1、20202021学年（下）高一数学暑假综合复习题（一）一选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量a，b，下列选项中错误的是()A|a| B若|ab|a|b|，则a与b共线C若a0且b0，则ab0 D|ab|a|b|2从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A三件产品全不是次品，B三件产品全是次品，C三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中错误的是()AA与C互斥 BB与C互斥 C任何两个都互斥 D任何两个都不互斥3i是虚数单位，则的虚部是()Ai Bi C D4设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量
2、4a,4b2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A(2,6) B(2,6) C(2，6) D(2，6)5对于直线m，n和平面，下列命题中正确的是()A如果m，n，m，n是异面直线，那么nB如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交C如果m，n，m，n共面，那么mnD如果m，n，m，n共面，那么mn6某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查这种抽样方法是()A简单随机抽样 B抽签法 C随机数法 D比例分配的分层随机抽样7ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，()，且|，则()A1 B C
3、1 D8已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为()A B C D 9直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()A相交 B平行 C异面 D不确定10.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工的零件为一等品的概率分别为和，两人加工的零件是否为一等品互不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A. B C D11.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为()A B C D12.如图，ABC是边长为2的正三角形，P是以C为圆心，
4、半径为1的圆上任意一点，则的取值范围是()A1,13 B(1,13) C(4,10) D4,10二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为_.14已知a(1,3)，b(2，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.15复数2i和3i的辐角的主值分别为，则tan()等于_.16设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，则角C=_.三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程
5、或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数z(2i)m22(1i)求实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数18(本小题满分12分)如图，观测站C在目标A的南偏西20方向，经过A处有一条南偏东40走向的公路，在C处观测到与C相距31 km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离19(本小题满分12分)某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了以下频率分布直方图，其中身高的变化范围是96,106(单位：厘米)，样本数据分组为96,98)，98,100)，100
6、,102)，102,104)，104,106(1)求x的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本量N的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数20(本小题满分12分)如图所示的多面体中，四边形是菱形、是矩形，面，（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积21(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：人)：参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加
7、书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率22(本小题满分12分)如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；（3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由20202021学年（下）高一数学暑假综合复习题（一）一选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量
8、a，b，下列选项中错误的是()A|a|B若|ab|a|b|，则a与b共线C若a0且b0，则ab0D|ab|a|b|答案C解析由向量数量积的性质可知A，B，D均正确，C错误故选C.2从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A三件产品全不是次品，B三件产品全是次品，C三件产品有次品，但不全是次品，则下列结论中错误的是()AA与C互斥 BB与C互斥C任何两个都互斥 D任何两个都不互斥答案D解析由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥3i是虚数单位，则的虚部是()Ai Bi C D答案C解析i.故选C.4设向量a(1，3)，b(2,4)，c(1，2)，若表示向量4a,4b2c,2
9、(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)答案D解析由题意，得4a4b2c2(ac)d0，则d4a4b2c2(ac)6a4b4c(2，6)5对于直线m，n和平面，下列命题中正确的是()A如果m，n，m，n是异面直线，那么nB如果m，n，m，n是异面直线，那么n与相交C如果m，n，m，n共面，那么mnD如果m，n，m，n共面，那么mn答案C解析对于A，如图所示，此时n与相交，则A不正确；对于B，如图所示，此时m，n是异面直线，而n与平行，故B不正确；对于D，如图所示，m与n相交，故D不正确故选C.6某校高三年级有男生500人，女
10、生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查这种抽样方法是()A简单随机抽样B抽签法C随机数法D比例分配的分层随机抽样答案D解析从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是比例分配的分层随机抽样7ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，()，且|，则()A1 B C1 D答案A解析由题意知，O为BC的中点，且ABC60，|2，|1，121.8已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为()A B C D 答案D解析设球O的半径为r，则r323，解得r .9直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，
11、直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()A相交 B平行 C异面 D不确定答案D解析根据题意，l平面ABCD，m可能在平面ABCD内，也可能垂直平面ABCD，还可能在平面ABCD外但不垂直于平面ABCD，所以直线l与m可能平行、相交或异面，故选D.10.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工的零件为一等品的概率分别为和，两人加工的零件是否为一等品互不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A. B C D答案B解析设事件A“甲实习生加工的零件为一等品”，事件B“乙实习生加工的零件为一等品”，则P(A)，P(B)，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(A)P(B)P(A)P()P
12、()P(B).11.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面平面AMN，则平面截该正方体所得截面的面积为()A B C D答案B解析取C1D1，B1C1的中点为P，Q，连接DP，BQ，B1D1，NP，PQ.易知MNB1D1BD，ADNP，ADNP，四边形ANPD为平行四边形，ANDP，又BD和DP为平面DBQP的两条相交直线，MN，AN为平面AMN的两条相交直线，平面DBQP平面AMN，即平面DBQP的面积即为所求PQDB，PQBD，四边形DBQP为梯形，高为h，S(PQBD)h，故选B.12.如图，ABC是边长为2的正三角形，P是以
13、C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则的取值范围是()A1,13 B(1,13)C(4,10) D4,10答案A解析以C为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系因为ABC是边长为2的正三角形，所以A(，3)，B(，3)设P(cos，sin)，0,2)，则(cos，sin3)(cos，sin3)cos23(sin3)26sin7.因为1sin1，所以16sin713.所以1,13故选A.二填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸
14、出的两个球的编号之和大于6的概率为_.答案解析画树状图如下：共20种等可能的结果，其中摸出的两个球的编号之和大于6的结果有8种，故所求概率为.14已知a(1,3)，b(2，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.答案5且解析因为a与b的夹角为锐角，则cosa，b0，且cosa，b1，即ab230，且bka，则5且.15复数2i和3i的辐角的主值分别为，则tan()等于_.答案1解析复数2i和3i的辐角的主值分别为，.tan，tan，tan()1.16设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，则角C_.答案解析由已知条件和正弦定理，得3a5b，
15、且bc2a，则a，c2ab，cosC，又0C，因此角C.三解答题(本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知复数z(2i)m22(1i)求实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数解由于mR，所以复数z(2i)m23m(1i)2(1i)(2m23m2)(m23m2)i.(1)当即m2时，z为零(2)当m23m20，即m2且m1时，z为虚数(3)当即m时，z为纯虚数(4)当2m23m2(m23m2)，即m0或m2时，z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数18(本小题满分12
16、分)如图，观测站C在目标A的南偏西20方向，经过A处有一条南偏东40走向的公路，在C处观测到与C相距31 km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20 km到达D处，此时测得C，D相距21 km，求D，A之间的距离解由已知，得CD21 km，BC31 km，BD20 km.在BCD中，cosBDC.设ADC，则cos，sin.在ACD中，由正弦定理，得，即，所以ADsin(60)15 km，即所求的距离为15 km.19(本小题满分12分)某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了以下频率分布直方图，其中身高的变化范围是96,106(单位：厘米)，样本数据分组为96,98)，98,100)，
17、100,102)，102,104)，104,106(1)求x的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本量N的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数解(1)由题意，得(0.0500.1000.1500.125x)21.解得x0.075.(2)设样本中身高小于100厘米的频率为p1，p1(0.0500.100)20.300，而p1，N120.(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p2(0.1000.1500.125)20.750，身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数为np
18、2N1200.75090.20(本小题满分12分)如图所示的多面体中，四边形是菱形、是矩形，面，（1）求证：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据菱形的性质、矩形的性质，结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质、棱锥的体积公式进行求解即可.证明：（1）由是菱形面，面面由是矩形 面，面面面，面，面面（2）连接，由是菱形，由面，面，面，面，则为四棱锥的高由是菱形，则为等边三角形，由；则，21(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：
19、人)：参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率解(1)设“该同学至少参加上述一个社团”为事件A，则P(A).所以该同学至少参加上述一个社团的概率为.(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)
20、，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的其中A1被选中且B1未被选中的有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P.22(本小题满分12分)如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为（1）求侧面与底面所成的二面角的大小；（2）若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；（3）问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）点为的四等分点.【解析】（1
21、）取中点，设面，连，则为二面角的平面角，利用解直角三角形可求其正切值（2）连，则为异面直线与所成的角，根据勾股定理求得，进而求得后可求的值（3）可证点为的四等分点（1）取中点，设面，连，则为二面角的平面角，为侧棱与底面所成的角，设，（2）连，为异面直线与所成的角因为，所以平面.平面，所以.,。（3）延长交于，取中点，连、因为，故平面，因平面，故平面平面，又，故为等边三角形，所以，由平面，故因为，所以平面.取的中点，四边形为平行四边形，所以 平面即为四等分点【点睛】本题考查考查空间中的垂直关系以及空间角的计算，解题时注意三种垂直关系的转化，空间角的计算需构造空间角，把空间角放置在可解的三角形中来讨论，本题为难题.高一数学 综合复习题（一） 第17页（共4页） 大道至简，数是最美的语言.
