1、练案29第三讲平面向量的数量积A组基础巩固一、单选题1(2020江西名校高三质检)已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab(C)A1B2C3D4解析由题意可得ab|a|b|cos a，b2cos 303，故选C.2(2020安徽六校联考)向量a(2,4)，b(5,3)，则a(ab)(D)A10B14C6D2解析ab(3,1)，a(ab)642.故选D.3(2020郑州一中高三入学测试)已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60，则|a3b|等于(C)ABCD4解析依题意得ab，|a3b|，故选C.4(2020安徽十校高三摸底考试)在ABC中，且|2，|
2、8，ACB，则(A)A24B12C24D12解析设|x，2，两边平方得4864x28x，解得x4，()(2)(6416)24.故选A.5(2020甘肃兰州高三模拟)已知非零单位向量a，b满足|ab|ab|，则a与ba的夹角为(D)ABCD解析解法一：设a与ba的夹角为.因为|ab|ab|，所以|ab|2|ab|2，即|a|22ab|b|2|a|22ab|b|2，所以ab0.因为a，b为非零单位向量，所以(ba)22，即|ba|.因为a(ba)abaa1|a|ba|cos ，所以cos ，因为0，所以.解法二：几何法，如图，|ab|与|ab|分别表示以a，b为邻边(共起点)的菱形两对角线长度，且
3、长度相等，从而菱形为正方形，再作出ba知所求为.解法三：坐标法，由|ab|ab|得ab，又a，b为单位向量，则在平面直角坐标系中取a(1,0)，b(0,1)，则ba(1,1)，由向量夹角的坐标运算知a与ba的夹角为.6(2020河北省武邑模拟)ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足()，|，则在方向上的投影等于(C)ABCD3解析因为ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满足()，所以点O在BC上，且O为BC的中点，如图所示，所以BC是ABC外接圆的直径，故BAC90.因为|，所以OAC是等边三角形，所以ACB60，所以ABC30.在RtABC中，|sin 60，所以在方向上的投影为|cos AB
4、C|cos 30.二、多选题7(2020上海模拟改编)已知两个单位向量a，b的夹角为60，则下列向量是单位向量的是(CD)AabBabCabDab解析a，b均是单位向量且夹角为60，ab，|ab|2a22abb21211，即|ab|1，ab是单位向量又|ab|2(4a24abb2)1，故选C、D.优解如右图，令a，b，a，b均是单位向量且夹角为60，OAB为等边三角形，|ab|a|b|1，ab是单位向量.ab(ab)，又(|)，故选C、D.8(2020江西南昌二中期末改编)已知向量a(2，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围可以是(BC)A(，)B(，2)C(2，)D(2，)解
5、析a与b的夹角为钝角，21.又ab(0)，2，的取值范围是(，2)(2，)故选B、C.三、填空题9(2019全国卷)已知向量a(2,2)，b(8,6)，则cos a，b.解析cos a，b.10(2020湖北省部分重点中学高三起点考试)已知向量a(3,4)，b(x,1)，若(ab)a，则实数x等于_7_.解析(ab)a，(ab)a0，即a2ab,253x4，解得x7.11(2020皖中名校联考)已知向量a，b满足|a|5，|ab|6，|ab|4，则向量b在向量a上的投影为_1_.解析向量a，b满足|a|5，|ab|6，|ab|4.|ab|225b22ab36，|ab|225b22ab16.ab
6、5，|b|1，向量b在向量a上的投影为|b|cos a，b|b|1.12(2020武汉市部分学校高三调研测试)已知|a|，|b|1，a与b的夹角为45，若tba与a垂直，则实数t_2_.解析由已知可得ab11.因为tba与a垂直，所以(tba)a0，得taba20，即t20，故t2.四、解答题13(2020贵阳质检)已知平面向量a，b满足|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)解析由已知得，ab48()16.(1)因为|ab|2a22abb2162(16)6448，所以|ab|4.因为|4a2b|216a216ab4
7、b2161616(16)464768，所以|4a2b|16.(2)因为(a2b)(kab)，所以(a2b)(kab)0，所以ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640，解得k7.即k7时，a2b与kab垂直14(2020湖北宜昌高三适应性训练)在ABC中，AB3AC9，2，点P是ABC所在平面内一点，则当222取得最小值时，求的值解析由2，得0，所以，即C，则BC6.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则A(3,0)，B(0,6)，设P(x，y)，则222(x3)2y2x2(y6)2x2y23x26x3y212y813(x1)2(y2)218，所以当x1，y2时取得最
8、小值，此时P(1,2)，则(2，2)(0，6)24.B组能力提升1(2020广东百校联考)若向量a，b满足|a|，b(2,1)，ab5，则a与b的夹角为(C)A90B60C45D30解析b(2,1)，|b|，|a|，ab5，cos a，b.又a，b0，a与b的夹角为45.故选C.2(2020河南中原名校指导卷)已知平面向量a(1,2)，b(1,3)，c2ab，则向量c在向量a方向上的投影为(B)ABC2D3解析a(1,2)，b(1,3)，|a|，c2ab(3,1)，ac5，向量c在向量a方向上的投影为.故选B.3(2020辽宁葫芦岛六中月考)已知a(2sin 13，2sin 77)，|ab|1
9、，a与ab的夹角为，则ab(B)A2B3C4D5解析a(2sin 13，2sin 77)(2sin 13，2cos 13)，|a|2，又|ab|1，a与ab的夹角为，a(ab)1，即a2ab1，ab3.故选B.4(2020浙江省杭州市富阳区新登中学高三上学期期末模拟数学试题)设单位向量e1，e2对任意实数，都有|e1e2|e1e2|，则e1，e2的夹角为(D)ABCD解析设e1与e2的夹角为，0，|e1e2|e1e2|两边平方得，1cos 22cos 1化角为22cos cos 0，由于对任意实数都成立，所以0，即(2cos )24cos 30也就是(2cos )20，cos ，故选D.5(2020贵阳质检)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解析(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，所以cos .又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sin ABC433.
