1、2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系基础过关练题组一直线与圆的位置关系的判断 1.(2020湖北宜昌高二上期末)直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法判断2.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)已知直线l:(x+2)m+y-1=0,圆C:x2+y2=6,则直线l与圆C的位置关系一定是()A.相交B.相切C.相离D.不确定3.(2020浙江温州高二上期末)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离,则实数m的取值范围是()A.(0,2B.(1,2C.(0,2)D.(1,2)4.若点M(x0,y0)在圆
2、x2+y2=R2外,则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是()A.相切B.相交C.相离D.不确定5.已知圆x2-2ax+y2=0(a0)与直线x-3y+3=0相切,则a=.题组二圆的切线与弦长问题6.(2020浙江杭州七县区高二上期末)直线y=x+1被圆x2+y2=2截得的弦长为()A.2 B.22 C.6 D.267.若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线x-y-3=0所得弦长为6,则实数m的值为()A.-1 B.-2 C.-4 D.-318.已知圆x2+y2=9的一条弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为()A.y-2=0 B.x+2y-5=0 C.2x-y=0 D.
3、x-1=09.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为(易错)A.x=2或3x-4y+10=0 B.x=2或x+2y-10=0C.y=4或3x-4y+10=0 D.y=4或x+2y-10=010.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)过点M(-1,3)的圆x2+y2=4的切线方程为.11.过点P(-1,-2)引圆C:(x-1)2+(y-2)2=16的切线,则切线长为.题组三直线与圆的位置关系的综合运用12.(2021江西南昌二中高二上月考)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是()A.x+2y-3=0 B.x+2y-5=0
4、C.2x-y+4=0 D.2x-y=013.如图是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2 m,水面宽12 m,若水面下降1 m,则水面的宽为m.14.(2020北京清华大学附中高二上)已知点P是圆x2+y2=2上的动点,Q是直线l:3x-4y+15=0上的动点,则|PQ|的最小值为.15.(2020浙江温州高二上期末)已知圆心C在直线2x-y-2=0上的圆经过点A(-1,2)和B(3,-2),且过点P(3,-1)的直线l与圆C相交于不同的两点M,N.(1)求圆C的标准方程;(2)若MCN=90,求直线l的方程.能力提升练题组一直线与圆的位置关系1.(2021河北保定唐县一中高二
5、上月考,)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是()A.0k5B.-5k0 C.0k13D.0k52.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)曲线y=1+4-x2与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围是()A.k34B.-34k512D.5120,b0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则4a+1b的最小值是()A.9B.4C.12D.1411.(2020山东济宁高二上期中,)已知AB为圆C:(x-1)2+y2=1的直径,点P为直线x-y+1=0上的任意一点,则PAPB的最小值为()A
6、.1B.2C.2D.2212.()已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k0)上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为()A.3B.212C.22D.213.()过圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若MPN=90,则动点P的轨迹方程是.14.(2019江苏镇江高二上期中,)在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200 km的B处有一艘轮船,正沿北偏西(为锐角)角方向航行,速度大小为40 km/h.已知距离风暴中心180 km以内的水域受其影响.(1)若轮船不被风暴影响,
7、求角的正切值的最大值;(2)若轮船航行方向为北偏西45,求轮船被风暴影响持续的时间.15.()在ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是ABO的内切圆上的一点,求以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.16.(2021重庆八中高二上月考,)已知圆C的方程为(x-2)2+y2=25.(1)设点M-1,32,过点M作直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程;(2)设P是直线x+y+6=0上的点,过点P作圆C的切线PD,PE,切点为D,E.求证:经过D,P,C三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.答案全解全析基础过关练1.B圆的方程
8、可化为(x-1)2+y2=1,圆心为(1,0),半径r=1.因此圆心到直线的距离d=|3+0+2|32+42=1=r,直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0相切,故选B.2.A由直线方程可得y-1=-m(x+2),因此直线l过定点(-2,1),设为A,因此|AC|=(-2)2+12=5m,所以m0,所以0mR2,圆心(0,0)到直线x0x+y0y=R2的距离d=|-R2|x02+y020,所以a=3.6.C由圆x2+y2=2,可得圆心为(0,0),半径为2,圆心到直线y=x+1的距离d=|0-0+1|12+(-1)2=22,故弦长为2(2)2-222=6,故选C.7.C圆的方程可化为(
9、x-1)2+(y+2)2=5-m,圆心为(1,-2).设圆心到直线的距离为d,则d=|1+2-3|2=0,因此弦长6就是直径2r,r=3.r2=5-m=9m=-4,故选C.8.B当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心为(0,0),所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k=2-01-0=2,故所求直线的斜率为-12,所以所求直线方程为y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0.9.A由22+42=204,得点P在圆外.当过点P的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为k,则切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,|-2k+4|1+k2=2,解得k=34.
10、故所求切线方程为3x-4y+10=0.当过点P的切线斜率不存在时,方程为x=2,也满足条件.故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2.故选A.易错警示切线的斜率存在时,设过点P的圆的切线斜率为k,写出点斜式方程再化为一般式.根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质,由点到直线的距离公式列出含k的方程,由方程解得k,然后代回所设切线方程即可.切线斜率不存在时,直接验证直线方程是否满足条件即可.本题要注意到点在圆外,所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解.10.答案x-3y+4=0解析(-1)2+(3)2=4,M点在圆x2+y2=4上,因此k切kOM=-1,即k切3-0-1
11、-0=-3,k切=33,又切线过点M(-1,3),切线方程为y-3=33(x+1),即x-3y+4=0.11.答案2 解析设切点为A,则PACA,从而|PC|2=|PA|2+|CA|2,(-1-1)2+(-2-2)2=|PA|2+42,解得|PA|=2,即切线长为2.12.B因为PQ的中点与圆心连成的线段垂直于PQ,所以kPQ=-1-02-0=-12,所以直线PQ的方程是y-2=-12(x-1),即x+2y-5=0,故选B.13.答案251解析如图,建立平面直角坐标系,设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径长为r(r0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=
12、r2,将A(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1 m到AB时,设A(x0,-3)(x00).将A(x0,-3)代入式,得x0=51,所以水面下降1 m后,水面宽为251 m.14.答案3-2解析因为圆心到直线的距离d=1532+(-4)2=32,所以直线与圆相离,所以圆上的点到直线的距离的最小值为d-2=3-2.15.解析(1)易求得AB的中点为(1,0),且kAB=-1,线段AB的中垂线方程为x-y-1=0.由x-y-1=0,2x-y-2=0,得圆心C的坐标为(1,0),半径|CA|=22,故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=8.(2)当M
13、CN=90时,圆心C到直线l的距离为2.若直线l的斜率存在,则设直线l:y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,圆心C(1,0)到直线l的距离d=|-2k-1|k2+1=2,解得k=34,直线l的方程为3x-4y-13=0.若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,符合题意.综上所述,所求直线l的方程为x=3或3x-4y-13=0.能力提升练1.A圆的方程可化为(x+2)2+y2=32,圆心坐标为(-2,0),半径r=3.令x=0,得y=5,如图所示,设A(0,5),则kMA=5-00-(-1)=5.过M(-1,0)的直线与圆在第一象限内的部分有交点,0k5,故选A.2.D曲线y=
14、1+4-x2可化为x2+(y-1)2=4(y1),y=1+4-x2表示以(0,1)为圆心,2为半径的圆的上半部分,直线y=k(x-2)+4恒过定点(2,4),设为A,可得图象如图所示.当直线y=k(x-2)+4为圆的切线时,可得圆心到直线的距离d=|3-2k|k2+1=2,解得k=512;当直线y=k(x-2)+4过点B(-2,1)时,k=4-12+2=34.由图象可知,当y=k(x-2)+4与曲线有两个不同交点时,512k34,故选D.3.B由(x-3)2+(y+5)2=r2,可得其圆心为(3,-5),设为M,根据点到直线的距离公式可得M(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离d=|12+
15、15-2|16+9=5,设与直线4x-3y-2=0的距离是1的直线为4x-3y+C=0.根据平行线间距离公式可得1=|C+2|16+9,解得C=-7或C=3,与直线4x-3y-2=0的距离是1的直线有两条,分别是4x-3y-7=0和4x-3y+3=0.又圆心M(3,-5)到直线4x-3y-7=0的距离为|12+15-7|16+9=4,圆心M(3,-5)到直线4x-3y+3=0的距离为|12+15+3|16+9=6,如果圆与直线4x-3y+3=0相交,那么圆也肯定与直线4x-3y-7=0相交,交点个数多于两个,于是圆上点到直线4x-3y-2=0的距离等于1的点不止两个,圆与直线4x-3y+3=0
16、不相交.如果圆与直线4x-3y-7=0的距离小于或等于1,那么圆与直线4x-3y-7=0和直线4x-3y+3=0的交点个数和至多为1个,圆只能与直线4x-3y-7=0相交,与直线4x-3y+3=0相离,4r6.故选B.4.AC圆心M(-cos ,sin )到直线l的距离d=|-kcos-sin|k2+(-1)2=1+k2|sin(+)|k2+1=|sin(+)|,其中tan =k.d1,直线l与圆M有公共点,A正确;当=0时,d=|-k|k2+10,b0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,所以直线必定经过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,所以4a+1b=
17、4a+1b(a+b)=5+4ba+ab,因为a0,b0,所以由基本不等式得4ba+ab24baab=4,当且仅当a=23,b=13时,等号成立,所以4a+1b的最小值为9.11.A如图所示,连接PC.PA=PC+CA,PB=PC+CB=PC-CA,PAPB=(PC+CA)(PC-CA)=|PC|2-|CA|2=|PC|2-1.设圆心C到直线x-y+1=0的距离为d,则|PC|min=d=|1-0+1|2=2,(PAPB)min=|PC|min2-1=2-1=1,故选A.12.D如图所示,由题意得|PA|=|PB|,连接PC,|AC|=|BC|,PAC=PBC=90,RtPACRtPBC,四边形
18、PACB的面积为PAC面积的两倍.圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心为C(0,1),半径r=1,四边形PACB的最小面积是2,PAC面积的最小值为1,又SPAC=12|PA|AC|=12|PA|1,|PA|2,由勾股定理得|PC|=|PA|2+r2=|PA|2+15,当直线PC与直线kx+y+4=0(k0)垂直时,|PC|取最小值5,即|PC|min=|1+4|k2+1=5,整理得k2=4,又k0,k=2.故选D.13.答案x2+y2=2解析设点P的坐标为(x,y),则|PO|=x2+y2.MPN=90,四边形OMPN为正方形,|PO|=2|OM|=2,x2+y2=2,即x2+y2=
19、2.14.解析(1)根据题意画出图形,如图所示,则圆的方程为x2+y2=1802,设过点B(200,0)的直线方程为y=k(x-200),k0,即kx-y-200k=0,k0,则圆心O(0,0)到直线的距离为|-200k|k2+1=180,化简得19k2=81,k=-919(正值舍去),tan(90+)=-919,-1tan=-919,tan =199,若轮船不被风暴影响,则角的正切值的最大值为199.(2)若轮船航行方向为北偏西45,则直线方程为x+y=200,则圆心O到该直线的距离d=|-200|2=1002,弦长为2r2-d2=21802-(1002)2=4031,则轮船被风暴影响持续的
20、时间为403140=31 h.15.解析如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).设AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).则2r+|AB|=|OA|+|OB|,r=1,内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,整理得x2+y2-2y=2x-1.又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25,将代入,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.P(x,y)是内切圆上的点,0x2,|PA|2+|PB|2+|PO|2的最
21、大值为22,最小值为18.又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为|PA|22+|PB|22+|PO|22=4(|PA|2+|PB|2+|PO|2),以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为112,最小值为92.16.解析(1)根据题意,可得圆心C(2,0),半径r=5,若直线l的斜率不存在,即l:x=-1,代入圆的方程(x-2)2+y2=25,可得y=4,此时|AB|=8,符合题意;若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-32=k(x+1),即2kx-2y+3+2k=0.设圆心C到直线l的距离为d,因为|AB|=8,所以2r2-d2=225-d2=8,解得d=3,所以d=|4k-0+3+2k|4+4k2=3,解得k=34,所以直线l的方程为y-32=34(x+1),即3x-4y+9=0.综上所述,直线l的方程为x=-1或3x-4y+9=0.(2)由点P是直线x+y+6=0上的点,设点P(m,-m-6),根据切线的性质,可得DCPD,所以经过D,P,C三点的圆为以PC为直径的圆,则圆的方程为(x-2)(x-m)+y(y+m+6)=0,整理得(x2+y2-2x+6y)+m(y-x+2)=0,令x2+y2-2x+6y=0,y-x+2=0,解得x=2,y=0或x=-2,y=-4,即经过D,P,C三点的圆必经过定点(2,0),(-2,-4).
