)如图，在三棱锥中，分别为棱上的中点，平面（1）求证：平面；（2）求证：平面平面（3）若为正三角形，且边长为，求三棱锥的体积20202021学年（下）高一数学暑假综合复习题（六）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设复数z(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析z1
9、i，其对应的点(1,1)位于第一象限故选A.2某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为()A68 B38 C32 D30答案D解析由题意可得，比例分配的分层随机抽样在各层中的抽样比为.则应抽取高二年级学生的人数为30030.故选D.3已知a(2，3)，b(1，2)，且ca，bc1，则c的坐标为()A(3，2) B(3,2)C(3，2) D(3,2)答案C解析设c(x，y)，则由ca，bc1可得解得所以c(3
10、，2)，故选C.4从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体检中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为()A10 B20 C8 D16答案B解析由频率分布直方图，可得视力在0.9及以上的频率为(1.000.750.25)0.20.4，人数为0.45020.故选B.5已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为()A. B4 C2 D答案D解析因为正四棱柱的各顶点均在同一球面上，所以该正四棱柱的体对角线即为球的直径由题意可得该正四棱柱的体对角线长为2.所以球的半径为1.
11、所以该球的体积为.故选D.6甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为()A. B C D答案A解析甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所以可能出现的结果列表如下：锤剪子包袱锤(锤，锤)(锤，剪子)(锤，包袱)剪子(剪子，锤)(剪子，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，锤)(包袱，剪子)(包袱，包袱)因为由表格可知，共有9种等可能情况其中平局的有3种：(锤，锤)，(剪子，剪子)，(包袱，包袱)设事件A为“甲和乙平局”，则P(A).7在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为S，且a1,4Sb2c21，则A()A. B C D答
12、案B解析由余弦定理，得b2c2a22bccosA，又a1，所以b2c212bccosA，又SbcsinA,4Sb2c21，所以有4bcsinA2bccosA，即sinAcosA，又0A，所以A.故选B.8正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为()A. B C D答案C解析如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AD与B1C1平行，则直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值即为B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值因为A1BC1为等边三角形，则B1在平面A1BC1上的投影即为A1BC1的中心O，则B1C1O为B1C1与平面A1BC1所成角可设正方体边长为
13、1，显然BO，因此B1O，则sinB1C1O.9某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：918990929487939691858993889893则下列关于这组数据的说法中正确的是()A第60百分位数为92.5B第60百分位数为92C第90百分位数为94D第90百分位数为95答案A解析将这组数据由小到大排列为85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,93,93,94,96,98.因为1560%9,1590%13.5，所以这组数据的第60百分位数为92.5，第90百分位数为96.故选A.10.已知正方体的棱长为2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时
14、，线段的长为（ ）AB1CD【答案】A【详解】解：如图，过点作，的平行线，分别交棱，于点，连接，因为，所以，面，面，所以面因为，所以，面，面，所以面又，面，所以面 面，则为截面，易知是等边三角形，则，解得，.故选：A.11.在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于的概率为（ ）A B C D【答案】D【详解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于，则从这5个国
15、家中任取2个国家有：AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1个低于有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，所以所求概率为.故选：D.12.如图，矩形ABCD中，AB2AD，E为边AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成A1DE.若M为线段A1C的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A线段BM的长度是定值B点M在某个球面上运动C存在某个位置，使DEA1CD存在某个位置，使平面A1DE【答案】C【详解】解：取CD中点N，连接MN，BN，则MNDA1，BNDE，所以平面MBN平面A1DE，所以MB平面A1DE，故D正确；由A1DEM
16、NB，MNA1D定值，NBDE定值，由余弦定理可得，所以MB是定值，故A正确；因为B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，故B正确；连接AN,EN,设AN,DE交点为F,连接，易知ADNE为正方形，又在折叠过程中始终不变，直线DE平面,平面平面ABCD,根据面面垂直的性质定理可得A1在平面ABCD中的射影O在线段AN上，A1C在平面ABCD中的射影为OC，由于是直角，所以与DE不垂直，DEA1C不可能，可得C不正确.故选：C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13已知向量a(x,2)，b(2,1)，c(3，x)，若ab，则|bc|_.答案5解析因为
17、ab，所以x220，解得x4，则bc(2,1)(3,4)(5,5)，所以|bc|5.14已知三棱锥PABC，若PA平面ABC，PAABACBC，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为_.答案解析过B作BDAC，且BDAC，连接AD，则四边形ADBC为菱形，如图所示，PBD(或其补角)即为异面直线PB与AC所成角设PAABACBCa，ADa，BDa，PA平面ABC，PBPDa，cosPBD.异面直线PB与AC所成角的余弦值为.15甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则
18、飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为_.答案0.492解析设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，故所求事件概率为PP(A)P(B)P(C)0.2P(AB) P(BC)P(AC)0.6P(ABC)(0.40.50.20.60.50.20.60.50.8)0.2(0.40.50.20.60.50.80.40.50.8)0.60.40.50.80.492.16在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上，若BDC45，则BD_；cosABD_.(本题第一空2分，第二空3分)答案解析在ABD中，由正弦定理得，而AB4，ADB135，AC5，sinBAC，co
19、sBAC，所以BD，cosABDcos(BDCBAC)coscosBACsinsinBAC.三、解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知a，b，c是同一平面的三个向量，其中a(1，)(1)若|c|4，且ca，求c的坐标；(2)若|b|1，且(ab)，求a与b的夹角.解(1)因为ca，所以存在实数(R)，使得ca(，)，又|c|4，即4，解得2.所以c(2,2)或c(2，2)(2)因为(ab)，所以(ab)0，即a2abb20，所以421cos0，所以cos，因为0，所以.18(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，
20、c，已知C，a2，ABC的面积为，F为边AC上一点(1)求c；(2)若CFBF，求sinBFC.解(1)因为SABCabsinC2bsin，所以b2.由余弦定理可得c2a2b22abcosC412222cos4，所以c2.(2)由(1)得ac2，所以AC，ABCAC.在BCF中，由正弦定理，得，所以sinCBF.又因为CFBF，所以sinCBF，又因为CBF，所以CBF，所以sinBFCsin(CBFBCF)sin.19(本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，BC平面PAD，ABC90，PAPBAB.求证：(1)AD平面PBC；(2)平面PBC平面PAD.证明(
21、1)BC平面PAD，而BC平面ABCD，平面ABCD平面PADAD，BCAD.AD平面PBC，BC平面PBC，AD平面PBC.(2)PAPBAB，满足PA2PB2AB2，PAPB.由ABC90知BCAB.又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB，BC平面ABCD，BC平面PAB.又PA平面PAB，BCPA.又PBBCB，PB平面PBC，BC平面PBC，PA平面PBC.又PA平面PAD，平面PBC平面PAD.20(本小题满分12分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下
22、数据：处罚金额x(单位：元)50100150200迟到的人数y5040200若用表中数据所得频率代替概率(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为：B类是其他员工现对A类与B类员工按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？解(1)设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A，则P(A)，不处罚时，某员工迟到的概率为.当罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低.(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别
23、从A类员工和B类员工各抽出两人，设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，从B类员工抽出的两人分别为B1，B2，设“从A类与B类员工按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的基本事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种，同理，首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4624(种)基本事件，设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，
24、(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)，共4种基本事件，P(N)，抽取4人中前两位均为B类员工的概率是.21(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组20,25)，第2组25,30)，第3组30,35)，第4组35,40)，第5组40,45，得到的频率分布直方图如图所示(1)若从第3,4,5组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者
25、被抽中的概率解(1)第3组的人数为0.310030，第4组的人数为0.210020，第5组的人数为0.110010，因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用按比例分配的分层随机抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：63；第4组：62；第5组：61.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人(2)设“第5组的志愿者被抽中”为事件A.记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)
26、，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有15种等可能情况其中第5组的志愿者被抽中有5种情况，所以P(A).所以第5组的志愿者被抽中的概率为.22(本小题满分12分)如图，在三棱锥中，分别为棱上的中点，平面（1）求证：平面；（2）求证：平面平面（3）若为正三角形，且边长为，求三棱锥的体积（1）分别为棱上的中点，而面，面，平面；（2），而，又平面，平面，又，面，而面，平面平面（3）由题意知：，且是三棱锥底面上的高，为底面，由（2）知：在Rt中，则，.【点睛】关键点点睛：综合应用线面平行、垂直的判定或性质，及面面垂直的判定证明线面平行、面面垂直，由等体积知求三棱锥的体积.