1、单元质检卷四三角函数、解三角形(A)(时间:45分钟满分:100分)单元质检卷第9页一、单项选择题(本题共4小题,每小题7分,共28分)1.(2019山东日照质检)若点P(1,-2)是角的终边上一点,则cos 2=() A.25B.-35C.35D.255答案B解析因为点P(1,-2)是角的终边上一点,所以sin =-212+(-2)2=-255.所以cos 2=1-2sin2=1-2-2552=-35.故选B.2.已知R,sin +2cos =102,则tan 2=()A.43B.34C.-34D.-43答案C解析sin +2cos =102,sin2+4sin cos +4cos2=52.
2、用降幂公式化简得4sin 2=-3cos 2,tan 2=sin2cos2=-34.故选C.3.(2019山东烟台一模)将函数f(x)=sin(x+)0,|0,|2的图象向右平移6个单位长度后,可得y=sinx-6+的图象;所得图象关于y轴对称,-6+=k+2,kZ.f=-12=sin(+)=-sin ,即sin =12,|0,kZ.则当取最小值时,取k=-1,可得=4,函数f(x)的解析式为f(x)=sin4x+6.故选C.4.(2019上海宝山区校级月考)凸四边形就是没有角度数大于180的四边形,把四边形任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形,如图,
3、在凸四边形ABCD中,AB=1,BC=3,ACCD,AC=CD,当ABC变化时,对角线BD的最大值为()A.3B.4C.6+1D.7+23答案C解析设ABC=,ACB=,则AC2=AB2+BC2-2ABBCcos =4-23cos .由正弦定理ACsin=ABsin得sin =sin4-23cos.所以由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos+2=3+4-23cos +234-23cossin4-23cos=7+23sin -23cos =7+26sin-4,故当=34时,取得最大值为6+1.故选C.二、多项选择题(本题共2小题,每小题7分,共14分)5.(2019广东中山期末)将
4、函数f(x)=2sinx+6-1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是()A.函数g(x)的图象关于点-12,0对称B.函数g(x)的周期是2C.函数g(x)在0,6上单调递增D.函数g(x)在0,6上最大值是1答案ABD解析将函数f(x)=2sinx+6-1的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin2x+6-1的图象,由于当x=-12时,f(x)=-1,故函数g(x)的图象关于点-12,-1对称,故A错误;函数g(x)的周期为22=,故B错误;在0,6上,2x+66,2,g(x)单调递增,故C正确;在0,
5、6上,2x+66,2,g(x)的最大值趋向于1,故D错误.故选ABD.6.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知(b+c)(c+a)(a+b)=456,下列结论正确的是()A.ABC的边长可以组成等差数列B.ABAC0C.A7=B5=C3D.若b+c=8,则ABC的面积是1534答案AD解析由已知可设b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k0),则a=72k,b=52k,c=32k,abc=753,2b=a+c,即ABC的边长可以组成等差数列,故A正确;sin Asin Bsin C=753,C错误;又cos A=b2+c2-a22bc=25k24+9k24-49k2425
6、232k2=-120,ABC为钝角三角形,ABAC=bccos A0,B错误;若b+c=8,则k=2,b=5,c=3,又A=120,SABC=12bcsin A=1534,D正确.故选AD.三、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.九章算术是体现我国古代数学成就的杰出著作,其中方田章给出的计算弧田面积的经验公式为弧田面积=12(弦矢+矢2),弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成,公式中“弦”指圆弧所对弦的长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有弧长为43米,半径等于2米的弧田,则弧所对的弦AB的长是米,按照上述经验公式计算得到的弧田面积是平方米.答案233+12解析由弧
7、长为43米,半径等于2米,可得圆心角为23,OD=1米,则AB=2BD=23米;弧田面积S=12(弦矢十矢2)=1223(2-1)+(2-1)2=3+12.8.(2019北京海淀区模拟)已知函数f(x)=asin x-23cos x的一条对称轴为x=-6,f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,则|x1+x2|的最小值为.答案23解析函数f(x)=asin x-23cos x=a2+12sin(x+),其中tan =-23a,函数f(x)的一条对称轴为x=-6,可得f-6=-12a-2332=-12a-3,所以-12a-3=a2+12,解得a=2.=-3;对称中
8、心横坐标由x-3=k(kZ),可得x=k+3(kZ);又f(x1)+f(x2)=0,且函数f(x)在(x1,x2)上具有单调性,|x1+x2|=2k+3,当k=0时,可得|x1+x2|=23.四、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2-cos 2x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x0,2时,f(x)0.(1)解因为f(x)=sin2x+cos2x+sin 2x-cos 2x=1+sin 2x-cos 2x=2sin2x-4+1,所以函数f(x)的最小正周期为.(2)证明由(1)可知,f(x)=2sin2x-4+1.当x0,2
9、时,2x-4-4,34,sin2x-4-22,1,2sin2x-4+10,2+1.当2x-4=-4,即x=0时,f(x)取得最小值0.所以当x0,2时,f(x)0.10.(15分)(2019浙江绍兴模拟)已知函数f(x)=sin x+3sinx+2+sinx+3,xR.(1)求f(2 019)的值;(2)若f()=1,且0,求cos 的值.解(1)由题得f(x)=sin x+3cos x+12sin x+32cos x=3sinx+3,所以f(2 019)=3sin2 019+3=3sin+3=-3sin3=-332.(2)由(1)知f(x)=3sinx+3.由f()=1得sin+3=1312
10、,又因为0,故223,所以cos+3=-223,所以cos =cos+3-3=-22312+1332=3-226.11.(15分)(2019广东揭阳二模)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,且a2=43S.(1)若C=60,且b=1,求a边的值;(2)当cb=2+3时,求A的大小.解(1)由a2=43S,a2=4312absin C,a=23bsin C,C=60且b=1,a=2332=3.(2)当cb=2+3时,bc=12+3=2-3,a2=43S=b2+c2-2bccos A,4312bcsin A=b2+c2-2bccos A,即2bc(3sin A+cos A)=b2+c2,4sinA+6=b2+c2bc=bc+cb=4,得sinA+6=1.A(0,),A+66,76,则A+6=2,得A=3.
