1、考点规范练56坐标系与参数方程考点规范练B册第42页基础巩固1.在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为x=1+12t,y=32t(t为参数),椭圆C的参数方程为x=cos,y=2sin(为参数).设直线l与椭圆C相交于A,B两点,求线段AB的长.解:椭圆C的普通方程为x2+y24=1.将直线l的参数方程x=1+12t,y=32t(t为参数)代入x2+y24=1,得1+12t2+32t24=1,即7t2+16t=0,解得t1=0,t2=-167.所以AB=|t1-t2|=167.2.(2019广西桂林高三一模)在平面直角坐标系中,已知点A(10,0),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为
2、极轴建立极坐标系,曲线M的参数方程为x=5+5cos,y=5sin(0,为参数),曲线N的极坐标方程为(1-cos )=2.(1)求曲线M的极坐标方程;(2)设曲线M与曲线N的交点为P,Q,求|OP|+|OQ|的值.解:(1)因为曲线M的参数方程为x=5+5cos,y=5sin(0,为参数),所以曲线M是以(5,0)为圆心,5为半径的圆的上半部分.所以曲线M的极坐标方程为=10cos 0,2.(2)设P(1,1),Q(2,2).由(1-cos)=2,=10cos得2-10+20=0.所以1+2=10.所以|OP|+|OQ|的值是10.3.(2019宁夏石嘴山三中一模)在平面直角坐标系中,将曲线
3、C1向左平移2个单位,再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变,纵坐标缩短为原来的12,得到曲线C2,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,C1的极坐标方程为=4cos .(1)求曲线C2的参数方程;(2)已知点M在第一象限,四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形,求内接矩形MNPQ周长的最大值,并求周长最大时点M的坐标.解:(1)由=4cos ,得2=4cos ,将2=x2+y2,cos=x代入,整理得曲线C1的普通方程为(x-2)2+y2=4,设曲线C1上的点为(x,y),变换后的点为(x,y),由题可知坐标变换为x=x-2,y=12y,即x=x+2,y=2y代入曲线C1的普
4、通方程,整理得曲线C2的普通方程为x24+y2=1,曲线C2的参数方程为x=2cos,y=sin(为参数).(2)设四边形MNPQ的周长为l,设点M(2cos ,sin )02,l=8cos +4sin =4525cos+15sin=45sin(+),且cos =15,sin =25,02,+2+.sin2+sin(+)1,lmax=45.且当+=2时,l取最大值,此时=2-.所以,2cos =2sin =45,sin =cos =15,此时M455,55.4.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为x=2cos,y=4sin(为参数),直线l的参数方程为x=1+tcos,y=2+tsin
5、(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.解:(1)曲线C的直角坐标方程为x24+y216=1.当cos 0时,l的直角坐标方程为y=tan x+2-tan ,当cos =0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2)t2+4(2cos +sin )t-8=0.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由得t1+t2=-4(2cos+sin)1+3cos2,故2cos +sin =0,于是直线l的斜率k=t
6、an =-2.5.(2019全国,文22)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B2,4,C2,34,D(2,),弧AB,BC,CD所在圆的圆心分别是(1,0),1,2,(1,),曲线M1是弧AB,曲线M2是弧BC,曲线M3是弧CD.(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标.解:(1)由题设可得,弧AB,BC,CD所在圆的极坐标方程分别为=2cos ,=2sin ,=-2cos .所以M1的极坐标方程为=2cos 04,M2的极坐标方程为=2sin 434,M3的极坐标方程为=-2cos 34.(2)设P(,),
7、由题设及(1)知若04,则2cos =3,解得=6;若434,则2sin =3,解得=3或=23;若34,则-2cos =3,解得=56.综上,P的极坐标为3,6或3,3或3,23或3,56.能力提升6.在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为2+2cos -3=0.(1)求C2的直角坐标方程;(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.解:(1)由x=cos ,y=sin 得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.由题设知,C1是过点B(
8、0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2,由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以|-k+2|k2+1=2,故k=-43或k=0.经检验,当k=0时,l1与C2没有公共点;当k=-43时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以|k+2|k2+1=2,故k=0或k=43,经检验,当k=0时,l1与C2没有公
9、共点;当k=43时,l2与C2没有公共点.综上,所求C1的方程为y=-43|x|+2.7.已知直线C1:x=1+tcos,y=tsin(t为参数),圆C2:x=cos,y=sin(为参数).(1)当=3时,求C1被C2截得的线段的长;(2)过坐标原点O作C1的垂线,垂足为A,当变化时,求点A轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.解:(1)当=3时,C1的普通方程为y=3(x-1),C2的普通方程为x2+y2=1.联立方程组y=3(x-1),x2+y2=1,解得C1与C2的交点坐标为(1,0)与12,-32.故C1被C2截得的线段的长为1-122+0+322=1.(2)将C1的参数方程代入C2的普
10、通方程得t2+2tcos =0,设直线C1与圆C2交于M,N两点,M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则点A对应的参数t=t1+t22=-cos ,故点A的坐标为(sin2,-cos sin ).故当变化时,点A轨迹的参数方程为x=sin2,y=-sincos(为参数).因此,点A轨迹的普通方程为x-122+y2=14.故点A的轨迹是以12,0为圆心,半径为12的圆.高考预测8.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为sin2=acos (a0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为x=-2+22t,y=-4+22t(t为参数),直
11、线l与曲线C相交于A,B两点.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程;(2)若|PA|PB|=|AB|2,求a的值.解:(1)sin2=acos (a0),2sin2=acos (a0),即y2=ax(a0).直线l的参数方程消去参数t,得普通方程为y=x-2.(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=ax(a0)中,得t2-2(a+8)t+4(a+8)=0,设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=2(a+8),t1t2=4(a+8).|PA|PB|=|AB|2,t1t2=(t1-t2)2.(t1+t2)2=(t1-t2)2+4t1t2=5t1t2,即2(8+a)2=20(8+a),解得a=2或a=-8(不合题意,应舍去),a的值为2.
