1、课时规范练13万有引力定律及其应用1.(多选)(开普勒定律)(2019重庆月考)下列说法正确的是()A.关于公式r3T2=k中的常量k,它是一个与中心天体有关的常量B.开普勒定律只适用于太阳系,对其他恒星系不适用C.已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期,则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离D.发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略2.(对万有引力定律的理解)万有引力定律和库仑定律都满足距离平方反比规律,因此引力场和电场之间有许多相似的性质,在处理有关问题时可以将它们进行类比。例如电场中引入电场强度来反映电场的强弱,其定义为E=Fq,在引力场中可以用一个类
2、似的物理量来反映引力场的强弱。设地球质量为M,半径为R,地球表面处重力加速度为g,引力常量为G。如果一个质量为m的物体位于距地心2R处的某点,则下列表达式中能反映该点引力场强弱的是()A.GMm(2R)2B.Gm(2R)2C.GM(2R)2D.g23.(求天体的质量)(2019江西上饶中学月考)对于环绕地球做圆周运动的卫星来说,它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化,某同学根据测得的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T的关系作出如图所示图象,则可求得地球质量为(已知引力常量为G)()A.Ga42bB.Gb42aC.42aGbD.42bGa4.(求天体的密度)(2019河北邯郸永年区
3、二中月考)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球自转的周期为T,引力常量为G。地球的密度为()A.3(g0-g)GT2g0B.3g0GT2(g0-g)C.3GT2D.3g0GT2g5.(宇宙速度)(2019山东东营模拟)使物体脱离星球的引力束缚,不再绕星球运行,从星球表面发射所需的最小速度称为第二宇宙速度,星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2=2v1。已知某星球的半径为地球半径R的4倍,质量为地球质量M的2倍,地球表面重力加速度为g。不计其他星球的影响,则该星球的第二宇宙速度为()A.12gRB.12gRC.gRD.1
4、8gR6.(卫星绕行规律)(2019天津卷)2018年12月8日,肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射,“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测,率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R,探测器的质量为m,引力常量为G,嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时,探测器的()A.周期为42r3GMB.动能为GMm2RC.角速度为Gmr3D.向心加速度为GMR27.(重力与万有引力的关系)(2019河南滑县联考)已知地球两极的重力加速度为g,地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍。考虑地球自转的影响,把地球视为质量均匀分布的球体,则赤道上的重力加速度为()A
5、.1ngB.(1-1n)gC.(1-1n2)gD.(1-1n3)g8.(双星问题)(2019湖北武汉调研)引力波的发现证实了爱因斯坦100年前所做的预测。1974年发现了脉冲双星间的距离在减小就已间接地证明了引力波的存在。如果将该双星系统简化为理想的圆周运动模型,如图所示,两星球在相互的万有引力作用下,绕O点做匀速圆周运动。由于双星间的距离减小,则()A.两星的运动周期均逐渐减小B.两星的运动角速度均逐渐减小C.两星的向心加速度均逐渐减小D.两星的运动线速度均逐渐减小素养综合练9.(多选)(2019东北三省四市高考二模)继“好奇”号之后,“洞察”号再次探访火星,使火星再次成为人类最为关注的行星
6、。已知火星的直径约是地球的一半,质量约为地球质量的110,表面积相当于地球陆地面积,自转周期与地球十分接近,到太阳的距离约是日地距离的1.5倍。根据以上信息可知()A.火星表面的重力加速度约是地球重力加速度的0.4B.火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的1.6倍C.火星的同步卫星轨道半径约为地球同步卫星轨道半径的1倍D.火星的公转周期约1.8年10.(2019山东夏津一中月考)假设两颗质量相等的星球绕其球心连线中心转动,理论计算的周期与实际观测的周期有出入,且T理论T观测=n1(n1),科学家推测,在以两星球球心连线为直径的球体空间中均匀分布着暗物质,设两星球球心连线长度为L,质量均为m,
7、据此推测,暗物质的质量为()A.(n-1)mB.(2n-1)mC.n-28mD.n-14m11.(2019福建福州六校联考)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图,嫦娥三号探月卫星在半径为r的圆形轨道上绕月球运行,周期为T。月球的半径为R,引力常量为G。某时刻嫦娥三号卫星在A点变轨进入椭圆轨道,在月球表面的B点着陆。A、O、B三点在一条直线上。求:(1)月球的密度;(2)在轨道上运行的时间。12.由三颗星体构成的系统,忽略其他星体对它们的作用,存在着一种运动形式:三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三
8、个顶点上,绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)。若A星体质量为2m,B、C两星体的质量均为m,三角形的边长为a,求:(1)A星体所受合力大小FA;(2)B星体所受合力大小FB;(3)C星体的轨道半径RC;(4)三星体做圆周运动的周期T。参考答案课时规范练13万有引力定律及其应用1.AC公式r3T2=k中的k是一个与中心天体有关的常量,选项A正确;开普勒定律不仅适用于太阳系,对其他恒星系也适用,选项B错误;已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期,由r3T2=k可知金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离,选项C正确;
9、发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是牛顿和卡文迪许,选项D错误。2.C类比电场强度定义式E=Fq,该点引力场强弱a=Fm=GMm4R2m=GM4R2,所以C正确。3.C由万有引力提供向心力有GMmr2=m42T2r,得r3=GM42T2。由题图可知r3T2=ab,所以地球的质量M=42aGb,故C正确,ABD错误。4.B在地球两极重力等于万有引力,根据万有引力定律有GMmR2=mg0,在地球的赤道上重力等于万有引力与向心力的差值,即GMmR2-m(2T)2R=mg。地球的质量为M=43R3。联立以上三式可得地球的密度=3g0GT2(g0-g),选项B正确。5.C设在地球表面飞行的卫星质
10、量为m,由万有引力提供向心力得GMmR2=mv12R,又有GMmR2=mg,解得地球的第一宇宙速度为v1=GMR=gR;设该星球的第一宇宙速度为v1,根据题意,有v1v1=2MMR4R=12;由地球的第一宇宙速度v1=gR,再由题意知v2=2v1,联立得该星球的第二宇宙速度为v2=gR,故A、B、D错误,C正确。6.A探测器绕月球做圆周运动的向心力由万有引力提供,则有GMmr2=ma=mv2r=mr2=mr42T2,解得向心加速度a=GMr2、动能Ek=12mv2=GMm2r、角速度=GMr3、周期T=42r3GM,故只有选项A正确。7.D设地球质量为M,半径为R,自转周期为T。有一质量为m的
11、卫星,该卫星在地球两极,有:GMmR2=mg;该卫星在地球赤道上,有:GMmR2-mR42T2=mg1;该卫星在同步轨道上,有:GMm(nR)2=mnR42T2,联立上面三个式子,得g1=(1-1n3)g,选项D正确。8.A双星做匀速圆周运动具有相同的角速度,靠相互间的万有引力提供向心力。根据Gm1m2L2=m1r12=m2r22,得G(m1+m2)L3=2,双星间的距离减小,角速度变大,周期变小,故A正确,B错误;根据Gm1m2L2=m1a1=m2a2知,L变小,则两星的向心加速度均增大,故C错误;根据Gm1m2L2=m1v12r1,解得v1=Gm2r1L2,由于L平方的减小比r1的减小量大
12、,则线速度增大,故D错误。9.AD根据万有引力等于重力GMmR2=mg,得:g=GMR2,根据火星直径约为地球的一半,质量约为地球的十分之一,计算得出火星表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的0.4,故A正确;根据第一宇宙速度的公式v=gR,则火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比v火v地=g火g地R火R地=0.40.5=0.2,故B错误;对于星球的同步卫星有GMmr2=m42T2r,得同步卫星轨道半径r=3GMT242,由于火星质量约为地球质量的110,它们的自转周期十分接近,r火r地=3110,C错误;研究火星和地球绕太阳公转,根据万有引力提供向心力得出GmMr2=m42T2r,得T
13、=2r3GM,M为太阳的质量,r为轨道半径。火星的轨道半径大于地球的轨道半径,通过T的表达式发现火星与地球公转周期之比为364,所以火星的公转周期约1.8年,故D正确。10.D因为T理论T观测=n1(n1),所以T观测=1nT理论T理论,差异是以双星连线为直径的球体内均匀分布着的暗物质引起的,均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用等效于这些暗物质在双星连线中点对双星系统的作用,设这种暗物质质量为M,此时双星做圆周运动的向心力由双星的万有引力和暗物质对双星的万有引力提供,由万有引力定律得Gm2L2+GMm(L2)2=4m2L2T观测2,Gm2L2=4m2L2T理论2由以上两式解得M=n-14m
14、,选项D正确,ABC错误。11.答案 (1)3r3GT2R3(2)(R+r)T4rR+r2r解析 (1)由万有引力提供向心力:GMmr2=m2T2r,解得M=42r3GT2月球的密度:=M43R3,解得=3r3GT2R3;(2)椭圆轨道的半长轴:a=R+r2,设椭圆轨道上运行周期为T1,由开普勒第三定律有:a3T12=r3T2,在轨道上运行的时间为t=T12,解得t=(R+r)T4rR+r2r。12.答案 (1)23Gm2a2(2)7Gm2a2(3)74a(4)a3Gm解析 (1)由万有引力定律,A星体所受B、C星体引力大小FBA=GmAmBr2=G2m2a2=FCA,方向如图则合力大小为FA=23Gm2a2;(2)同上,B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB=GmAmBr2=G2m2a2,FCB=GmCmBr2=Gm2a2,方向如图,合力大小FBx=FABcos60+FCB=2Gm2a2,FBy=FABsin60=3Gm2a2,可得FB=FBx2+FBy2=7Gm2a2;(3)通过分析可知,圆心O在中垂线AD的中点,RC=34a2+12a2,可得RC=74a;(4)三星体运动周期相同,对C星体,由FC=FB=7Gm2a2=m2T2RC,可得T=a3Gm。
