1、数学参考答案与评分细则（第1页 共11页）准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）2022 年 3 月福州市高中毕业班质量检测数学参考答案及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5
2、 分，共 40 分1B2D3B4A5D6C7B8C二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分9CD10BD11ABD12ABD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 2141719.615 8（答案不唯一，82kk=+Z，任取一个值均可）161x=，4四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分17.（10 分）【考查意图】本小题主要考查数列的通项与前 n 项和的关系式、等比数列的通项公式与前 n 项和公式、放缩法证明不等式等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、
3、综合性满分 10 分【解答】（1）由214nnnSSa+=+得24nnaa+=1 分所以，当()*21nkk=N时，21214kkaa+=，数学参考答案与评分细则（第2页 共11页）所以数列21ka是首项为11a=，公比为 4 的等比数列，2 分故1211 4kka=，即()211222122kkka =3 分当2nk=()*k N时，同理可得12122 42kkka=4 分所以12nna=（*nN）5 分（2）证明：由（1）知11111212nnna=+，7 分所以12111111naaa+012111112222n+8 分112112n=9 分12112=10 分18.（12 分）【考查意
4、图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分【解答】（1）由3sinsincosbCCC=+得)3sin2sin(cBC=+，3 分又3A=，ABC+=,所以()2sinsin2sinBBcB=，5 分而 0B，故sin0B，故2c=6 分（2）选，方法一：设 BC 边上的中线为 AD，则22AD=由 coscosADBADC=得，22222222ADBDABADCDACAD BDAD CD+=，7 分数学参考答案与评分细则（第3页 共11页）即2221142
5、424aab+=+，即2226ab=+，9 分由余弦定理2222cosabcbcA=+得2224abb=+，10 分即2220bb+=，11 分该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在.12 分方法二：设 BC 边上的中线为 AD，则1()2ADABAC=+，8 分两边平方得2221(2)4ADABAB ACAC=+，9 分即211142 2242bb=+，即2220bb+=，11 分易知该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在.12 分方法三：如图，以 A为原点，AB 所在直线为 x 轴，建立直角坐标系故C 点坐标为cos,sin33bb，即 1322bb，B 点坐标为()2,0，8 分所以
6、 BC 边的中点坐标为13144bb+，9 分由 BC 边上的中线长为22 得2221321442bb+=，10 分整理得2220bb+=，11 分该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在.12 分选，设 AB 边上的中线为CF，则7CF=在ACF中，由余弦定理得2222cosAFACAC AFACF=+，即2712 1cos 3ACAC=+，8 分整理得260ACAC=，9 分解得3AC=或2AC=（舍去）.10 分数学参考答案与评分细则（第4页 共11页）故ABC的面积 S=1133 3sin3 22222AC ABA=.12 分选，依题意得6ABBCCA+=，由（1）知2AB=，所以4B
7、CCA+=.7 分在ABC中，由余弦定理得，2222cosABCAAB CAABC=+，所以222122 22CACACB=+，即2242CACACB=+，9 分所以22(4)42CACACA=+，解得，2BCCA=.10 分所以ABC的面积 S=113sin2 23222AC ABA=.12 分19.（12 分）【考查意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，三棱锥的体积，直线与平面的夹角等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性满分 12 分【解析】（1）在直三棱柱111ABCA
8、BC中，1CC 平面111ABC，111CCAB，1 分点 E 为 AB 的中点，且 ACBC=，ABCE，2 分11ABAB，11A B CE，3 分1CECCC=，11A B 平面1CC E，4 分11A B 平面11AB F，平面11A B F 平面1CC E；5 分（2）60ABC=，ACBC=，ABC为正三角形设 ABt=，则122AAABt=，由（1）可得，CE 平面11ABB A，数学参考答案与评分细则（第5页 共11页）依题意得13BFBC=，故点 F 到平面11ABB A 的距离为 11333326CEtt=，6 分1 12111222EA BSABAAttt=，1 11 1
9、1 12333113336618EE A B FFA B EA BVVStttt=，7 分三棱锥11EAB F的体积为 4 39，334 3189t=，解得2t=8 分以 E 为原点，分别以 EC EB，1AA 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Exyz，则()3,0,0C，()0,0,0E，()1 0,1,4A，()1 0,1,4B，3 2,033F，()3,0,0CE=，()110,2,0AB=，13 5,433A F=，9 分设平面11AB F 的法向量为(),x y z=n，则11100A BA F=nn，即20354033yxyz=+=，令1z=
10、，得()4 3,0,1=n，10 分124 3cos737CECECE=nnn，11 分CE 与平面11AB F 所成角的正弦值为 4 37 12 分20.（12 分）【考查意图】本小题主要考查离散型随机变量的期望、推断与决策等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分【解答】方法一：（1）若甲第 2 次抽奖选方案，两次抽奖累计积分为，则 的可A1A1C1BBCEFxyz数学参考答案与评分细则（第6页 共11页）能取值为 40 35 10 5，1 分111(40)=339P =，2
11、12(35)=339P =，122(10)=339P =，224(5)=339P =，2 分所以40702020150()99999E =+=3 分若甲第 2 次抽奖选方案，两次抽奖累计积分为，则 的可能取值为 30,15,10，则111(30)=339P =，21124(15)+=33339P =，224(10)=339P =，306040130()9999E =+=，5 分因为()()EE，所以应选择方案 6 分（2）依题意得1210()()33iiE XE X+=+，7 分1X 的可能取值为 10，5 其分布列为1X105P1323所以120()3E X=，则110()103E X=，8
12、 分由1210()()33iiE XE X+=+得()()1210103iiE XE X+=，10 分所以()10iE X为等比数列，其中首项为 103，公比为 23 11 分所以78102()10()33E X=，故78102()()+109.833E X=12 分方法二：（1）同解法一6 分（2）依题意得112210()2()5()3333iiiE XE XE X+=+=+，7 分由（1）知()2709E X=，则()()8721033E XE X=+数学参考答案与评分细则（第7页 共11页）()262210103333E X=+8 分=()65422102213333E X=+10 分6
13、621702103293313=+11 分7102109.833=+12 分21.（12 分）【考查意图】本小题主要考查双曲线的图象和性质、直线和双曲线的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性满分 12 分【解答】方法一：（1）依题意，363Fx=+=，即()3 0F，1 分设()1 2Tt，则直线 PQ 的方程为3xty=+，2 分由22326xtyxy=+=，得()222112120tyty+=，设()()1122P xyQ xy，则()2222101444
14、8 210ttt =，故212t，12122212122121tyyy ytt+=，3 分所以()121226621xxt yyt+=+=，又直线 PQ 分别交C 的左、右支于 P Q，两点，所以()()()221 21212122963339021tx xtytyt y yt yyt+=+=+=，故212t 4 分所以 PQ 中点为22362121tNtt，5 分数学参考答案与评分细则（第8页 共11页）所以22ONOTkt kt=，故O T N，三点共线，即直线OT 平分线段 PQ 6 分（2）依题意，由3PAQF=得()1213 3xx=，即1238xx+=，7 分所以()12284xx
15、x+=，()121384xxx+=，8 分得()()212121 231664 16xxxxx x+=，9 分所以()22222366963166416212121tttt+=，10 分解得283 74t+=，或283 74t=（舍去）11 分此时，2244123 7TFt=+=+12 分方法二：（1）依题意，依题意，363Fx=+=，即()3 0F，1 分直线 PQ 的斜率存在且不为 0，设其方程为()3yk x=（0k），21Tk，2 分由()22326yk xxy=，得()222226960kxk xk+=，设()()1122P xyQ xy，则()()242220364 9620kkk
16、k =+，故22k，22121 222696022kkxxx xkk+=，22k 4 分所以()121221262kyyk xxk+=+=，PQ 中点为2223622kkN kk，5 分所以2ONkk=，2OTkk=，故O T N，三点共线，即直线OT 平分线段 PQ 6 分（2）依题意，由3PAQF=得()1213 3xx=，即1238xx=，7 分所以()()22222222696383822kkxxxxkk+=，0，故22k，8 分即()22222222789638222kkxxxkk+=，数学参考答案与评分细则（第9页 共11页）所以()()22222227878963822222kk
17、kkkk+=，9 分整理得4211166410kk+=，10 分所以2183 74k+=，或2183 74k=（舍去）11 分此时，()2222211 304 1123 7TFkk=+=+=+12 分22.（12 分）【考查意图】本小题主要考查导数的几何意义、函数的零点、导数的应用等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满分 12 分【解答】（1）()e(sincos)xf xaxxxb=+，1 分依题意，(0)0(0)0
18、ff=，3 分 即 1010bc=+=，解得1b=，1c=4 分（2）由（1）得()()esincos1xfxaxxx=+，记()()esincos1xg xaxxx=+，()()e2cossinxg xaxxx=，所以(0)1 2ga=，当12a时，（）当0 2x，时，()()e3sincos0 xg xaxxx=+，所以()g x为增函数，5 分又因为()00g，2e022ga=+，所以存在唯一实数00 2x，使得()00g x=6 分（）当 2x，时，2cossin0 xxx，则()0g x.数学参考答案与评分细则（第10页 共11页）由（）（）可知，()00 xx，()0g x，()g
19、 x 单调递减；()0 xx，()0g x，()g x 单调递增因为()00g=，()e 10ga=+，所以存在唯一实数()10 xx，使得()10g x=，7 分所以当()10 xx，时，()0g x ，即()0fx，()f x 单调递减；()1 xx，()0g x ，即()0fx，()f x 单调递增因为()00f=，()e 10f=，所以存在唯一实数()21 xx，使得()20f x=，即()f x 在()0，上有唯一零点，符合题意.8 分当12a时，()1esin1esin12xxf xaxxxxxx=，9 分记()1esin12xh xxxx=，()0 x，.()()1esincos
20、12xh xxxx=+，所以()011ecossinecossin022xhxxxxxxx=+，10 分所以()h x为增函数，()()01esin00cos0102h x+=，所以()h x 为增函数，()01e0 sin00 102h x =，则()0 x，()0f x ，所以()f x 在()0，上没有零点，不合题意，舍去.11 分综上，a 的取值范围为 12+，12 分解法二：（1）同解法一4 分（2）同解法一8 分当12a时，()1esin1esin12xxf xaxxxxxx=，9 分当()0 x，时，下面证明不等式sin xx成立，数学参考答案与评分细则（第11页 共11页）设()()sin0 m xxx x=，则()1 cos0m xx=，所以()m x 递增，所以()0sin00m x=，即sin xx，所以()21e12xf xxx；记()q x=21e12xxx，则()q x=e1xx，下面证明不等式e1xx+()0 x成立，设()()e10 xp xxx=，则()e10 xp x=，所以()p x 递增，所以()0e0 10p x=，即e1xx+10 分所以()0q x，所以()q x 为增函数，则()021e00 102q x =，即()0f x ，所以()f x 在()0，上没有零点，不合题意，舍去 11 分综上，a 的取值范围为 12+，12 分
