1、考点规范练14导数的概念及运算考点规范练B册第8页基础巩固1.已知函数f(x)=3x+1,则limx0f(1-x)-f(1)x的值为()A.-13B.13C.23D.0答案:A解析:limx0f(1-x)-f(1)x=-limx0f(1-x)-f(1)-x=-f(1)=-131-23=-13.2.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.1eD.-1e答案:C解析:由题意可得y=ln x的定义域为(0,+),且y=1x.设切点为(x0,ln x0),则切线方程为y-ln x0=1x0(x-x0).因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1,解得x0=e,故此切
2、线的斜率为1e.3.已知y=f(x)是可导函数,如图,直线y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=()A.-1B.0C.2D.4答案:B解析:由题图可知曲线y=f(x)在x=3处切线的斜率等于-13,故f(3)=-13.g(x)=xf(x),g(x)=f(x)+xf(x),g(3)=f(3)+3f(3).又由题图可知f(3)=1,g(3)=1+3-13=0.4.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)答案:C
3、解析:f(x)=x3-x+3,f(x)=3x2-1.设点P(x,y),则f(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.5.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),则ab等于()A.-8B.-6C.-1D.5答案:A解析:由题意得y=kx+1过点A(1,2),故2=k+1,即k=1.y=3x2+a,且直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,2),k=3+a,即1=3+a,a=-2.将点A(1,2)代入曲线方程y=x3+ax+b,可解得b=3
4、,即ab=(-2)3=-8.故选A.6.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为()A.1B.2C.22D.3答案:B解析:因为定义域为(0,+),所以y=2x-1x,令2x-1x=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=22=2.故所求的最小值为2.7.已知函数f(x)=exln x,f(x)为f(x)的导函数,则f(1)的值为.答案:e解析:f(x)=exln x,f(x)=exln x+exx.f(1)=eln 1+e1=e.8.(2019全国,文13)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切
5、线方程为.答案:y=3x解析:由题意可知y=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,k=y|x=0=3.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为y=3x.9.(2019广西柳州高中一模)已知函数f(x)=2ex+1+sin x,其导函数记为f(x),则f(2 018)+f(-2 018)+f(2 018)-f(-2 018)的值为.答案:2解析:因为f(x)=2ex+1+sin x,所以f(x)=-2ex(ex+1)2+cos x,所以f(x)+f(-x)=2ex+1+sin x+2e-x+1+sin(-x)=2,f(x)-f(-x)=-2ex(ex+1
6、)2+cos x+2e-x(e-x+1)2-cos(-x)=0,所以f(2 018)+f(-2 018)+f(2 018)-f(-2 018)=2.10.曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于.答案:12log2e解析:y=1xln2,k=1ln2,切线方程为y=1ln2(x-1),所围三角形的面积为S=1211ln2=12ln2=12log2e.11.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1)处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为.答案:4解析:由导数的几何意义及条件,得g(1)=2,函数f(x)=
7、g(x)+x2,f(x)=g(x)+2x,f(1)=g(1)+2=4,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线的斜率为4.12.若函数f(x)=12x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.答案:2,+)解析:f(x)=12x2-ax+ln x,f(x)=x-a+1x.f(x)存在垂直于y轴的切线,f(x)存在零点,x+1x-a=0有解,a=x+1x2(x0).能力提升13.(2019广东七校联考)函数f(x)=xcos x的导函数f(x)在区间-,上的图象大致是()答案:A解析:由题意,得f(x)=cos x+x(-sin x)=cos x-xsin x.因为f(-x)
8、=f(x),所以f(x)为偶函数.又f(0)=1,所以排除选项C,D.又f2=-20,所以排除选项B.故选A.14.若存在过点(1,0)的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x-9都相切,则a等于()A.-1或-2564B.-1或214C.-74或-2564D.-74或7答案:A解析:因为y=x3,所以y=3x2.设过点(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03),则在该点处的切线斜率为k=3x02,所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03.又点(1,0)在切线上,则x0=0或x0=32.当x0=0时,由y=0与y=ax2+154x-9相切,可得a=-
9、2564;当x0=32时,由y=274x-274与y=ax2+154x-9相切,可得a=-1.15.给出定义:设f(x)是函数y=f(x)的导函数,f(x)是函数f(x)的导函数,若方程 f(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数y=f(x)的“拐点”.已知函数f(x)=3x+4sin x-cos x的“拐点”是M(x0,f(x0),则点M()A.在直线y=-3x上B.在直线y=3x上C.在直线y=-4x上D.在直线y=4x上答案:B解析:由题意,知f(x)=3+4cos x+sin x,f(x)=-4sin x+cos x,由f(x0)=0,知-4sin x0+cos x0=0
10、,即4sin x0-cos x0=0,所以f(x0)=3x0+4sin x0-cos x0=3x0,即点M(x0,3x0),显然在直线y=3x上.故选B.16.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=ex+x2+1,则函数h(x)=2f(x)-g(x)在点(0,h(0)处的切线方程是.答案:x-y+4=0解析:f(x)-g(x)=ex+x2+1,且f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,f(-x)-g(-x)=f(x)+g(x)=e-x+x2+1.f(x)=ex+e-x+2x2+22,g(x)=e-x-ex2.h(x)=2f(x)-g(x)=ex+e-x+2x2+2-e-x-ex2=32ex+12e-x+2x2+2.h(x)=32ex-12e-x+4x,即h(0)=32-12=1.又h(0)=4,切线方程为x-y+4=0.高考预测17.设曲线y=xex+x2在原点处的切线与直线x+ay+1=0垂直,则a=.答案:1解析:由y=xex+x2得y=ex+xex+2x,在原点处的切线的斜率k1=e0+0e0+0=1,直线x+ay+1=0的斜率k2=-1a,由题意知k1k2=-1a1=-1a=1.
